Almost global attraction in planar systems

Trabajo presentado en el Congreso Latinoamericano de Control Automático. CLCA 2004. La Habana, Cuba, 2004.In this work we present a result relating the recent ideas of almost global stability and density functions with the classical Poincare-Bendixson Theory for planar systems

Almost global stability of dynamical systems

In this Thesis we have put together many results recently appeared in the control community, related with the concepts of almost global stability of dynamical systems and density functions. We have also made some contributions on this direction: we have incorporated the idea of monotone measures and studied its relationship with almost global stability; we have blended these new ideas with the classical Ponincar´e-Bendixson Theory for planar systems and we have developed converse results on the direction of proving an equivalence between the existence of density functions and almost global stability. Closing this work, we have analyzed the almost global synchronization of sinusoidally coupled oscillators, where we have stated how some conditions on the interconnection graph ensures the almost global stability of the synchronized state.En la presente tesis hemos puesto en un solo trabajo recientes aportes aparecidos en la comunidad de control relacionados con el concepto de casi estabilidad global de sistemas dinámicos y las funciones de densidad. También hemos aportado conocimientos originales en dicha línea, a saber: la incorporación de la idea de medida monótona y su relación con la casi estabilidad global, la vinculación de dichas ideas con resultados clásicos como la Teoría de Poincaré-Bendixson para sistemas planos y el desarrollo de resultados recíprocos que van en la línea de probar que la casi estabilidad global es equivalente a la existencia de funciones de densidad. A modo de cierre de la Tesis, hemos incluido el análisis completo de un sistema de osciladores acoplados, donde hemos estudiado las condiciones de interconexión que aseguran la casi estabilidad global del estado de sincronización colectiva

Условия устойчивости нелинейных динамических систем с монотонной мерой на фазовом потоке

В работе рассмотрена задача о притяжении траекторий динамической системы к положению равновесия для почти всех начальных условий. Для исследования притягивающего множества динамической системы использована мера в фазовом пространстве, обладающая свойством монотонности на потоке. Найдены достаточные условия притяжения решений без предположения о строгой положительности дивергенции функции плотности. Этот результат распространяет подход А. Рантцера на случай абстрактных динамических систем в метрическом пространстве. С помощью построения функции плотности в явном виде исследована модельная система нелинейных дифференциальных уравнений.У роботі розглянуто задачу про притягання траєкторій динамічних систем до стану рівноваги для майже всіх початкових умов. Для дослідження притягальної множини динамічної системи використано міру в фазовому просторі, що має властивість монотонності на потоці. Знайдено достатні умови притягання розв'язків без припущення щодо строгої позитивності дивергенції функції щільності. Цей результат поширює підхід А. Рантцера на випадок абстрактних динамічних систем у метричному просторі. За допомогою побудови функції щільності в явному вигляді досліджено модельну систему нелінійних диференціальних рівнянь.In this paper, the problem of attraction of the trajectories to an equilibrium of a dynamical system is considered for almost all initial conditions. A measure with the monotonicity property on the phase flow is used for the investigation of the attractive set. Sufficient conditions for the attraction of the solutions are obtained without assuming that the divergence of the density function is strictly positive. This result extends A. Ranter’s approach for the case of abstract dynamical systems in a metric space. A model system of nonlinear differential equations is studied by means of an explicit construction of the density function

Colaboración entre los depredadores y efecto Allee débil en las presas. Consecuencias en la dinámica de un modelo de depredación

The interactions between predators and their prey in the real world are usually affected by diverse ecological phenomena acting on both the prey and the predators. Collaboration or cooperation between predators is one of those behaviors, which has received less attention from researchers than competition among consumers. These contacts are important aspects of the dynamics of food chains and trophic webs. In this work, we will study the influence of collaboration or cooperation (hunting cooperation) between predators to consume (or capture) their favorite prey, which are affected by an effect Allee weak. We extend the results obtained in a previously published model, considering only collaboration between predators and in which the Allee effect is absent.Las interacciones entre los depredadores y sus presas en el mundo real son afectadas usualmente por diversos fenómenos ecológicos actuando tanto en las presas como en los depredadores. La colaboración o cooperación entre los depredadores es una de esas conductas, la cual ha recibido menor atención de los investigadores que la competición entre los consumidores. Estas conductas influyen de manera importante en las dinámicas de las cadenas alimenticias o redes tróficas. En este trabajo, estudiaremos la influencia de la colaboración o cooperación (hunting cooperation) entre los depredadores para consumir (o capturar) a sus presas favoritas, las cuales son afectadas por un efecto Allee débil

Una clase de modelo de depredación del tipo Leslie-Gower con respuesta funcional racional no monotónica y alimento alternativo para los depredadores

The interactions between two species are basic in the study of complex food chains, particularly the relation among the predators and their prey.The analysis of simple models, described by continuous-time systems, in which some ecological phenomena are incorporated giving lights about this interesting interrelationship.In this work, a Leslie-Gower type predator-prey model is analyzed, considering two aspects: the prey defends from the predation, forming group defense and the predators have an alternative food. So, a rational Holling type IV functional response and a modification of the predators carrying capacity are assumed, to describe each phenomenon.We determine conditions on the parameter space for the existence of the equilibria and their nature.Using the Lyapunov quantities method, we also establish conditions on the parameter values for which there exist a unique positive equilibrium point, which is stable and surrounded by two limit cycle, the innermost unstable and the outermost sable.We conclude that the parameter indicating the existence of alternative food for predator has a great importance on the dynamic of model, because appear new equilibrum points and separatrix curves in the phase plane.Some simulations are given to reinforce our findings the ecological interpretations of resultas are given.Las interacciones entre dos especies son básicas en el estudio de cadenas alimentarias complejas, en particular la relación entre los depredadores y sus presas.El análisis de modelos simples, descritos por sistemas de tiempo continuo, en los cuales se incorporan algunos fenómenos ecológicos dando luces sobre esta interesante interrelación.En este trabajo, se analiza un modelo de depredador-presa del tipo Leslie-Gower, descrito por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) considerando dos aspectos: la presa se defiende de la depredación, formando grupo de defensa, y los depredadores disponen un alimento alternativo, cuando su alimento favorito escasea. Por lo tanto, se asume una respuesta funcional racional de Holling tipo IV y una modificación de la capacidad de carga de los depredadores para describir estos fenómenos.Determinamos las condiciones en el espacio de parámetros para la existencia de los equilibrios y la naturaleza de cada uno de ellos.Concluimos que el parámetro que indica la existencia de alimento alternativo para depredadores tiene una gran importancia en la dinámica del modelo, porque aparecen nuevos puntos de equilibrio y curvas de separatriz en el plano de fase.Por simulaciones numéricas comprobamos que existe un subconjunto de parámetros para los cuales hay un único punto de equilibrio positivo en el plano de fase, el cual es estable y está rodeado por dos ciclos límites originados por bifurcación de Hopf, el interior inestable y el exterior estable

Influencia del efecto Allee fuerte en las presas y de la competición entre los depredadores en modelos de depredación del tipo Leslie-Gower

It is well known that predator-prey interactions are strongly dependent on the functional response as well as the population growth rates of prey and predators.In this work, the study will be based on a Leslie-Gower type predation model, described by a twodimensional system of ordinary differential equations (ODEs), assuming the prey population is affected by a strong Allee effect and that predators have an alternative food.The functional response will be assumed linear, which is prey-dependent and monotonously increasing. In turn, the equation of growth of predators will also be considered of the logistic type, where the environmental carrying capacity for predators is assumed proportional to the prey population size. Among the most important results obtained is that for a same set of parameters, there are different behaviors of the system solutions, since two attractor equilibrium points can exist. Then, populations can coexist around of fixed population sizes, or the prey population can become extinct. We estimate that the analytical results obtained have an adequate ecological interpretation, under the underlying assumptions in the modeling of the predation interaction with ODEs.Es bien sabido que las interacciones depredador-presa dependen fuertemente tanto de la respuesta funcional, como de las tasas de crecimiento de la población de presas y depredadores.En este trabajo, el estudio se hará en base a un modelo de depredación del tipo Leslie-Gower, descrito por un sistema bidimensional de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs), asumiendo que la población de presas es afectada por un efecto Allee fuerte y que los depredadores disponen de un alimento alternativo.La respuesta funcional se asumirá lineal, la cual es presa-dependiente y monótonamente creciente. A su vez, la ecuación de crecimiento de los depredadores también se considerará del tipo logístico, donde la capacidad de soporte del medio ambiente para los depredadores se considera proporcional al tamaño de la población de presas.Entre los resultados obtenidos más importantes se tiene que para un mismo conjunto de parámetros, existen diferentes comportamientos de las soluciones del sistema, pues pueden existir dos puntos de equilibrio atractores. Entonces, las poblaciones pueden coexistir alrededor de tamaños poblacionales fijos, o bién, la población de presas puede extinguirse.Estimamos que los resultados analatícos obtenidos tienen una adecuada interpretación ecológica, bajo los supuestos subyacentes en la modelación de la interacción de depredación con EDOs

Un modelo de depredación del tipo Leslie-Gower considerando depredadores generalistas y efecto Allee en las presas

The main feature of the Leslie-Gower-type predation model is that the predator’s growth function is one of logistic-type. Thus, it is a model assuming implicitly the competition among predators. In this work the dynamics of a modified Leslie-Gower type predator-prey model is analyzed, considering two important aspects: (i) the predators capture an alternative food when the quantity of prey is scarce and (ii) the prey population is affected by an Allee effect. Considering a topological equivalent system, the main properties of the system are established. Necessary and sufficient conditions for the existence and local stability of equilibria are determined, also showing the existence of a homoclinic orbit and of at least a limit cycle. When the predators are generalists the dynamics of the model differ enough respecting the model considering predators specialist since appearing more equilibrium points and the mentioned homoclinic orbit.La característica principal de los modelos del tipo Leslie-Gower, es que la ecuación de crecimiento de los depredadores es descrita por la función de logística. Por lo tanto, es un modelo que supone implícitamente la competencia entre los depredadores. En este trabajo se analiza la dinámica de un modelo derivado del modelo de Leslie-Gower,considerando dos aspectos importantes: (i) los depredadores capturan un alimento alternativo cuando la cantidad de presas es escasa y (ii) la población de presas se ve afectada por un efecto Allee. Considerando un sistema equivalente topológico, se establecen las principales propiedades del modelo. Se determinan las condiciones necesarias y suficientes para la existencia y la estabilidad local de los equilibrios. Además, se prueba la existencia de una órbita homoclínica y de al menos un ciclo límite. Cuando los depredadores son generalistas, la dinámica del modelo difiere bastante con respecto al modelo donde los depredadores son especialistas. Dinámicamente aparecen más puntos de equilibrio y una órbita homoclínica

Almost global attraction in planar systems

In this work, we present a result relatin gthe recent ideas of almost global stability and density functions with the classicalPoincaré–Bendixson theory for planar systems