Calcul analytique

Ce document correspond à un cours qui a été donné aux Journées Nationales du Calcul Formel à Luminy en novembre 2011. Pourquoi un cours sur le calcul analytique ? Traditionnellement, on choisit le calcul formel pour la beauté du calcul symbolique ! Or, les techniques du calcul formel admettent de nombreuses applications en analyse, et le calcul numérique peut parfois permettre une résolution plus efficace ou directe de problèmes en calcul formel. Toutefois, quand j'ai commencé à m'intéresser à des problèmes plus analytiques, il me manquait la culture nécessaire en analyse calculable et en arithmétique d'intervalles. Ce cours cherche à exposer les techniques les plus utiles de ces domaines, tout en gardant le lien avec le calcul formel en filigrane

Algorithmes rapides pour les polynômes, séries formelles et matrices

Notes d'un cours dispensé aux Journées Nationales du Calcul Formel 2010International audienceLe calcul formel calcule des objets mathématiques exacts. Ce cours explore deux directions : la calculabilité et la complexité. La calculabilité étudie les classes d'objets mathématiques sur lesquelles des réponses peuvent être obtenues algorithmiquement. La complexité donne ensuite des outils pour comparer des algorithmes du point de vue de leur efficacité. Ce cours passe en revue l'algorithmique efficace sur les objets fondamentaux que sont les entiers, les polynômes, les matrices, les séries et les solutions d'équations différentielles ou de récurrences linéaires. On y montre que de nombreuses questions portant sur ces objets admettent une réponse en complexité (quasi-)optimale, en insistant sur les principes généraux de conception d'algorithmes efficaces. Ces notes sont dérivées du cours " Algorithmes efficaces en calcul formel " du Master Parisien de Recherche en Informatique (2004-2010), co-écrit avec Frédéric Chyzak, Marc Giusti, Romain Lebreton, Bruno Salvy et Éric Schost. Le support de cours complet est disponible à l'url https://wikimpri.dptinfo.ens-cachan.fr/doku.php?id=cours:c-2-2

Évaluation efficace de fonctions numériques - Outils et exemples

With computers, it is possible to evaluate some numerical functions such as f = exp, sin, arccos, etc. The purpose of this thesis is to study how these functions can be implemented. Depending on the target architecture (software or hardware, small or high accuracy required), different problems must be addressed, but the final goal is always to eventually obtain an implementation as efficient as possible. We first study with an example the problems that arise in the case when the precision is arbitrary. When, on the contrary, the precision is known in advance, the function f is often replaced by an approximation polynomial p. Such a polynomial can then be very efficiently evaluated. In practice, the coefficients of p must be representable on a given finite number of bits. We propose several algorithms (some of them are heuristic and others are rigorous) for finding very good approximation polynomials satisfying this constraint. Our results also apply in the case when the approximant is a rational fraction. Once p has been found, one must prove that the error |p-f| is not greater than a given bound. The particular form of the function p-f (subtraction between two very close functions) makes this property hard to rigorously prove. We propose an algorithm for overcoming this difficulty. All these algorithms have been integrated into a software tool called Sollya, developed during the thesis. In the beginning, it was created for making the implementation of functions easier. Now, it may be interesting for anyone who needs to perform numerical computations in a safe environment.Les systèmes informatiques permettent d'évaluer des fonctions numériques telles que f = exp, sin, arccos, etc. Cette thèse s'intéresse au processus d'implémentation de ces fonctions. Suivant la cible visée (logiciel ou matériel, faible ou grande précision), les problèmes qui se posent sont différents, mais l'objectif est toujours d'obtenir l'implémentation la plus efficace possible. Nous étudions d'abord, à travers un exemple, les problèmes qui se posent dans le cas où la précision est arbitraire. Lorsque, à l'inverse, la précision est connue d'avance, la fonction f est souvent remplacée par un polynôme d'approximation p. Un tel polynôme peut ensuite être évalué très efficacement en machine. En pratique, les coefficients de p doivent être représentables sur un nombre fini donné de bits. Nous proposons un ensemble d'algorithmes (certains sont heuristiques, d'autres rigoureux) pour trouver de très bons polynômes d'approximation répondant à cette contrainte. Ces résultats s'étendent au cas où la fonction d'approximation est une fraction rationnelle. Une fois p trouvé, il faut prouver que l'erreur |p-f| n'excède pas un certain seuil. La nature particulière de la fonction p-f (soustraction de deux fonctions très proches) rend cette propriété difficile à prouver rigoureusement. Nous proposons un algorithme capable de contourner cette difficulté. Tous ces algorithmes ont été intégrés au logiciel Sollya, développé pendant la thèse. À l'origine conçu pour faciliter l'implémentation de fonctions, ce logiciel s'adresse à présent à toute personne souhaitant faire des calculs numériques dans un cadre complètement fiable

Actes du séminaire national de didactique des mathématiques 2012

Actes de la session 2012 du séminaire national de didactique des mathématiques. Le séminaire national de didactique des mathématiques est organisé par l'ARDM. Il a pour but de permettre la diffusion régulière des recherches nouvelles ou en cours, et de favoriser les échanges et débats au sein de la communauté francophone de didactique des mathématiques. Se trouvent également des textes correspondant à la fête des 30 ans de la revue RDM (Recherche en Didactique des Mathématiques) et au colloquium organisé conjointement par l'ARDM et la CFEM (Commission Française pour l'enseignement des mathématiques)

Étude de l'enseignement et de l'apprentissage des formes indéterminées

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal

Sur des méthodes et algorithmes de factorisation et leur application en cryptologie

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal

Modèle de coopération entre calcul formel et calcul numérique pour la simulation et l'optimisation des systèmes

Après avoir étudié les collaborations établies aujourd'hui entre différents environnements de résolution de problèmes, le manuscrit propose un modèle de conception d'un système de calcul basé sur la coopération entre calcul formel et numérique. Cette coopération entre différents sous-systèmes de calcul est de type complémentaire : les rôles sont définis a priori. Suivant une démarche orientée modèle, le modèle de coopération est spécifié en UML 2.0 selon la vue structurelle et la vue comportementale. A partir du modèle conceptuel, nous définissons les règles de transformation pour produire le modèle d'implémentation spécifique de la "plate-forme" FORTRAN 90. Au vu des résultats d'études particulières en génie des procédés - la solvatation d'acides forts, et la distillation de Rayleigh- il apparaît que la démarche de calcul coopératif proposée : apporte plus d'expressivité lors de la modélisation; incite à modéliser les systèmes physiques à l'aide de fonctions, souvent implicites; permet la réutilisation de modèles par la composition et l'assemblage de fonctions; et apporte plus de fiabilité lors de la simulation, notamment grâce au calcul précis des dérivées des modèles. ABSTRACT : After investigating state-of-the-art collaborations between various environments aimed at system resolution, this paper presents a design model for a calculation system based on the co-operation of formal and numerical calculations. This co-operation between multiple sub-systems is complementary: the roles are defined a priori. Following an object-oriented approach, the model is specified via UML 2.0, in terms of the structural and behavioural views. From the conceptual model, we define the transformation rules required to create the implementation - specific model for the FORTRAN 90 platform. From the results witnessed within specific process engineering studies - namely the solvation of strong acids and Rayleigh's distillation - it can be seen that this co-operative approach: empowers us with an improved expressivity at the modelling stage; instigates physical modelling using (often implicit) functions; allows model re-use through function aggregation and assembly; and brings a greater reliability during simulation, notably as a result of the precise calculation of derivatives of the mode

Automatique: Dynamique et contrôle des systèmes

Engineering schoolLe but est de présenter les notions et outils fondamentaux nécessaires à l'analyse et au contrôle des systèmes. Ce cours est articulé autour des trois thèmes suivants : – Systèmes dynamiques : stabilité, robustesse, théorie de perturbations. – Commandabilité : stabilisation par bouclage, planification et suivi de trajectoire. – Observabilité : estimation, observateur asymptotique, filtrage et diagnostic. Le cours part de quelques exemples issus du monde industriel ou académique. Chaque exemple motive et justifie les définitions et résultats abstraits sur lesquels reposent une classe d'algorithmes de contrôle et/ou d'estimation. Dans bien des domaines scientifiques, une théorie a très souvent pour origine une petite collection d'exemples bien compris et analysés. Nous nous inscrivons dans cette démarche. Une approche qui part du particulier pour aller vers le général permet aussi de mieux comprendre les ressorts fondamentaux sur lesquels reposent certains résultats mais aussi de bien cerner leur limitations. L'Automatique est un domaine actif de recherche. Le cours abordera certaines questions qui n'admettent pas de réponse claire aujourd'hui bien qu'elles aient de fortes motivations pratique

Filtre à décimation parallelisé

Plusieurs applications radio utilisent de plus en plus de hautes fréquences d'échantillonnage qui permettent de numériser directement les signaux RF. Malheureusement, la vitesse de l'unité de traitement numérique des signaux actuellement disponible est limitée. Elle ne permet pas d'atteindre des hautes fréquences d'horloge. L'objectif principal de ce mémoire est justement d'étudier et de développer une architecture prallelisée de filtres décimateurs qui offre la possibilité d'opérer à une haute fréquence d'échantillonnage de l'ordre de 1 GHz. Cette architecture doit être programmable avec les moyens technologiques disponibles tels que FPGA. Elle doit être également efficace avec une complexité acceptable. Ainsi, deux techniques ont été étudiées. La première technique consiste à utiliser des filtres numériques RII. La seconde technique consiste à l'utilisation des filtres Cascaded Integrate and Comb (CIC) où plusieurs structures ont été analysées et évaluées

Actes du troisième colloque de l’Association de didacticiens des mathématiques africains : ADiMA 3 : approche interdisciplinaire dans l'enseignement et l'apprentissage des mathématiques : quels projets et quels enjeux pour l'Afrique?

« Le colloque ADIMA 3 se situe dans les activités de l’Association de Didacticiens des Mathématiques Africains (ADIMA) reconnu comme une conférence régionale de l’ International Commission of Mathematical Instruction (ICMI). Le colloque vise à contribuer au développement de la recherche en didactique des mathématiques et des sciences et des techniques à tous les niveaux de l'enseignement, avec un souci particulier pour le développement de nouvelles recherches et pour le dialogue avec les mathématiciens, les physiciens, les informaticiens, les mécaniciens, etc. D’une envergure internationale et le colloque ADiMA 3 s’adressait aux chercheurs, formateurs et enseignants qui s’intéressent aux mathématiques et à leur enseignement et à son apprentissage. Le pari de ce troisième colloque scientifique d’ADiMA est de réfléchir sur la question de l’interdisciplinarité par le biais du thème suivant : Approche interdisciplinaire dans l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques : quels projets et quels enjeux pour l’Afrique? [...].