Chromatic number of graphs and edge Folkman numbers

In the paper we give a lower bound for the number of vertices of a given graph using its chromatic number. We find the graphs for which this bound is exact. The results are applied in the theory of Foklman numbers.Comment: 9 pages, 1 figur

Hipergráfok = Hypergraphs

A projekt célkitűzéseit sikerült megvalósítani. A négy év során több mint száz kiváló eredmény született, amiből eddig 84 dolgozat jelent meg a téma legkiválóbb folyóirataiban, mint Combinatorica, Journal of Combinatorial Theory, Journal of Graph Theory, Random Graphs and Structures, stb. Számos régóta fennálló sejtést bebizonyítottunk, egész régi nyitott problémát megoldottunk hipergráfokkal kapcsolatban illetve kapcsolódó területeken. A problémák némelyike sok éve, olykor több évtizede nyitott volt. Nem egy közvetlen kutatási eredmény, de szintén bizonyos értékmérő, hogy a résztvevők egyike a Norvég Királyi Akadémia tagja lett és elnyerte a Steele díjat. | We managed to reach the goals of the project. We achieved more than one hundred excellent results, 84 of them appeared already in the most prestigious journals of the subject, like Combinatorica, Journal of Combinatorial Theory, Journal of Graph Theory, Random Graphs and Structures, etc. We proved several long standing conjectures, solved quite old open problems in the area of hypergraphs and related subjects. Some of the problems were open for many years, sometimes for decades. It is not a direct research result but kind of an evaluation too that a member of the team became a member of the Norvegian Royal Academy and won Steele Prize

Diszkrét matematika = Discrete mathematics

A pályázat résztvevői igen aktívak voltak a 2006-2008 években. Nemcsak sok eredményt értek el, miket több mint 150 cikkben publikáltak, eredményesen népszerűsítették azokat. Több mint 100 konferencián vettek részt és adtak elő, felerészben meghívott, vagy plenáris előadóként. Hagyományos gráfelmélet Több extremális gráfproblémát oldottunk meg. Új eredményeket kaptunk Ramsey számokról, globális és lokális kromatikus számokról, Hamiltonkörök létezéséséről. a crossig numberről, gráf kapacitásokról és kizárt részgráfokról. Véletlen gráfok, nagy gráfok, regularitási lemma Nagy gráfok "hasonlóságait" vizsgáltuk. Különféle metrikák ekvivalensek. Űj eredeményeink: Hereditary Property Testing, Inverse Counting Lemma and the Uniqueness of Hypergraph Limit. Hipergráfok, egyéb kombinatorika Új Sperner tipusú tételekte kaptunk, aszimptotikusan meghatározva a halmazok max számát bizonyos kizárt struktőrák esetén. Több esetre megoldottuk a kizárt hipergráf problémát is. Elméleti számítástudomány Új ujjlenyomat kódokat és bioinformatikai eredményeket kaptunk. | The participants of the project were scientifically very active during the years 2006-2008. They did not only obtain many results, which are contained in their more than 150 papers appeared in strong journals, but effectively disseminated them in the scientific community. They participated and gave lectures in more than 100 conferences (with multiplicity), half of them were plenary or invited talks. Traditional graph theory Several extremal problems for graphs were solved. We obtained new results for certain Ramsey numbers, (local and global) chromatic numbers, existence of Hamiltonian cycles crossing numbers, graph capacities, and excluded subgraphs. Random graphs, large graphs, regularity lemma The "similarities" of large graphs were studied. We show that several different definitions of the metrics (and convergence) are equivalent. Several new results like the Hereditary Property Testing, Inverse Counting Lemma and the Uniqueness of Hypergraph Limit were proved Hypergraphs, other combinatorics New Sperner type theorems were obtained, asymptotically determining the maximum number of sets in a family of subsets with certain excluded configurations. Several cases of the excluded hypergraph problem were solved. Theoretical computer science New fingerprint codes and results in bioinformatics were found

Pre-compact families of finite sets of integers and weakly null sequences in Banach spaces

Two applications of Nash-Williams' theory of barriers to sequences on Banach spaces are presented: The first one is the $c_0$-saturation of $C(K)$, $K$ countable compacta. The second one is the construction of weakly-null sequences generalizing the example of Maurey-Rosenthal