On Abelian and Discrete Symmetries in F-Theory

In this dissertation, we systematically construct and study global F-theory compactifications with abelian and discrete gauge groups. These constructions are of fundamental relevance for both conceptual and phenomenological reasons. In the case of abelian symmetries, we systematically engineer compactifications that support U(1)$\times$U(1) and U(1)$\times$U(1)$\times$U(1) gauge groups. The engineered geometries are elliptic fibrations with Mordell-Weil group rank two and three respectively. The bases of the fibrations are arbitrary, but as proofs of concept, we explicit create examples with bases $\mathbb{P}^2$ and $\mathbb{P}^3$. We study the low energy physics of these compactifications, we calculate the matter spectrum and confirm that it is anomaly free. In 4D compactifications, the $G_4$ flux is designed and the existence of Yukawa couplings is verified. We consider F-theory compactifications on genus-one fibered Calabi-Yau manifolds with their fibers realized as hypersurfaces in the toric varieties associated to the 16 reflexive 2D polyhedra. We present a base-independent analysis of the codimension one, two and three singularities of these fibrations. We explore the network of Higgsings relating these theories. Such Higgsings geometrically correspond to extremal transitions induced by blow-ups in the 2D toric varieties. The discrete gauge groups $\mathbb{Z}_3$ and $\text{U(1)} \times \mathbb{Z}_2$ are naturally found when $\mathbb{P}^2$ and $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ are used as fiber ambient spaces. We also find the first realization of matter with U(1) charge three. Finally, we study the discrete gauge group $\mathbb{Z}_3$ in detail. We find the three elements of the Tate-Shafarevich (TS) group. We make use of the Higgs mechanism with the charge three hypermultiplets and the Kaluza-Klein reduction from 6D to 5D. The results are interpreted from the F- M- theory duality perspective. In F-theory, compactifications over any of the three elements of the TS groups yield the same low energy physics, however, M-theory compactifications over the same elements give rise to different gauge groups

Symmetries & tensor networks in two-dimensional quantum physics

The most general description of a quantum many-body system is given by a wave- function that lives in a Hilbert space with dimension exponential in the number of particles. This makes it extremely hard to study strongly correlated phenomena like the fractional quantum Hall effect and high-temperature superconductivity. Whenever interactions are sufficiently local and temperature is low, the system does not explore the full Hilbert space, but its ground state resides in the small corner of Hilbert space described by the area law. Containing little entanglement, the states can then be expressed as tensor networks, a family of wavefunctions with a polynomial number of parameters. On the one hand, tensor networks can be used as a variational manifold in nu- merical computations. On the other hand, they allow building model wavefunctions much like locality allows writing down physically realistic Hamiltonians. Besides allowing for an analytical treatment, these models grant access both to the physical and the entanglement degrees of freedom. This is particularly useful in classifying phases of matter. A large number of phases can be explained in terms of Landau’s symmetry-breaking paradigm. This framework, however, is not complete, as exemplified by the existence of phases with intrinsic topological order in two dimensions. It was a major conceptual advance when tensor networks could explain (non-chiral) topological phases as those where the symmetry resides in the entanglement degrees of freedom. The symmetries corresponding to those topological phases act as discrete, finite groups on the virtual degrees of freedom. The purpose of this Thesis is to generalize this program to include other symmetries. We investigate a class of tensor networks with continuous symmetries and find that they cannot describe gapped physics with a unique ground state. The abelian case is found to describe a non-Lorentz invariant phase transition point into a topologically ordered phase. The physics of the non- abelian case is that of a plaquette state that spontaneously breaks the translation symmetry of the lattice. The non-abelian PEPS arises as the ground state of a local parent Hamiltonian whose ground state manifold is completely characterized by the tensor network. In both cases, we find two types of corrections to the entanglement entropy: first there is a correction that is logarithmic in the size of the boundary and independent of the shape. A further correction depends only on the shape of the partition, imposing further restrictions on regions that are suffciently thin. Finally, we investigate symmetries that mix the virtual with the physical degrees of freedom and are furthermore anisotropic. Their physics is described by subsystem symmetry protected topological order. In particular, we focus on the entanglement entropy in the cluster phase and show that there is a universal constant correction to the entropy throughout the phase. This is important in the program of establishing the entanglement entropy as a detection mechanism for topologically ordered phases. We put forward a numerical algorithm to compute the correction and use it to discover a novel phase of matter in which the cluster phase is embedded.Die allgemeinste Beschreibung eines Quanten-Vielteilchensystems ergibt sich aus einer Wellenfunktion, die in einem Hilbert-Raum lebt, dessen Dimension exponentiell in der Anzahl der Teilchen ist. Dies macht es äußerst schwierig, stark korrelierte Phänomene wie den fraktionalen Quanten-Hall-Effekt und die Hochtemperatursupraleitung zu untersuchen. Wenn die Wechselwirkungen ausreichend lokal sind und die Temperatur niedrig ist, steht dem System nicht der gesamte Hilbert-Raum zur Verfügung. Sein Grundzustand befindet sich in der kleinen "Ecke" des Hilbert-Raums, die durch das area law beschrieben wird. Mit wenig Verschränkung können die Zustände dann als Tensornetzwerke ausgedrückt werden, eine Familie von Wellenfunktionen mit einer polynomiellen Anzahl von Parametern. Einerseits können Tensornetzwerke als variationelle Ansätze bei numerischen Berechnungen verwendet werden. Auf der anderen Seite ermöglichen sie das Erstellen von Modellwellenfunktionen. Diese Modelle ermöglichen nicht nur eine analytische Behandlung, sondern gewähren auch Zugang zu den physikalischen und den Verschränkungsfreiheitsgraden. Dies ist besonders nützlich bei der Klassifizierung von Phasen der Materie. Eine große Anzahl von Phasen kann mit Landaus Theorie der Symmetriebrechung erklärt werden. Diese Beschreibung ist jedoch nicht vollständig, was durch die Existenz von Phasen mit intrinsischer topologischer Ordnung in zwei Dimensionen veranschaulicht wird. Es war ein großer konzeptioneller Fortschritt, als Tensornetzwerke (nicht-chirale) topologische Phasen als solche identifizieren konnten, bei denen die Symmetrie in den Verschränkungsfreiheitsgraden liegt. Die diesen topologischen Phasen entsprechenden Symmetrien wirken als diskrete, endliche Gruppen auf den virtuellen Freiheitsgraden. Der Zweck dieser Arbeit ist es, dieses Programm auf andere Symmetrien zu verallgemeinern. Wir untersuchen eine Klasse von Tensornetzwerken mit kontinuierlichen Symmetrien und stellen fest, dass sie keine mit eindeutigen Grundzustand unter einer Energielücke beschreiben können. Der abelsche Fall beschreibt einen nicht-Lorentz-invarianten Phasenübergangspunkt in eine topologisch geordnete Phase. Die Physik des nicht-abelschen Falls ist die eines Plaquette-Zustands, der spontan die Translationssymmetrie des Gitters bricht. Der nicht-abelsche PEPS entsteht als Grundzustand eines lokalen \textit{parent}-Hamiltonians, dessen Grundzustandsunterraum vollständig durch das Tensornetzwerk beschrieben wird. In beiden Fällen finden wir zwei Arten von Korrekturen an der Verschränkungsentropie: Erstens gibt es eine Korrektur, die in der Größe der Grenze logarithmisch und unabhängig von der Form ist. Eine weitere Korrektur hängt nur von der Form des Schnitts ab ab, wodurch ausreichend dünne Bereiche weiter eingeschränkt werden. Schließlich untersuchen wir Symmetrien, die virtuelle und physikalische Freiheitsgraden mischen und darüber hinaus anisotrop sind. Ihre Physik wird durch topologische Ordnung beschrieben, die stabil ist solange bestimmte Subsystem-Symmetrien nicht gebrochen werden. Insbesondere konzentrieren wir uns auf die Verschränkungsentropie in der Clusterphase und zeigen, dass die Entropie in der gesamten Phase universell eine konstante Korrektur erhält. Dies ist wichtig im Programm zur Etablierung der Verschränkungsentropie als Detektionsmechanismus für topologisch geordnete Phasen. Wir schlagen einen numerischen Algorithmus vor, um die Korrektur zu berechnen und entdecken eine neue Phase der Materie, in die die Clusterphase eingebettet ist

Bernstein-Sato polynomial of plane curves and Yano's conjecture

The main aim of this thesis is the study of the Bernstein-Sato polynomial of plane curve singularities. In this context, we prove a conjecture posed by Yano about the generic b-exponents of a plane irreducible curve. In a part of the thesis, we study the Bernstein-Sato polynomial through the analytic continuation of the complex zeta function of a singularity. We obtain several results on the vanishing and non-vanishing of the residues of the complex zeta function. Using these results we obtain a proof of Yano's conjecture under the hypothesis that the eigenvalues of the monodromy are pair-wise different. In another part of the thesis, we study the periods of integrals in the Milnor fiber and their asymptotic expansion. These periods of integrals can be related to the b-exponents and can be constructed in terms of resolution of singularities. Using these techniques, we can present a proof for the general case of Yano's conjecture. In addition to the Bernstein-Sato polynomial, we also study the minimal Tjurina number of a plane irreducible curve and we answer in the positive a question raised by Dimca and Greuel on the quotient between the Milnor and Tjurina numbers. More precisely, we prove a formula for the minimal Tjurina number of a plane irreducible curve in terms of the multiplicities of the strict transform along its minimal resolution. From this formula, we obtain the positive answer to Dimca and Greuel question. This thesis also contains computational results for the theory of singularities on smooth complex surfaces. First, we describe an algorithm to compute log-resolutions of ideals on a smooth complex surface. Secondly, we provide an algorithm to compute generators for complete ideals on a smooth complex surface. These algorithms have several applications, for instance, in the computation of the multiplier ideals associated to an ideal on a smooth complex surface.El principal objectiu d'aquesta tesi és l'estudi del polinomi de Bernstein-Sato de singularitats de corbes planes. En aquest context, es demostra una conjectura proposada per Yano el 1982 sobre els $b$-exponents genèrics d'una corba plana irreductible. En una part d'aquesta tesi, s'estudia el polinomi de Bernstein-Sato utilitzant la continuació analítica de la funció zeta complexa d'una singularitat. S'obtenen diversos resultat sobre l'anul·lació i no anul·lació del residu de la funció zeta complexa d'una corba plana. Utilitzant aquests resultats, s'obté una demostració de la conjectura de Yano sota la hipòtesi de que els valors propis de la monodromia siguin diferents dos a dos. En un altre part de la tesi, s'estudien els períodes d'integrals en la fibra de Milnor i la seva expansió asimptòtica. Aquesta expansió asimptòtica dels períodes pot ser relacionada amb els b-exponents i pot ser construïda en termes de la resolució de singularitats. Utilitzant aquestes tècniques, es presenta una prova del cas general de la conjectura de Yano. A més a més del polinomi de Bernstein-Sato, també s'estudia el nombre de Tjurina mínim d'una corba plana irreductible i responem positivament a una pregunta formulada per Dimca i Greuel sobre el quocient entre els nombres de Milnor i Tjurina. Concretament, es demostra una fórmula pel nombre de Tjurina mínim en un classe d'equisingularitat de corbes planes irreductibles en termes de la seqüència de multiplicitats de la transformada estricta al llarg de la resolució minimal. A partir d'aquesta fórmula, s'obté la resposta positiva a la pregunta de Dimca i Greuel. Aquesta tesi també conté resultats computacionals per la teoria de singularitats en superfícies complexes llises. Primer, es descriu un algorisme que calcula la log-resolució d'ideals en un superfície complexa llisa. En segon lloc, es dona un algorisme per calcular generadors per ideals complets en una superfície complexa llisa. Aquests algorismes tenen diverses aplicacions, com per exemple, en el càlcul d'ideals multiplicadors associats a un ideal en una superfície complexa llisa.Postprint (published version

Bernstein-Sato polynomial of plane curves and Yano's conjecture

The main aim of this thesis is the study of the Bernstein-Sato polynomial of plane curve singularities. In this context, we prove a conjecture posed by Yano about the generic b-exponents of a plane irreducible curve. In a part of the thesis, we study the Bernstein-Sato polynomial through the analytic continuation of the complex zeta function of a singularity. We obtain several results on the vanishing and non-vanishing of the residues of the complex zeta function. Using these results we obtain a proof of Yano's conjecture under the hypothesis that the eigenvalues of the monodromy are pair-wise different. In another part of the thesis, we study the periods of integrals in the Milnor fiber and their asymptotic expansion. These periods of integrals can be related to the b-exponents and can be constructed in terms of resolution of singularities. Using these techniques, we can present a proof for the general case of Yano's conjecture. In addition to the Bernstein-Sato polynomial, we also study the minimal Tjurina number of a plane irreducible curve and we answer in the positive a question raised by Dimca and Greuel on the quotient between the Milnor and Tjurina numbers. More precisely, we prove a formula for the minimal Tjurina number of a plane irreducible curve in terms of the multiplicities of the strict transform along its minimal resolution. From this formula, we obtain the positive answer to Dimca and Greuel question. This thesis also contains computational results for the theory of singularities on smooth complex surfaces. First, we describe an algorithm to compute log-resolutions of ideals on a smooth complex surface. Secondly, we provide an algorithm to compute generators for complete ideals on a smooth complex surface. These algorithms have several applications, for instance, in the computation of the multiplier ideals associated to an ideal on a smooth complex surface.El principal objectiu d'aquesta tesi és l'estudi del polinomi de Bernstein-Sato de singularitats de corbes planes. En aquest context, es demostra una conjectura proposada per Yano el 1982 sobre els $b$-exponents genèrics d'una corba plana irreductible. En una part d'aquesta tesi, s'estudia el polinomi de Bernstein-Sato utilitzant la continuació analítica de la funció zeta complexa d'una singularitat. S'obtenen diversos resultat sobre l'anul·lació i no anul·lació del residu de la funció zeta complexa d'una corba plana. Utilitzant aquests resultats, s'obté una demostració de la conjectura de Yano sota la hipòtesi de que els valors propis de la monodromia siguin diferents dos a dos. En un altre part de la tesi, s'estudien els períodes d'integrals en la fibra de Milnor i la seva expansió asimptòtica. Aquesta expansió asimptòtica dels períodes pot ser relacionada amb els b-exponents i pot ser construïda en termes de la resolució de singularitats. Utilitzant aquestes tècniques, es presenta una prova del cas general de la conjectura de Yano. A més a més del polinomi de Bernstein-Sato, també s'estudia el nombre de Tjurina mínim d'una corba plana irreductible i responem positivament a una pregunta formulada per Dimca i Greuel sobre el quocient entre els nombres de Milnor i Tjurina. Concretament, es demostra una fórmula pel nombre de Tjurina mínim en un classe d'equisingularitat de corbes planes irreductibles en termes de la seqüència de multiplicitats de la transformada estricta al llarg de la resolució minimal. A partir d'aquesta fórmula, s'obté la resposta positiva a la pregunta de Dimca i Greuel. Aquesta tesi també conté resultats computacionals per la teoria de singularitats en superfícies complexes llises. Primer, es descriu un algorisme que calcula la log-resolució d'ideals en un superfície complexa llisa. En segon lloc, es dona un algorisme per calcular generadors per ideals complets en una superfície complexa llisa. Aquests algorismes tenen diverses aplicacions, com per exemple, en el càlcul d'ideals multiplicadors associats a un ideal en una superfície complexa llisa

Bernstein-Sato polynomial of plane curves and Yano's conjecture

The main aim of this thesis is the study of the Bernstein-Sato polynomial of plane curve singularities. In this context, we prove a conjecture posed by Yano about the generic b-exponents of a plane irreducible curve. In a part of the thesis, we study the Bernstein-Sato polynomial through the analytic continuation of the complex zeta function of a singularity. We obtain several results on the vanishing and non-vanishing of the residues of the complex zeta function. Using these results we obtain a proof of Yano's conjecture under the hypothesis that the eigenvalues of the monodromy are pair-wise different. In another part of the thesis, we study the periods of integrals in the Milnor fiber and their asymptotic expansion. These periods of integrals can be related to the b-exponents and can be constructed in terms of resolution of singularities. Using these techniques, we can present a proof for the general case of Yano's conjecture. In addition to the Bernstein-Sato polynomial, we also study the minimal Tjurina number of a plane irreducible curve and we answer in the positive a question raised by Dimca and Greuel on the quotient between the Milnor and Tjurina numbers. More precisely, we prove a formula for the minimal Tjurina number of a plane irreducible curve in terms of the multiplicities of the strict transform along its minimal resolution. From this formula, we obtain the positive answer to Dimca and Greuel question. This thesis also contains computational results for the theory of singularities on smooth complex surfaces. First, we describe an algorithm to compute log-resolutions of ideals on a smooth complex surface. Secondly, we provide an algorithm to compute generators for complete ideals on a smooth complex surface. These algorithms have several applications, for instance, in the computation of the multiplier ideals associated to an ideal on a smooth complex surface.El principal objectiu d'aquesta tesi és l'estudi del polinomi de Bernstein-Sato de singularitats de corbes planes. En aquest context, es demostra una conjectura proposada per Yano el 1982 sobre els $b$-exponents genèrics d'una corba plana irreductible. En una part d'aquesta tesi, s'estudia el polinomi de Bernstein-Sato utilitzant la continuació analítica de la funció zeta complexa d'una singularitat. S'obtenen diversos resultat sobre l'anul·lació i no anul·lació del residu de la funció zeta complexa d'una corba plana. Utilitzant aquests resultats, s'obté una demostració de la conjectura de Yano sota la hipòtesi de que els valors propis de la monodromia siguin diferents dos a dos. En un altre part de la tesi, s'estudien els períodes d'integrals en la fibra de Milnor i la seva expansió asimptòtica. Aquesta expansió asimptòtica dels períodes pot ser relacionada amb els b-exponents i pot ser construïda en termes de la resolució de singularitats. Utilitzant aquestes tècniques, es presenta una prova del cas general de la conjectura de Yano. A més a més del polinomi de Bernstein-Sato, també s'estudia el nombre de Tjurina mínim d'una corba plana irreductible i responem positivament a una pregunta formulada per Dimca i Greuel sobre el quocient entre els nombres de Milnor i Tjurina. Concretament, es demostra una fórmula pel nombre de Tjurina mínim en un classe d'equisingularitat de corbes planes irreductibles en termes de la seqüència de multiplicitats de la transformada estricta al llarg de la resolució minimal. A partir d'aquesta fórmula, s'obté la resposta positiva a la pregunta de Dimca i Greuel. Aquesta tesi també conté resultats computacionals per la teoria de singularitats en superfícies complexes llises. Primer, es descriu un algorisme que calcula la log-resolució d'ideals en un superfície complexa llisa. En segon lloc, es dona un algorisme per calcular generadors per ideals complets en una superfície complexa llisa. Aquests algorismes tenen diverses aplicacions, com per exemple, en el càlcul d'ideals multiplicadors associats a un ideal en una superfície complexa llisa

Symmetries & tensor networks in two-dimensional quantum physics

The most general description of a quantum many-body system is given by a wave- function that lives in a Hilbert space with dimension exponential in the number of particles. This makes it extremely hard to study strongly correlated phenomena like the fractional quantum Hall effect and high-temperature superconductivity. Whenever interactions are sufficiently local and temperature is low, the system does not explore the full Hilbert space, but its ground state resides in the small corner of Hilbert space described by the area law. Containing little entanglement, the states can then be expressed as tensor networks, a family of wavefunctions with a polynomial number of parameters. On the one hand, tensor networks can be used as a variational manifold in nu- merical computations. On the other hand, they allow building model wavefunctions much like locality allows writing down physically realistic Hamiltonians. Besides allowing for an analytical treatment, these models grant access both to the physical and the entanglement degrees of freedom. This is particularly useful in classifying phases of matter. A large number of phases can be explained in terms of Landau’s symmetry-breaking paradigm. This framework, however, is not complete, as exemplified by the existence of phases with intrinsic topological order in two dimensions. It was a major conceptual advance when tensor networks could explain (non-chiral) topological phases as those where the symmetry resides in the entanglement degrees of freedom. The symmetries corresponding to those topological phases act as discrete, finite groups on the virtual degrees of freedom. The purpose of this Thesis is to generalize this program to include other symmetries. We investigate a class of tensor networks with continuous symmetries and find that they cannot describe gapped physics with a unique ground state. The abelian case is found to describe a non-Lorentz invariant phase transition point into a topologically ordered phase. The physics of the non- abelian case is that of a plaquette state that spontaneously breaks the translation symmetry of the lattice. The non-abelian PEPS arises as the ground state of a local parent Hamiltonian whose ground state manifold is completely characterized by the tensor network. In both cases, we find two types of corrections to the entanglement entropy: first there is a correction that is logarithmic in the size of the boundary and independent of the shape. A further correction depends only on the shape of the partition, imposing further restrictions on regions that are suffciently thin. Finally, we investigate symmetries that mix the virtual with the physical degrees of freedom and are furthermore anisotropic. Their physics is described by subsystem symmetry protected topological order. In particular, we focus on the entanglement entropy in the cluster phase and show that there is a universal constant correction to the entropy throughout the phase. This is important in the program of establishing the entanglement entropy as a detection mechanism for topologically ordered phases. We put forward a numerical algorithm to compute the correction and use it to discover a novel phase of matter in which the cluster phase is embedded.Die allgemeinste Beschreibung eines Quanten-Vielteilchensystems ergibt sich aus einer Wellenfunktion, die in einem Hilbert-Raum lebt, dessen Dimension exponentiell in der Anzahl der Teilchen ist. Dies macht es äußerst schwierig, stark korrelierte Phänomene wie den fraktionalen Quanten-Hall-Effekt und die Hochtemperatursupraleitung zu untersuchen. Wenn die Wechselwirkungen ausreichend lokal sind und die Temperatur niedrig ist, steht dem System nicht der gesamte Hilbert-Raum zur Verfügung. Sein Grundzustand befindet sich in der kleinen "Ecke" des Hilbert-Raums, die durch das area law beschrieben wird. Mit wenig Verschränkung können die Zustände dann als Tensornetzwerke ausgedrückt werden, eine Familie von Wellenfunktionen mit einer polynomiellen Anzahl von Parametern. Einerseits können Tensornetzwerke als variationelle Ansätze bei numerischen Berechnungen verwendet werden. Auf der anderen Seite ermöglichen sie das Erstellen von Modellwellenfunktionen. Diese Modelle ermöglichen nicht nur eine analytische Behandlung, sondern gewähren auch Zugang zu den physikalischen und den Verschränkungsfreiheitsgraden. Dies ist besonders nützlich bei der Klassifizierung von Phasen der Materie. Eine große Anzahl von Phasen kann mit Landaus Theorie der Symmetriebrechung erklärt werden. Diese Beschreibung ist jedoch nicht vollständig, was durch die Existenz von Phasen mit intrinsischer topologischer Ordnung in zwei Dimensionen veranschaulicht wird. Es war ein großer konzeptioneller Fortschritt, als Tensornetzwerke (nicht-chirale) topologische Phasen als solche identifizieren konnten, bei denen die Symmetrie in den Verschränkungsfreiheitsgraden liegt. Die diesen topologischen Phasen entsprechenden Symmetrien wirken als diskrete, endliche Gruppen auf den virtuellen Freiheitsgraden. Der Zweck dieser Arbeit ist es, dieses Programm auf andere Symmetrien zu verallgemeinern. Wir untersuchen eine Klasse von Tensornetzwerken mit kontinuierlichen Symmetrien und stellen fest, dass sie keine mit eindeutigen Grundzustand unter einer Energielücke beschreiben können. Der abelsche Fall beschreibt einen nicht-Lorentz-invarianten Phasenübergangspunkt in eine topologisch geordnete Phase. Die Physik des nicht-abelschen Falls ist die eines Plaquette-Zustands, der spontan die Translationssymmetrie des Gitters bricht. Der nicht-abelsche PEPS entsteht als Grundzustand eines lokalen \textit{parent}-Hamiltonians, dessen Grundzustandsunterraum vollständig durch das Tensornetzwerk beschrieben wird. In beiden Fällen finden wir zwei Arten von Korrekturen an der Verschränkungsentropie: Erstens gibt es eine Korrektur, die in der Größe der Grenze logarithmisch und unabhängig von der Form ist. Eine weitere Korrektur hängt nur von der Form des Schnitts ab ab, wodurch ausreichend dünne Bereiche weiter eingeschränkt werden. Schließlich untersuchen wir Symmetrien, die virtuelle und physikalische Freiheitsgraden mischen und darüber hinaus anisotrop sind. Ihre Physik wird durch topologische Ordnung beschrieben, die stabil ist solange bestimmte Subsystem-Symmetrien nicht gebrochen werden. Insbesondere konzentrieren wir uns auf die Verschränkungsentropie in der Clusterphase und zeigen, dass die Entropie in der gesamten Phase universell eine konstante Korrektur erhält. Dies ist wichtig im Programm zur Etablierung der Verschränkungsentropie als Detektionsmechanismus für topologisch geordnete Phasen. Wir schlagen einen numerischen Algorithmus vor, um die Korrektur zu berechnen und entdecken eine neue Phase der Materie, in die die Clusterphase eingebettet ist

F-Theory Realizations Of Exact Mssm Matter Spectra

F-theory is remarked by its powerful phenomenological model building potential due to geometric descriptions of compactifications. It translates physics quantities in the effective low energy theory to mathematical objects extracted from the geometry of the compactifications. The connection is built upon identifying the varying axio-dilaton field in type IIB supergravity theory with the complex structure modulus of an elliptic curve, that serves as the fiber of an elliptic fibration. This allows us to capture the non-perturbative back-reactions of seven branes onto the compactification space $B_3$ of an elliptically fibered Calabi--Yau fourfold $Y_4$. The ingredients of Standard model physics, including gauge symmetries, charged matter, and Yukawa couplings, are then encoded beautifully by $Y_4$\u27s singularity structures in codimensions one, two, and three, respectively. Moreover, many global consistency conditions, including the D3-tadpole cancellation, can be reduced to simple criteria in terms of the intersection numbers of base divisors. In this thesis, we focus on searching for explicit models in the language of F-theory geometry that admit exact Minimal Supersymmetric Standard Model (MSSM) matter spectra. We first present a concrete realization of the Standard Model (SM) gauge group with $\mathbb{Z}_2$ matter parity, which admits three generations of chiral fermions. The existence of this discrete symmetry beyond the SM gauge group forbids proton decay. We then construct a family of $\mathcal{O}(10^{15})$ F-theory vacua. These are the largest currently known class of globally consistent string constructions that admit exactly three chiral families and gauge coupling unification. We advance to study the vector-like spectra in 4d F-theory SMs. The 4-form gauge background $G_4$ controls the chiral spectra. This is the field strength of 3-form gauge potential $C_3$, which impacts the vector-like spectra. It is well known that these massless zero modes are counted by line bundle cohomologies over matter curves induced by the F-theory gauge background. In order to understand the line bundle cohomology\u27s dependence on the moduli of the compactification geometry, we pick a simple geometry and create the database consisted of matter curves, the line bundles and the vector-like spectra. We analyze this database by machine learning techniques and ugain full understanding it via the Brill-Nother theory. Subsequently, we present the appearance of root bundles and how they enter as significant ingredients of realistic F-theory geometries. The algebraic geometry approaches to root bundles allow combinatoric descriptions, which facilitate the analyze of statistics on the vector-like spectra at the end of this thesis

Notes in Pure Mathematics & Mathematical Structures in Physics

These Notes deal with various areas of mathematics, and seek reciprocal combinations, explore mutual relations, ranging from abstract objects to problems in physics.Comment: Small improvements and addition