Statistical and Dynamical Modeling of Riemannian Trajectories with Application to Human Movement Analysis

abstract: The data explosion in the past decade is in part due to the widespread use of rich sensors that measure various physical phenomenon -- gyroscopes that measure orientation in phones and fitness devices, the Microsoft Kinect which measures depth information, etc. A typical application requires inferring the underlying physical phenomenon from data, which is done using machine learning. A fundamental assumption in training models is that the data is Euclidean, i.e. the metric is the standard Euclidean distance governed by the L-2 norm. However in many cases this assumption is violated, when the data lies on non Euclidean spaces such as Riemannian manifolds. While the underlying geometry accounts for the non-linearity, accurate analysis of human activity also requires temporal information to be taken into account. Human movement has a natural interpretation as a trajectory on the underlying feature manifold, as it evolves smoothly in time. A commonly occurring theme in many emerging problems is the need to \emph{represent, compare, and manipulate} such trajectories in a manner that respects the geometric constraints. This dissertation is a comprehensive treatise on modeling Riemannian trajectories to understand and exploit their statistical and dynamical properties. Such properties allow us to formulate novel representations for Riemannian trajectories. For example, the physical constraints on human movement are rarely considered, which results in an unnecessarily large space of features, making search, classification and other applications more complicated. Exploiting statistical properties can help us understand the \emph{true} space of such trajectories. In applications such as stroke rehabilitation where there is a need to differentiate between very similar kinds of movement, dynamical properties can be much more effective. In this regard, we propose a generalization to the Lyapunov exponent to Riemannian manifolds and show its effectiveness for human activity analysis. The theory developed in this thesis naturally leads to several benefits in areas such as data mining, compression, dimensionality reduction, classification, and regression.Dissertation/ThesisDoctoral Dissertation Electrical Engineering 201

3rd Workshop in Symbolic Data Analysis: book of abstracts

This workshop is the third regular meeting of researchers interested in Symbolic Data Analysis. The main aim of the event is to favor the meeting of people and the exchange of ideas from different fields - Mathematics, Statistics, Computer Science, Engineering, Economics, among others - that contribute to Symbolic Data Analysis

Quantifying joint behavioral states in zebrafish (Danio rerio) dyadic contests through interpretable variables

Tese de Mestrado, Engenharia Biomédica e Biofísica, 2021, Universidade de Lisboa, Faculdade de CiênciasO comportamento animal é uma área fascinante do ponto de vista físico, no entanto ainda existem vários desafios associados à construção de modelos ou ao desenvolvimento de teorias do comportamento em física. Um dos desafios é desenvolver modelos diretamente dos dados, eliminando o viés antropocêntrico que existe na definição de estados comportamentais. Um bom exemplo da complexidade associada ao comportamento pode ser encontrado em interações sociais, nomeadamente interações agonistas entre peixes-zebra (Danio rerio). Estas interações são bem compreendidas e estereotípicas, e existem catálogos a descrever os estados comportamentais associados a cada fase da interação. Isto e a versatilidade genética a que o peixe zebra se encontra associado, tornam esta interação ideal para o nosso estudo. O nosso objetivo principal consiste na tentativa de derivar um conjunto de estados comportamentais diretamente a partir dos dados experimentais obtidos, sendo estes estados definidos para o conjunto, e não individualmente. Fazemos isso sob a assunção de em interações sociais, estados comportamentais dependem dos elementos envolvidos nessa interação (neste caso, são peixes-zebra) e que esta não é completamente descrita, exceto se levar ambos em conta simultaneamente. Os dados são esqueletos tridimensionais dos 2 peixes-zebra num volume. O processo de aquisição desses dados consiste na aquisição de imagens em 3 planos bidimensionais com câmaras de alta definição, e um pipeline de processamento, que combina várias redes neuronais para a identificação de pontos corporais, a atribuição de identidade temporal aos peixes envolvidos, e a interpolação das imagens nos diferentes planos. Este processo permite a conversão de vários vídeos em sinais temporais que podem ser manipulados e processados de forma adequada. Usamos variáveis interpretáveis, no caso, a distância, os alinhamentos de direcção e aceleração, e os ritmos de batimento de cauda. Essas variáveis embora sejam simples, podem dizer bastante informação sobre a natureza do comportamento, sendo úteis numa exploração inicial. Definimos estados comportamentais compostos (colecção de vários comportamentos efectuados pelos peixes ao longo de um determinado período de tempo) e exploramos a dinâmica de uma luta nesta descrição simplificada. O sistema que resulta das variáveis definidas possui 6 dimensões, projectamos esse sistema para um plano bidimensional para melhor análise. Efectua-se um histograma das novas variáveis, e ter uma estimativa da densidade de probabilidade através da convolução do mesmo com uma gaussiana bidimensional. Detecta-se os picos de densidade, que neste sistema podem ser interpretados como estados comportamentais. Com essa descrição é possível gerar uma sequência simbólica que representa a dinâmica da interacção como sendo a transição entre vários estados comportamentais discretos. Constrói-se uma matriz que representa a transição entre os vários estados, e por decomposição espectral pode-se observar o comportamento dos valores próprios em função do número de transições e é possível decompor os estados em vários conjuntos através dos vectores próprios, cuja dinâmica entre eles é representada pelo valor próprio associado. Através da sequência simbólica é possível uma descrição da interacção entre os elementos, tendo inclusive informação sobre a escala temporal associada à dinâmica entre esses estados. Ao associar os clusters aos diferentes estados comportamentais compostos definidos previamente, é possível ver que certos clusters se encontram associados, e apresenta uma certa estrutura, que pode ser representativa da dinâmica real. Também é possível determinar a escala temporal de interações entre diferentes conjuntos de clusters. Foi possível determinar que os comportamentos ocorrem em escalas temporais maiores do que a escala típica para processo de Markov, e a escala temporal mais elevada se encontra associada a transição entre estados associados à agressão entre o par, e estados associados aos períodos entre lutas. Mostramos que é possível obter uma estrutura comportamental da luta entre dois peixes-zebra utilizando as variáveis simples que definimos. Isto é um framework que permite explorar a dinâmica da sua interação em maior detalhe, a utilizar variáveis ou representações mais precisas, que podem não ser interpretáveis

Empirical models, rules, and optimization

This paper considers supply decisions by firms in a dynamic setting with adjustment costs and compares the behavior of an optimal control model to that of a rule-based system which relaxes the assumption that agents are explicit optimizers. In our approach, the economic agent uses believably simple rules in coping with complex situations. We estimate rules using an artificially generated sample obtained by running repeated simulations of a dynamic optimal control model of a firm's hiring/firing decisions. We show that (i) agents using heuristics can behave as if they were seeking rationally to maximize their dynamic returns; (ii) the approach requires fewer behavioral assumptions relative to dynamic optimization and the assumptions made are based on economically intuitive theoretical results linking rule adoption to uncertainty; (iii) the approach delineates the domain of applicability of maximization hypotheses and describes the behavior of agents in situations of economic disequilibrium. The approach adopted uses concepts from fuzzy control theory. An agent, instead of optimizing, follows Fuzzy Associative Memory (FAM) rules which, given input and output data, can be estimated and used to approximate any non-linear dynamic process. Empirical results indicate that the fuzzy rule-based system performs extremely well in approximating optimal dynamic behavior in situations with limited noise.Decision-making. ,econometric models ,TMD ,

On clustering interval data with different scales of measures : experimental results

This article is is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License. Attribution-NonCommercial (CC BY-NC) license lets others remix, tweak, and build upon work non-commercially, and although the new works must also acknowledge & be non-commercial.Symbolic Data Analysis can be defined as the extension of standard data analysis to more complex data tables. We illustrate the application of the Ascendant Hierarchical Cluster Analysis (AHCA) to a symbolic data set (with a known structure) in the field of the automobile industry (car data set), in which objects are described by variables whose values are intervals of the real data set (interval variables). The AHCA of thirty-three car models, described by eight interval variables (with different scales of measure), was based on the standardized weighted generalized affinity coefficient, by the method of Wald and Wolfowitz. We applied three probabilistic aggregation criteria in the scope of the VL methodology (V for Validity, L for Linkage). Moreover, we compare the achieved results with those obtained by other authors, and with a priori partition into four clusters defined by the category (Utilitarian, Berlina, Sporting and Luxury) to which the car belong. We used the global statistics of levels (STAT) to evaluate the obtained partitions

Cluster-based reduced-order modelling of a mixing layer

We propose a novel cluster-based reduced-order modelling (CROM) strategy of unsteady flows. CROM combines the cluster analysis pioneered in Gunzburger's group (Burkardt et al. 2006) and and transition matrix models introduced in fluid dynamics in Eckhardt's group (Schneider et al. 2007). CROM constitutes a potential alternative to POD models and generalises the Ulam-Galerkin method classically used in dynamical systems to determine a finite-rank approximation of the Perron-Frobenius operator. The proposed strategy processes a time-resolved sequence of flow snapshots in two steps. First, the snapshot data are clustered into a small number of representative states, called centroids, in the state space. These centroids partition the state space in complementary non-overlapping regions (centroidal Voronoi cells). Departing from the standard algorithm, the probabilities of the clusters are determined, and the states are sorted by analysis of the transition matrix. Secondly, the transitions between the states are dynamically modelled using a Markov process. Physical mechanisms are then distilled by a refined analysis of the Markov process, e.g. using finite-time Lyapunov exponent and entropic methods. This CROM framework is applied to the Lorenz attractor (as illustrative example), to velocity fields of the spatially evolving incompressible mixing layer and the three-dimensional turbulent wake of a bluff body. For these examples, CROM is shown to identify non-trivial quasi-attractors and transition processes in an unsupervised manner. CROM has numerous potential applications for the systematic identification of physical mechanisms of complex dynamics, for comparison of flow evolution models, for the identification of precursors to desirable and undesirable events, and for flow control applications exploiting nonlinear actuation dynamics.Comment: 48 pages, 30 figures. Revised version with additional material. Accepted for publication in Journal of Fluid Mechanic