Des transformations logiques passent leur certicat

National audienceDans un contexte de vérification formelle de programmes, utilisant des démonstrateurs automatiques, la base de confiance des environnements de vérification est typiquement très large. Ainsi, un outil de vérification de programmes tel que Why3 comporte de nombreuses procédures complexes : génération de conditions de vérification, transformations logiques de tâches de preuve et interactions avec des démonstrateurs externes. En ne considérant que les transformations logiques dans Why3, leur implantation comporte déjà plus de 17000 lignes de code OCaml. Afin d'augmenter notre confiance dans la correction d'un tel outil de vérification, nous proposons un mécanisme de transformations certifiantes, produisant des certificats pouvant être validés par un outil externe, selon l'approche sceptique. Nous présentons ce mécanisme de génération de certificats et explorons deux méthodes pour les valider : une fondée sur un vérificateur dédié développé en OCaml, l'autre reposant sur le vérificateur de preuves universel Dedukti. Une spécificité de nos certificats est d'être « à petits grains » et composables, ce qui rend notre approche incrémentale, permettant d'ajouter graduellement de nouvelles transformations certifiantes

A la croisée des chemins historiographiques

Présentation du numéro spécial de la Revue de Synthèse “ Histoire des jeux, Jeux de l'histoire"Si le temps des programmes méthodologiques semble passé, leur succession n'en parait pas moins difficile. Pour répondre à l'épineuse question du type d'histoire pratiqué, les historiens des sciences aujourd'hui ne sauraient trop se défier de références naïves à des saints internalistes ou externalistes. Pour ceux qui renacleraient à emprunter le chemin pavé de bonnes intentions de nouvelles chapelles consensuelles, il reste à défricher le maquis des apports croisés de l'historiographie traditionnelle, elle-même nourrie de philosophie et de réflexions de scientifiques sur leur discipline, mais aussi de la sociologie et de l'anthropologie, sans compter la complexité descriptive et analytique tissée par les historiens ces trente dernières années. Avec de la persévérance et un quelques bons rabatteurs, un bel objet scientifique, de pertinence et cohérence estimable, peut sortir du bois..

Différentiabilité et intégrabilité en Coq. Application à la formule de d'Alembert

National audienceLa bibliothèque standard de Coq contient de nombreuses définitions et lemmes permettant de faire de l'analyse, mais ceux-ci se limitent à l'étude de fonctions totales à une seule variable. Même si l'étude des dérivées partielles de fonctions à deux variables peut le plus souvent réutiliser les lemmes existants, l'étude de la formule de d'Alembert comme solution de l'équation des ondes en dimension 1 montre les limites de cette approche. La formalisation en Coq de cette étude a ainsi nécessité de développer une théorie sur la dérivation des intégrales à paramètre et des fonctions à deux variables. De plus, démontrer en Coq la dérivabilité de la formule de d'Alembert s'est révélé être excessivement long. Nous avons donc construit une tactique par réflexion permettant de résumer l'expression "par application des théorèmes généraux de dérivation" souvent utilisée dans les démonstrations sur papier

Tactiques de preuve dans Dedukti

International audienc

Systèmes Canoniques Abstraits : Application à la Déduction Naturelle et à la Complétion

Canonical Systems and Inference (ACSI) were introduced by N. Dershowitz and C. Kirchner to formalize the intuitive notion of good proof and good inference appearing typically in first-order logic or in Knuth-Bendix like completion procedures. Since this abstract framework, based on proof orderings, is intended to be generic, it is of fundamental interest to show its adequacy to represent the main systems of interest. It is here done for minimal propositional natural deduction, and for the standard (Knuth-Bendix) completion, closing an open question. For the first proof system, a generalisation of the ACSI is needed. We provide here a conservative one, in the sense that all results of the original framework still hold. For the second one, two proof representations, proof terms and proofs by replacement, are compared to built a proof ordering that provides an instantiation adapted to the ACSI framework

Repenser la bibliothèque réelle de Coq : vers une formalisation de l'analyse classique mieux adaptée

Real analysis is pervasive to many applications, if only because it is a suitable tool for modeling physical or socio-economical systems. As such, its support is warranted in proof assistants, so that the users have a way to formally verify mathematical theorems and correctness of critical systems. The Coq system comes with an axiomatization of standard real numbers and a library of theorems on real analysis. Unfortunately, this standard library is lacking some widely used results. For instance, the definitions of integrals and derivatives are based on dependent types, which make them cumbersome to use in practice. This thesis first describes various state-of-the-art libraries available in proof assistants. To palliate the inadequacies of the Coq standard library, we have designed a user-friendly formalization of real analysis: Coquelicot. An easier way of writing formulas and theorem statements is achieved by relying on total functions in place of dependent types for limits, derivatives, integrals, power series, and so on. To help with the proof process, the library comes with a comprehensive set of theorems that cover not only these notions, but also some extensions such as parametric integrals and asymptotic behaviors. Moreover, an algebraic hierarchy makes it possible to apply some of the theorems in a more generic setting, such as complex numbers or matrices. Coquelicot is a conservative extension of the classical analysis of Coq's standard library and we provide correspondence theorems between the two formalizations. We have exercised the library on several use cases: in an exam at university entry level, for the definitions and properties of Bessel functions, and for the solution of the one-dimensional wave equation.L'analyse réelle a de nombreuses applications car c'est un outil approprié pour modéliser de nombreux phénomènes physiques et socio-économiques. En tant que tel, sa formalisation dans des systèmes de preuve formelle est justifié pour permettre aux utilisateurs de vérifier formellement des théorèmes mathématiques et l'exactitude de systèmes critiques. La bibliothèque standard de Coq dispose d'une axiomatisation des nombres réels et d'une bibliothèque de théorèmes d'analyse réelle. Malheureusement, cette bibliothèque souffre de nombreuses lacunes. Par exemple, les définitions des intégrales et des dérivées sont basées sur les types dépendants, ce qui les rend difficiles à utiliser dans la pratique. Cette thèse décrit d'abord l'état de l'art des différentes bibliothèques d'analyse réelle disponibles dans les assistants de preuve. Pour pallier les insuffisances de la bibliothèque standard de Coq, nous avons conçu une bibliothèque facile à utiliser : Coquelicot. Une façon plus facile d'écrire les formules et les théorèmes a été mise en place en utilisant des fonctions totales à la place des types dépendants pour écrire les limites, dérivées, intégrales et séries entières. Pour faciliter l'utilisation, la bibliothèque dispose d'un ensemble complet de théorèmes couvrant ces notions, mais aussi quelques extensions comme les intégrales à paramètres et les comportements asymptotiques. En plus, une hiérarchie algébrique permet d'appliquer certains théorèmes dans un cadre plus générique comme les nombres complexes pour les matrices. Coquelicot est une extension conservative de l'analyse classique de la bibliothèque standard de Coq et nous avons démontré les théorèmes de correspondance entre les deux formalisations. Nous avons testé la bibliothèque sur plusieurs cas d'utilisation : sur une épreuve du Baccalauréat, pour les définitions et les propriétés des fonctions de Bessel ainsi que pour la solution de l'équation des ondes en dimension 1

Trakt : Uniformiser les types pour automatiser les preuves (démonstration)

National audienceDans un assistant de preuve comme Coq, un même objet mathématique peut souvent être formalisé par différentes structures de données. Par exemple, le type Z des entiers binaires, dans la bibliothèque standard de Coq, représente les entiers relatifs tout comme le type ssrint, des entiers unaires, fourni par la bibliothèque MathComp. En pratique, cette situation familière en programmation est un frein à la preuve formelle automatique. Dans cet article, nous présentons trakt, un outil dont l'objectif est de faciliter l'accès des utilisateurs de Coq aux tactiques d'automatisation, pour la représentation des théories décidables de leur choix. Cet outil construit une formule auxiliaire à partir d'un but utilisateur, et une preuve que cette dernière implique ce but initial. La formule auxiliaire est conçue pour être adaptée aux outils de preuve automatique (lia, SMTCoq, etc). Cet outil est extensible, grâce à une API permettant à l'utilisateur de définir plusieurs natures de plongements dans un jeu de structures de données de référence. Le méta-langage Coq-Elpi, utilisé pour l'implémentation, fournit des facilités bienvenues pour la gestion des lieurs et la mise en oeuvre des parcours de termes en jeu dans ces tactiques

Présentation

Il est bon de penser aussi par fables. […] très bizarrement, il y a toujours quelque chose en plus qui se passe là-dedans.Ernst Bloch Les sociologues et les historiens de la lecture seraient-ils seuls à s’interroger sur ce que les lecteurs, pour reprendre les termes de Bernard Lahire, « fabriquent avec les textes » ? L’hypothèse selon laquelle « les lecteurs se distinguent bien autant, et parfois davantage, par les modes d’appropriation des textes que par le nombre et/ou le genre de livres qu..

Arithmétique réelle exacte certifiée, co-induction et base arbitraire

We describe in this paper certified algorithms for exact real arithmetic based on co-recursion. Our work is inspired of previous experiences using signed digits in radix 2 but generalize them with arbitrary positive integer radix use. The aim is to use fast operations of integer arithmetic of microprocessors