Krylov integrators for Hamiltonian systems

We consider Arnoldi-like processes to obtain symplectic subspaces for Hamiltonian systems. Large dimensional systems are locally approximated by ones living in low dimensional subspaces, and we especially consider Krylov subspaces and some of their extensions. These subspaces can be utilized in two ways: by solving numerically local small dimensional systems and then mapping back to the large dimension, or by using them for the approximation of necessary functions in exponential integrators applied to large dimensional systems. In the former case one can expect an excellent energy preservation and in the latter this is so for linear systems. We consider second order exponential integrators which solve linear systems exactly and for which these two approaches are in a certain sense equivalent. We also consider the time symmetry preservation properties of the integrators. In numerical experiments these methods combined with symplectic subspaces show promising behavior also when applied to nonlinear Hamiltonian problems.Peer reviewe

Adaptive wavelet methods for a class of stochastic partial differential equations

An abstract interpretation of Rothe’s method for the discretization of evolution equations is derived. The error propagation is analyzed and condition on the tolerances are proven, which ensure convergence in the case of inexact operator evaluations. Substantiating the abstract analysis, the linearly implicit Euler scheme on a uniform time discretization is applied to a class of semi-linear parabolic stochastic partial differential equations. Using the existence of asymptotically optimal adaptive solver for the elliptic subproblems, sufficient conditions for convergence with corresponding convergence orders also in the case of inexact operator evaluations are shown. Upper complexity bounds are proven in the deterministic case. The stochastic Poisson equation with random right hand sides is used as model equation for the elliptic subproblems. The random right hand sides are introduced based on wavelet decompositions and a stochastic model that, as is shown, provides an explicit regularity control of their realizations and induces sparsity of the wavelet coefficients. For this class of equations, upper error bounds for best N-term wavelet approximation on different bounded domains are proven. They show that the use of nonlinear (adaptive) methods over uniform linear methods is justified whenever sparsity is present, which in particularly holds true on Lipschitz domains of two or three dimensions. By providing sparse variants of general Gaussian random functions, the class of random functions derived from the stochastic model is interesting on its own. The regularity of the random functions is analyzed in certain smoothness spaces, as well as linear and nonlinear approximation results are proven, which clarify their applicability for numerical experiments

Nonlinear Evolution Equations: Analysis and Numerics

The workshop was devoted to the analytical and numerical investigation of nonlinear evolution equations. The main aim was to stimulate a closer interaction between experts in analytical and numerical methods for areas such as wave and Schrödinger equations or the Navier–Stokes equations and fluid dynamics

Iterative and parallel methods for linear systems, with applications in circuit simulation

Bij het ontwerp van elektronische schakelingen, ie gebruikt wor en in bijvoorbeeld CD-spelers en mobiele telefoons, maakt e ontwerper veelvul ig gebruik van circuitsimulatie Bij circuitsimulatie wor t het ge rag van een schakeling (circuit) oorgereken met een computer Hier oor wor t het maken van ure prototypes groten eels overbo ig Ook zou zon er eze simulaties het ontwerpen van complexe ge¨integreer e schakelingen, met vele uizen en transistoren, con ensatoren, weerstan en en ergelijke, niet mogelijk zijn Om snel een circuit te kunnen ontwerpen is het voor e ontwerper van belang at e simulatie niet te veel (computer-)rekentij kost Met snellere (slimmere) rekenmetho en en ook met snellere computers, kan e rekentij verkort wor en Dit proefschrift gaat groten eels over metho en ie tot oel hebben e rekentij voor het simuleren van een circuit korter te maken De nieuwe metho en ie we ontwikkel hebben zou en echter ook nuttig kunnen zijn bij e simulatie van an ere verschijnselen, zoals bijvoorbeel vloeistofstromingen en chemische processen Bij het simuleren van circuits wor t e meeste rekentij gebruikt voor het oplossen van grote stelsels lineaire algebra¨ische vergelijkingen Een stelsel van 2 vergelijkingen met 2 onbeken en, x en y, is bijvoorbeel 3x +5y =14 2x 3y =3, met als oplossing x =3eny = 1 Bij circuitsimulatie kunnen e stelsels zeer veel, bijvoorbeel meer an 50000, vergelijkingen hebben en evenveel onbeken en Deze stelsels hebben an wel een ijle structuur Dat wil zeggen at er veel vergelijkingen zijn ie slechts van een klein aantal onbeken en afhangen Door op een slimme manier gebruik te maken van eze structuur kan er veel rekentij bespaar wor en Na het inlei en e eerste hoof stuk beschrijven we in e hoof stukken 2 en 3 een gecombineer e irecte en iteratieve metho e voor het oplossen van eze stelsels vergelijkingen Bij een irecte metho e wor en onbeken en weggewerkt oor een geschikt veelvou van een vergelijking bij een an ere vergelijking op te tellen Op eze manier kan uitein- elijk e oplossing van het grote stelsel uitgereken wor en Bij een iteratieve metho e gebeurt ongeveer hetzelf e, maar e hoeveelhei rekenwerk wor t sterk beperkt oor op geschikte plaatsen in het proces co¨effici¨enten te verwaarlozen Het resultaat is an wel een bena ering van e oplossing in plaats van e exacte oplossing Men tracht e fout in e oplossing te verkleinen oor een correctie op e oplossing aan te brengen Deze correctie wor t gevon en oor een vergelijking voor e fout op te stellen en eze even-eens bij bena ering op te lossen Dit wor t herhaal tot at een vol oen nauwkeurige oplossing gevonden is In e praktijk maken circuitsimulatie-programma s vooral gebruik van irecte metho- en, om at eze sneller bleken te zijn an e tot nu toe bestaan e iteratieve metho en In hoof stuk 2 laten we zien at een gecombineer e irecte en iteratieve metho e wel rie keer sneller kan zijn an een irecte metho e Een prettige bijkomstighei van eze aanpak is at hij ook geschikt is voor parallelle computers Dat zijn computers waarin twee of meer processoren samenwerken Met eze computers kan het rekenwerk ver er versnel wor en met een factor ie kan oplopen tot het aantal processoren Hoofdstuk 4 gaat over het oplossen van lineaire stelsels vergelijkingen die optreden bij het simuleren van de periodieke stabiele toestan van een circuit Het gaat hierbij om circuits waarvan alle spannings- en stroombronnen periodiek zijn in de tijd. Dit heeft tot gevolg dat alle spanningen en stromen in het circuit zich na een bepaalde periode herhalen Simulatie van deze circuits geeft lineaire stelsels met een cyclische structuur Bestaande methoden voor it soort stelsels zijn niet zo goed geschikt voor parallelle computers De methode die we in hoofdstuk 4 voorstellen is dat wel De totale hoeveelheid rekenwerk is bij deze methode iets groter dan bij de bestaande methoden, maar dankzij het parallellisme kunnen de stelsels vergelijkingen op een parallelle computer toch beduiden sneller worden opgelost Hoofdstuk 5 gaat over een iteratieve methode voor lineaire stelsels vergelijkingen waarbij de co¨effici¨entenmatrix een polynoom is van een andere matrix Dit type lineaire stelsels komt onder andere voor bij een toepassing in de natuurkunde Er zijn (nog) geen toepassingen in circuitsimulatie Door de speciale structuur van het stelsel uit te buiten verkrijgen we een effici¨ente methode De nieuwe methode geeft vaak iets nauwkeuriger resultaten dan de bestaande methoden voor dit soort stelsel