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On the k-distance differential of graphs
Let G = (V, E) be a graph and X ⊆ V . The differential of X is defined as ∂(X) = |B(X)| − |X| where B(X) is a set of all vertices in V − X which has adjacent vertex in the set X. Also, the differential of a graph G written ∂(G), is equal to max{∂(X) : X ⊆ V }. In this paper, we initiate the study of k-distance differential of graphs which is a generalization of differential of graphs. In addition, we show that for any connected graph G of order n ≥ k + 2, the number (2k−1)n / 2k+3 is a sharp lower bound for k-distance differential of G. We also obtain upper bounds for k-distance differential of graphs. Finally, we characterize the graphs whose k-distance differential belongs to {n − 2, n − 3, 1}.Publisher's Versio
Propiedades del diferencial en gráficas
Sea G = (V (G), E(G)) una gráfica simple, en el que V (G) y E(G) son sus conjuntos
de vértices y aristas respectivamente. Si S ⊆ V (G), sea B(S) el conjunto de vértices con-
tenido en V (G)\S con algún vecino en S. El diferencial de S denotado por ∂(S) se define
como |B(S)| −|S|, y el diferencial de una gráfica como ∂(G) = m ́ax{∂(S) : S ⊆ V (G)}.
En este trabajo mostramos una amplia colección de resultados que relacionan el dife-
rencial con parámetros bien conocidos, como el número de dominación, orden, tamaño,
grado, cuello, entre otros. También estudiamos el diferencial en la gráfica R(G), que se
obtiene a partir de G, agregando un nuevo vértice por cada arista de G y uniendo cada
vértice nuevo a los extremos de la arista correspondiente a él. Encontramos cotas para
∂(R(G)) y familias infinitas de gráficas que las alcanzan. Además, mostramos relaciones
interesantes entre ciertos conjuntos de vértices de G y R(G). Generalizamos el concepto
de diferencial de una gráfica. Estudiamos las propiedades matemáticas de este nuevo
parámetro y encontramos cotas que lo relacionan con el orden, tamaño, grado mínimo
(máximo) y el número de dominación. Finalmente, este trabajo se complementa con
el concepto de polinomio diferencial, establecemos relaciones entre el polinomio y sus
coeficientes, y mostramos fórmulas del polinomio diferencial en ciertas clases de gráficas
Symmetry in Graph Theory
This book contains the successful invited submissions to a Special Issue of Symmetry on the subject of ""Graph Theory"". Although symmetry has always played an important role in Graph Theory, in recent years, this role has increased significantly in several branches of this field, including but not limited to Gromov hyperbolic graphs, the metric dimension of graphs, domination theory, and topological indices. This Special Issue includes contributions addressing new results on these topics, both from a theoretical and an applied point of view
β-Differential of a Graph
Let G = ( V , E ) be a simple graph with vertex set V and edge set E. Let D be a subset of V, and let B ( D ) be the set of neighbours of D in V ∖ D . The differential ∂ ( D ) of D is defined as | B ( D ) | − | D | . The maximum value of ∂ ( D ) taken over all subsets D ⊆ V is the differential ∂ ( G ) of G. For β ∈ ( − 1 , Δ ) , the β-differential ∂ β ( G ) of G is the maximum value of { | B ( D ) | − β | D | : D ⊆ V } . Motivated by an influential maximization problem, in this paper we study the β -differential of G