Combinatoire des motifs d'une suite sturmienne bidimensionnelle

RésuméNous étudions une généralisation des suites sturmiennes en construisant une “surface plissée”, donnée par l'approximation d'un plan par trois sortes de faces carrées orientées suivant les trois plans de coordonnées. À cette surface, on associe par projection un pavage du plan par trois sortes de losanges. On définit sur ce pavage une fonction de complexité en comptant le nombre de motifs distincts d'une fenêtre de taille donnée. Nous donnons, en étudiant les prolongements des motifs, la forme explicite de cette fonction dans le cas d'une fenêtre triangulaire et d'une fenêtre en forme de parallélogramme.AbstractWe study a generalization of sturmian sequences by constructing a “stepped surface”, given by a plane approximation with three kinds of square faces oriented according to the three coordinate planes. With a projection operation, we build a tiling of the plane by three kinds of diamonds. We define in this tiling a complexity function by counting the number of patterns in a given height window. We give the explicit form of this function in the case of triangular windows and parallelogram windows

À l'intersection de la combinatoire des mots et de la géométrie discrète : palindromes, symétries et pavages

Dans cette thèse, différents problèmes de la combinatoire des mots et de géométrie discrète sont considérés. Nous étudions d'abord l'occurrence des palindromes dans les codages de rotations, une famille de mots incluant entre autres les mots sturmiens et les suites de Rote. En particulier, nous démontrons que ces mots sont pleins, c'est-à-dire qu'ils réalisent la complexité palindromique maximale. Ensuite, nous étudions une nouvelle famille de mots, appelés mots pseudostandards généralisés, qui sont générés à l'aide d'un opérateur appelé clôture pseudopalindromique itérée. Nous présentons entre autres une généralisation d'une formule décrite par Justin qui permet de générer de façon linéaire et optimale un mot pseudostandard généralisé. L'objet central, le f-palindrome ou pseudopalindrome est un indicateur des symétries présentes dans les objets géométriques. Dans les derniers chapitres, nous nous concentrons davantage sur des problèmes de nature géométrique. Plus précisément, nous donnons la solution à deux conjectures de Provençal concernant les pavages par translation, en exploitant la présence dé palindromes et de périodicité locale dans les mots de contour. À la fin de plusieurs chapitres, différents problèmes ouverts et conjectures sont brièvement présentés. \ud ______________________________________________________________________________ \ud MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Palindrome, pseudopalindrome, clôture pseudopalindromique itérée, codages de rotations, symétries, chemins discrets, pavages