Construction of self-dual binary [2^(2k),2^(2k-1),2^k] -codes

K

Group algebras and coding theory: a short survey

Estudiamos códigos construidos a partir de ideales de álgebras de grupo y estamos particularmente interesados en sus dimensiones y pesos. Introducimos inicialmente un tipo especial de idempotentes y estudiamos los ideales que generan. Usamos esta información para mostrar que existen grupos abelianos no cíclicos que son más convenientes que los cíclicos. Finalmente, discutimos brevemente algunos resultados sobre códigos no abelianos.We study codes constructed from ideals in group algebras and we are particularly interested in their dimensions and weights. First we introduced a special kind of idempotents and study the ideals they generate.We use this information to show that there exist abelian non-cyclic groups that give codes which are more convenient than the cyclic ones. Finally, we discuss briefly some facts about non-abelian codes

Group algebras and coding theory: a short survey

We study codes constructed from ideals in group algebras and we are particularly interested in their dimensions and weights. First we introduced a special kind of idempotents and study the ideals they generate. We use this information to show that there exist abelian non-cyclic groups that give codes which are more convenient than the cyclic ones. Finally, we discuss briefly some facts about non-abelian codes

Cyclic And Dihedral Group Ring Codes

Dengan mengitlakkan idea melihat kod kitaran sebagai unggulan dalam gelanggang kumpulan kitaran, banyak kajian tentang kod gelanggang kumpulan yang merupakan unggulan telah dijalankan sejak setengah abad yang lalu. Pada tahun 2007, T. Hurley dan P. Hurley memperkenalkan satu keluarga kod gelanggang kumpulan yang baru dengan mengemukakan suatu pendekatan pengekodan baru. Berbeza dengan yang lalu, semua kod gelanggang kumpulan dari keluarga baru ini ialah submodul dan cuma merupakan unggulan dalam kes-kes tertentu. Sebagai notasi, kod gelanggang kumpulan baru ini ditulis sebagai kod-RG di mana R ialah satu domain integer dan G ialah satu kumpulan. Dalam tesis ini, kami mula dengan melihat kod - F2G sebagai suatu perwakilan kesetaraan bagi kod linear binari, di mana F2 merupakan medan terhingga bersaiz dua. Satu syarat yang mencukupi untuk suatu kod linear binary setara dengan suatu kod - F2Cn telah ditentukan. Sehubungan ini, kami mengkaji kesetaraan antara kod-kod F2G dengan mengemukakan tatasusunan gelanggang kumpulan. Didorong oleh satu contoh kod - F2D24 yang setara dengan suatu kod - F2C24, kami mengkaji sifat kesetaraan kod - F2Cn dan kod - F2D2n. Semua kod - F2D2n bagi n - 2,3,4,5 telah diperlihat sepenuhnya bersama-sama dengan penjana masing-masing dan didapati setiapnya adalah setara dengan suatu kod - F2Cn . Akhir sekali, satu pencirian separa ke atas nilai n untuk kod - F2D2n menjadi setara dengan suatu kod F2C2n telah ditemui. By generalizing the idea of viewing cyclic codes as ideals in cyclic group rings, many studies on group ring codes which are ideals, have been done since half a century ago. In 2007, T. Hurley and P. Hurley introduced a new encoding approach of codes using group rings. Different from the previous studies, the resulting group ring codes introduced by Hurleys are submodules and are ideals only in certain restrictive cases. Group ring codes introduced by Hurley are denoted as RG-codes where R is an integral domain and G is a group. In this thesis, we first study the family of F2G-codes where F2 is the finite field of order two, by viewing the codes as equivalent forms of some binary linear codes. A sufficient condition for a binary linear code to be equivalent to an F2Cn -code is determined. In addition to this, we start of the study of equivalence codes among F2G-codes by inventing a tool named group ring array. Triggered by an example of an F2D24 -code that is also an F2C24 -code up to equivalence, properties of F2Cn -codes as well as F2D2n -codes have been studied using group ring array. In particular, all F2D2n -codes for n - 2,3,4,5 are exhibited thoroughly together with their respective generator and each is found to be equivalent to some F2C2n -codes. Lastly, a partial characterisation on the value of n with respect to when an F2D2n -code is equivalent to some F2C2n - codes is established

Dimensión de ideales en álgebras de grupo, y códigos de grupo

En este trabajo se determinan algunas cotas y relaciones para la dimensión de ideales principales en álgebras de grupo analizando polinomios mínimos de representaciones regulares. Estos resultados son utilizados, primero, en el contexto de álgebras de grupo semisimples, para calcular, para cualquier código abeliano, un elemento con peso de Hamming igual a su dimensión. Luego, para obtener cotas de la distancia mínima de ciertos códigos MDS. Una relación entre una clase de códigos de grupo y códigos MDS es presentada. Se exponen ejemplos ilustrando los resultados principales