A linear approach to shape preserving spline approximation

This report deals with approximation of a given scattered univariate or bivariate data set that possesses certain shape properties, such as convexity, monotonicity, and/or range restrictions. The data are approximated for instance by tensor-product B-splines preserving the shape characteristics present in the data. Shape preservation of the spline approximant is obtained by additional linear constraints. Constraints are constructed which are local {\em linear sufficient\/} conditions in the unknowns for convexity or monotonicity. In addition, it is attractive if the objective function of the minimization problem is also linear, as the problem can be written as a linear programming problem then. A special linear approach based on constrained least squares is presented, which reduces the complexity of the problem in case of large data sets in contrast with the $\ell_\infty$ and the $\ell_1$-norms. An algorithm based on iterative knot insertion which generates a sequence of shape preserving approximants is given. It is investigated which linear objective functions are suited to obtain an efficient knot insertion method

Discrete Least-norm Approximation by Nonnegative (Trigonomtric) Polynomials and Rational Functions

Polynomials, trigonometric polynomials, and rational functions are widely used for the discrete approximation of functions or simulation models.Often, it is known beforehand, that the underlying unknown function has certain properties, e.g. nonnegative or increasing on a certain region.However, the approximation may not inherit these properties automatically.We present some methodology (using semidefinite programming and results from real algebraic geometry) for least-norm approximation by polynomials, trigonometric polynomials and rational functions that preserve nonnegativity.(trigonometric) polynomials;rational functions;semidefinite programming;regression;(Chebyshev) approximation

Discrete Least-norm Approximation by Nonnegative (Trigonomtric) Polynomials and Rational Functions

Polynomials, trigonometric polynomials, and rational functions are widely used for the discrete approximation of functions or simulation models.Often, it is known beforehand, that the underlying unknown function has certain properties, e.g. nonnegative or increasing on a certain region.However, the approximation may not inherit these properties automatically.We present some methodology (using semidefinite programming and results from real algebraic geometry) for least-norm approximation by polynomials, trigonometric polynomials and rational functions that preserve nonnegativity.

Property Preservation and Quality Measures in Meta-Models.

This thesis consists of three parts. Each part considers different sorts of meta-models. In the first part so-called Sandwich models are considered. In the second part Kriging models are considered. Finally, in the third part, (trigonometric) Polynomials and Rational models are studied.

Métodos usuais e propostos para expressar perfis dendrométricos e determinar volumes individuais

Resumo: Neste trabalho foram propostas alternativas à construção de funções de afilamento para árvores individuais, visando perfis monotônicos ou com forma preservada por funções spline cúbica, potência com expoente variável e segmentada de Max e Burkhart além de novas fórmulas para cubagem de toras por sólidos de revolução de polinomiais parabolóide (Artur-VP2), cúbico (Artur-VP3), com diâmetros de toras adjacentes (Artur - VP3A e AP3A), além de alternativas de médias geométricas às fórmulas de Newton e de Smalian. Testes foram realizados para dados de 1367 toras de 1m de comprimento com volumes reais obtidos por Xilômetro para 52 árvores de Pinus elliottii L. coletados na Estação Experimental do Canguiri da Universidade Federal do Paraná. Os métodos foram avaliados por meio do erro absoluto percentual médio (EAPM) na estimativa de volumes. A ANOVA foi aplicada para os fatores tipo de volume, método e comprimento de tora. Os métodos de Huber e de Huiquan Bi foram classificados pelo teste de Scott-Knott como de melhor ranking em todos os agrupamentos, com EAPM para: todos os volumes, de 4,14% e 4,33%; laminação (diâmetro mínimo de 25 cm na ponta fina), de 5,61% e 5,57%; serraria (15 cm), de 4,26% e 3,78%; polpa (8 cm), de 5,91% e 5,86%; volumes totais, de 3,28% e 3,16% e totais comerciais, de 3,26% e 3,04%, respectivamente; foi incluída a fórmula geométrica ponderada, para volumes totais e, além desta, a função spline de Lagrange, para totais de volumes comerciais; para tais métodos as variações de EAPM foram menores que 1,8% para diferentes comprimentos de tora e tipos de volume. Para serraria e polpa, nove e doze métodos foram considerados homogêneos para EAPM variando de 3,54% a 4,59% e de 4,55% a 6,5%, respectivamente. A função de Huiquan Bi estima exatos a altura total e o diâmetro à altura do peito (DAP). A função spline de Lagrange, ajustada com correção nas extremidades das classes de sortimento, exceto para volumes totais, foi classificada entre primeiro e segundo grupos de melhor desempenho. A fórmula Artur-VP3A, sem usar ponto médio, e a fórmula Artur-VP2 foram equivalentes ao método de Newton, de forma que se espera o mesmo da Artur - VP3A em relação a Artur-AP3A, com redução do número de termos. Em geral, as propostas de médias geométricas como modificações às fórmulas de Smalian e de Newton apresentaram melhor desempenho ou menores valores de EAPM que estas, exceto para volumes destinados a polpa, onde a geométrica teve menor desempenho que a de Smalian e a geométrica ponderada, maior EAPM que a de Newton. As fórmulas propostas, exceto a geométrica, foram classificadas no grupo de segundo melhor desempenho, para todos os tipos de volumes, exceto serraria e polpa, no grupo de melhor desempenho. A fórmula Artur - VP5 proporciona técnica de integração numérica para afilamento por polinomial do quinto grau. As funções spline cúbica de Wolberg e Alfy e not-a-knot representaram um terceiro grupo de desempenho, exceto serraria e polpa. A primeira deve ser a preferida, por apresentar preservação de forma e controle de oscilações. Em geral, os métodos superestimaram volumes destinados à laminação e subestimaram volumes destinados à serraria e polpa. A seleção de métodos adquire maior importância para volumes totais e laminação. Os parâmetros da função de Wolberg e Alfy foram estimados por meio de Programação Linear e Não-Linear e as funções potência e de Max e Burkhart, com o método de Levenberg-Marquardt. Os métodos foram implementados nos softwares Maple e R. Palavras-chave: Volumetria. Funções spline cúbica. Preservação da forma. Funções potência. Funções de afilamento

A linear approach to shape preserving spline approximation

This paper deals with the approximation of a given large scattered univariate or bivariate data set that possesses certain shape properties, such as convexity, monotonicity, and/or range restrictions. The data are approximated for instance by tensor-product B-splines preserving the shape characteristics present in the data.\ud \ud Shape preservation of the spline approximant is obtained by additional linear constraints. Constraints are constructed which are local linear sufficient conditions in the unknowns for convexity or monotonicity. In addition, it is attractive if the objective function of the resulting minimisation problem is also linear, as the problem can then be written as a linear programming problem. A special linear approach based on constrained least squares is presented, which in the case of large data reduces the complexity of the problem sets in contrast with that obtained for the usual ℓ2-norm as well as the ℓ∞-norm.\ud \ud An algorithm based on iterative knot insertion which generates a sequence of shape preserving approximants is given. It is investigated which linear objective functions are suited to obtain an efficient knot insertion method