Towards transversality of singular varieties: splayed divisors

We study a natural generalization of transversally intersecting smooth hypersurfaces in a complex manifold: hypersurfaces, whose components intersect in a transversal way but may be themselves singular. Such hypersurfaces will be called splayed divisors. A splayed divisor is characterized by a property of its Jacobian ideal. This yields an effective test for splayedness. Two further characterizations of a splayed divisor are shown, one reflecting the geometry of the intersection of its components, the other one using K. Saito's logarithmic derivations. As an application we prove that a union of smooth hypersurfaces has normal crossings if and only if it is a free divisor and has a radical Jacobian ideal. Further it is shown that the Hilbert-Samuel polynomials of splayed divisors satisfy a certain additivity property.Comment: 15 pages, 1 figure; v2: minor revision: inaccuracies corrected and references updated; v3: final version, to appear in Publ. RIM

Characterizing normal crossing hypersurfaces

The objective of this article is to give an effective algebraic characterization of normal crossing hypersurfaces in complex manifolds. It is shown that a hypersurface has normal crossings if and only if it is a free divisor, has a radical Jacobian ideal and a smooth normalization. Using K. Saito's theory of free divisors, also a characterization in terms of logarithmic differential forms and vector fields is found and and finally another one in terms of the logarithmic residue using recent results of M. Granger and M. Schulze.Comment: v2: typos fixed, final version to appear in Math. Ann.; 24 pages, 2 figure

Normal crossings in local analytic geometry

Das Hauptziel dieser Dissertation ist eine effektive algebraische Charakterisierung von Divisoren (= Hyperflächen) mit normalen Kreuzungen in komplexen Mannigfaltigkeiten anzugeben. Um eine derartige Charakterisierung zu finden, studieren wir sowohl logarithmische Vektorfelder entlang eines Divisors, d.h., Vektorfelder des umgebenden Raumes, die in allen glatten Punkten des Divisors tangential an ihn sind, als auch logarithmische Differentialformen. Mit Hilfe der zugehörigen Theorie, entwickelt von K. Saito, wird eine Charakterisierung von Divisoren mit normalen Kreuzungen durch logarithmische Differentialformen (Vektorfelder) gezeigt. Des weiteren wird eine Charakterisierung durch das logarithmische Residuum vorgestellt (diese beruht auf Ergebnissen von Granger und Schulze). Damit kann eine Frage von K. Saito beantwortet werden. Im zweiten Kapitel werden Singularitäten eines Divisors mit normalen Kreuzungen untersucht, insbesondere betrachten wir das Jacobi Ideal, das den singulären Ort des Divisors definiert. Unser Hauptsatz besagt, dass ein Divisor genau dann normale Kreuzungen in einem Punkt besitzt, wenn er frei in diesem Punkt, sein Jacobi Ideal radikal und seine Normalisierung Gorenstein ist. Freie Divisoren werden durch logarithmische Differentialformen definiert und bilden eine Klasse von Divisoren, die insbesondere Divisoren mit normalen Kreuzungen enthält. Da eine algebraische Charakterisierung von freien Divisoren durch deren Jacobi Ideale existiert (nach A. G. Aleksandrov), ergibt sich aus unserem Resultat eine rein algebraische Charakterisierung der normalen Kreuzungsbedingung. Im Laufe des Beweises des Hauptsatzes werden gespreizte Divisoren eingeführt, die eine leichte Verallgemeinerung von Divisoren mit normalen Kreuzungen darstellen. Im letzten Teil der Arbeit werden weiterreichende Probleme betrachtet: Zuerst fragen wir, welche radikalen Ideale Jacobi Ideale von Divisoren sein können. Dann werden gespreizte Divisoren genauer untersucht, insbesondere zeigen wir, dass ihre Hilbert-Samuel Polynome eine gewisse Additivitätsbedingung erfüllen. Schließlich wird eine weitere Verallgemeinerung von Divisoren mit normalen Kreuzungen betrachtet, sogenannte Mikado Divisoren. Hier charakterisieren wir ebene Mikado Kurven durch ihr Jacobi Ideal.The main objective of this thesis is to give an effective algebraic characterization of normal crossing divisors (= hypersurfaces) in complex manifolds. In order to obtain such a characterization we study logarithmic vector fields along a divisor, i.e., vector fields defined on the ambient space, which are tangent to the divisor at its smooth points, as well as logarithmic differential forms. Using the corresponding theory, which was developed by K. Saito, a characterization of a normal crossing divisor in terms of logarithmic differential forms (vector fields) is shown. Also a characterization of a normal crossing divisor in terms of the logarithmic residue is given (which is essentially due to Granger and Schulze). With this a question posed by K. Saito in 1980 can be answered. In the second chapter we study singularities of normal crossing divisors, in particular we consider Jacobian ideals, which define the singular locus of a divisor. The main theorem is that a divisor has normal crossings at point if and only if it is free at the point, its Jacobian ideal is radical and its normalization is Gorenstein. Free divisors are defined via logarithmic vector fields and form a class of divisors containing normal crossing divisors. Since there exists an algebraic characterization of free divisors by their Jacobian ideals, our result yields a purely algebraic characterization of the normal crossings property. During the proof of the main theorem splayed divisors are introduced, which are a slight generalization of normal crossing divisors. In the last part we consider further-reaching questions: first we ask, which radical ideals can be Jacobian ideals of divisors. Then splayed divisors are studied in more detail, in particular, we show that their Hilbert-Samuel polynomials satisfy a certain additivity property. Finally, we consider another generalization of normal crossing divisors, so-called mikado divisors. Here the plane curve case is studied and we characterize mikado curves by their Jacobian ideal