Arbitrage with fractional brownian motion?

In recent years fractional Brownian motion has been suggested to replace the classical Brownian motion as driving process in the modelling of many real world phenomena, including stock price modelling. In several papers seemingly contradictory results on the existence or absence of a riskless gain (arbitrage) in such stock models have been stated. This survey tries to clarify this issue by pointing to the importance of the chosen class of admissible trading strategies

Option pricing in fractional models

This thesis deals with application of the fractional Black-Scholes and mixed fractional Black-Scholes models to evaluate different type of options. These assessments are considered in four individual papers. In the first articles, the problem of geometric Asian and power options pricing is investigated when the stock price follows a time changed mixed fractional model. In this model, an inverse subordinator process in the mixed fractional Black-Scholes model replaces the physical time. The aim of the third paper is to evaluate the European currency option in a fractional Brownian motion environment by the time-changed strategy. Also, the impact of time step and long range dependence are obtained under transaction costs. Conditional mean hedging under fractional Black-Scholes model is the propose of the second article. The conditional mean hedge of the European vanilla type option with convex or concave positive payoff under transaction costs is obtained. In the fourth article, the mixed fractional Brownian motion with jump process are incorporated to analyze European options in discrete time case. By a mean delta hedging strategy, the pricing model is proposed for European option under transaction costs.Väitöskirja tarkastelee fraktionaalisen Black–Scholes -mallin ja sekoitetun fraktionallisen Black–Scholes -mallin käyttöä erityyppisten optioiden arvottamisessa. Tätä tutkitaan neljässä artikkelissa. Ensimmäisessä artikkelissa tarkastellaan geometrisia aasialaisia optioita ja potenssioptioita, kun osakehinta noudattaa aikamuunnettua sekoitettua fraktionaalista mallia. Tässä mallissa sekoitun fraktionaalisen Black–Scholes -mallin käänteinen subordinaattoriprosessi korvaa fysikaalisen ajan. Kolmannen artikkelin tarkoitus on hinnoitella eurooppalainen valuuttaoptio fraktionaalisen Brownin liikkeen mallissa aikamuunnetulla strategialla. Lisäksi aika-askeleen ja pitkän aikavälin riippuvuuden vaikutusta tutkitaan transaktiokulujen alaisuudessa. Ehdollinen keskiarvosuojaaminen fraktionaalisessa Black–Sholes -mallissa on toisen artikkelin aihe. Ehdollinen keskiarvosuojaus eurooppalaiselle vaniljaoptiolle, jolla on konveksi tai konkaavi positiivinen tuottofunktio transaktiokulujen vallitessa, on artikkelin päätulos. Neljännessä artikkelissa tutkitaan eurooppalaisia optioita diskreetissä ajassa mallissa, joka on hypyllinen sekoitettu fraktionaalinen Brownin liike. Käyttäen keskiarvoista deltasuojausstrategiaa artikkelissa johdetaan hinnoittelumalli eurooppalaisille optioille transaktiokulujen vallitessa.fi=vertaisarvioitu|en=peerReviewed

A Wick functional limit theorem and applications to fractional Brownian motion

The Wick product is a well-known tool in stochastic analysis to construct stochastic integrals with respect to Gaussian processes beyond semimartingales. Similarly, on disturbed random walks one can define a discrete counterpart. In this thesis we prove that weak convergence of central limit theorems carries over to applications of Wick products. Thus, the analogy of the discrete and continuous Wick calculus finds its expression in particular in convergence results. These convergences range to a functional limit theorem for Gaussian processes. Due to an extension of Sottinen\u27s Donsker-type approximation of the fractional Brownian motion (Finance and Stochastics. (5), 343-355 (2001)) to all Hurst parameters, we can also approximate processes of fractional geometric Brownian motion type. Based on this, we examine the convergence of solutions of Wick difference equations to solutions of corresponding Wick-Ito stochastic differential equations. We determine the asymptotical computational costs of the difference equations and illustrate it on examples for the fractional Black-Scholes model. Moreover, we provide the equivalence conditions for convergence of discrete S-transforms to continuous S-transforms. In particular, this convergence is represented in terms of the Wiener chaos decompositions.Das Wick Produkt ist ein bekanntes Werkzeug der stochastichen Analysis, um stochastische Integrale bezüglich Gaußschen Prozessen jenseits von Semimartingalen zu konstruieren. Gleichermaß en kann auf gestörten Irrfahrten ein diskretes Pendant definiert werden. Wir zeigen, dass die schwache Konvergenz von zentralen Grenzwertsätzen unter der Anwendung der Wick Produkte erhalten bleibt. Damit findet die Analogie der diskreten und stetigen Wick Kalküle gerade in Konvergenzresultaten ihren Ausdruck. Diese Konvergenzen reichen bis zu einem Funktionalen Grenzwertsatz für Gaußsche Prozesse. Die Erweiterung von Sottinens Donsker-Approximation der fraktionalen Brownschen Bewegung (Finance and Stochastics. (5), 343-355 (2001)) für alle Hurst-Parameter befähigt uns, Prozesse von der Art der fraktionalen geometrischen Brownschen Bewegung zu approximieren. Basierend darauf untersuchen wir die Konvergenz von Lösungen von Wick-Differenzen Gleichungen gegen Lösungen von zugehörigen Wick-Ito stochastischen Differentialgleichungen. Wir bestimmen den asymptotischen Rechenaufwand der Simulation dieser Differenzengleichungen und erläutern dies an Beispielen des fraktionalen Black-Scholes Modells. Zudem charakterisieren wir Äquivalenzen zur Konvergenz der diskreten gegen die stetigen S-Transformierten. Insbesondere ist diese Konvergenz darstellbar in Form von Wiener Chaos-Zerlegungen