Optimalno upravljanje u diskretnom vremenu

Optimalno upravljanje se odnosi na upravljanje sustavom na način da je željeni optimalni kriteriji zadovoljen. Dinamika sustava je opisana jednadžbama stanja. Takve jednadžbe su zadane prirodom samog sustava. Problem upravljanja također uključuje i funkciju cilja koja ovisi o stanju sustava i varijabli upravljanja. Funkcija cilja može biti proizvoljno odabrana u ovisnosti o tome kakvo ponašanje sustava želimo. Budući da je izbor funkcije cilja nas odabir, pripadni problem optimizacije može biti promatran kao problem maksimizacije ili minimizacije. U ovom radu ćemo prezentirati način rješavanja problema optimizacije funkcije cilja koja opisuje sustav s vremenski promjenjivom dinamikom u diskretnim trenutcima. U prvom poglavlju dajemo način rješavanja problema optimalnog upravljanja za općeniti nelinearni sustav. Za rješavanje ovog problema koristimo princip Lagrange-ovih multiplikatora. Uvjeti koje dobijemo pomoću takvog pristupa definiraju rubni problem, budući da su rubni uvjeti za pronalazak rješenja početno stanje sustava i završno adjungirano stanje. Ovakvi problem su općenito teško rješivi. Kako bi razvili osjećaj za teoriju koju smo razvili u ovom poglavlju razmotrili smo par primjera. Eksplicitan izraz za optimalno upravljanje je jako teško naći te zbog toga u drugom poglavlju razmatramo poseban slučaj linearnih sustava s kvadratičnom funkcijom cilja. Analizirajući problem, zaključili smo da se profinjena rješenja mogu naći u dva slučaja: fiksirano konačno stanje i proizvoljno konačno stanje sustava što vodi problemu optimalnog upravljanja s povratnom vezom. U slučaju kad imamo fiksirano konačno stanje sustava, optimalno upravljanje možemo dobiti znajući samo početno i željeno završeno stanje sustava. Optimalno upravljanje je u tom slučaju nezavisno od varijable stanja u međukoracima unutar promatranog intervala. U problemu optimalnog upravljanja s povratnom vezom ne stavljamo nikakve restrikcije na vrijednosti konačnog stanja pa je i rješenje pronalaska optimalnog upravljanja znatno drugačije od prethodnog slučaja. Optimalno upravljanje u određenom trenutku je izraženo preko vrijednosti stanja sustava u tom trenutku. Ubrzano razvijanje digitalne tehnologije neprestano mijenja granice i mogućnosti modeliranja sustava za upravljanje. Upravljanje takvih sustava se zasniva na diskretizaciji kontinuiranog sustava. Problematika digitalnog upravljanja kontinuiranim sustavom i simulacije nad njima je obrađena u posljednjem poglavlju. U praksi je uobičajeno modelirati sustav s početnim funkcijom cilja te za izračunato optimalno upravljanje pokrenuti simulacije na danom sustavu. Ako se sustav ne ponaša u željenom smjeru proces ponavljamo mijenjajući funkciju cilja. Kad nađemo prihvatljivo rješenje, tu konačnu verziju optimalnog upravljanja primijenimo na sustav.Optimal control deals with the problem of finding a control law for a given system such that a certain optimality criterion is achieved. Dynamics of the system is represented by state equations. These constraint relations are fixed by the physics of the problem. A control problem also includes a performance index that is a function of state and control variables. The performance index is what we choose to achieve the desired system response. To achieve different control objectives, different types of performance indices are selected so the optimization problem can be either a minimization or a maximization problem. In this paper we are focused on optimization of a performance index associated with a system developing dynamically through time more precisely we are interested in finding optimal control for discrete time systems. In the first chapter we solve the optimal control problem for the general nonlinear system. To determine the optimal control sequence minimizing/maximizing J, we use powerful Lagrange-multiplier approach. Conditions derived from applying Lagrange-multiplies define two-point boundary-value problem, since the boundary conditions required for solution are the initial state and the final costate. These problems are, in general, extremely difficult to solve. To develop some feel for the theory derived in the chapter, we considered some examples. Explicit expressions for the optimal control are difficult to deduce so in the second chapter we consider the extremely important special case of linear systems with quadratic performance indices. Analysing the problem, we find that very refined solutions can be given in two instances: the fixed-final-state situation, which leads to an open-loop control strategy, and the free-final-state situation, which leads to a closed-loop strategy. Open-loop control can be precomputed knowing only the given initial state and the desired final state, and it is independent of intermediate values of the state within the desired interval. In free final-state problem we make no restriction on the value of the final state and it results in a radically different sort of control. The optimal control is a time-varying state feedback which means the current required control is expressed in terms of the current state. With the increasing sophistication of microprocessors, more and more control schemes are being implemented digitally. Such controls must be designed using a discretized version of the continuous plant. The design of digital control of continuous systems and simulations are presented in the last chapter. In practice, it is usually necessary to do a control design with a trial performance index, compute the optimal control, and then run a computer simulation to see how the system responds to this optimal control. If the response is not acceptable, the entire process is repeated using another performance index with different state and control weightings. After several repetitions have been done to find an acceptable optimal control, this final version is applied to the actual system

Optimalno upravljanje u diskretnom vremenu

Optimalno upravljanje se odnosi na upravljanje sustavom na način da je željeni optimalni kriteriji zadovoljen. Dinamika sustava je opisana jednadžbama stanja. Takve jednadžbe su zadane prirodom samog sustava. Problem upravljanja također uključuje i funkciju cilja koja ovisi o stanju sustava i varijabli upravljanja. Funkcija cilja može biti proizvoljno odabrana u ovisnosti o tome kakvo ponašanje sustava želimo. Budući da je izbor funkcije cilja nas odabir, pripadni problem optimizacije može biti promatran kao problem maksimizacije ili minimizacije. U ovom radu ćemo prezentirati način rješavanja problema optimizacije funkcije cilja koja opisuje sustav s vremenski promjenjivom dinamikom u diskretnim trenutcima. U prvom poglavlju dajemo način rješavanja problema optimalnog upravljanja za općeniti nelinearni sustav. Za rješavanje ovog problema koristimo princip Lagrange-ovih multiplikatora. Uvjeti koje dobijemo pomoću takvog pristupa definiraju rubni problem, budući da su rubni uvjeti za pronalazak rješenja početno stanje sustava i završno adjungirano stanje. Ovakvi problem su općenito teško rješivi. Kako bi razvili osjećaj za teoriju koju smo razvili u ovom poglavlju razmotrili smo par primjera. Eksplicitan izraz za optimalno upravljanje je jako teško naći te zbog toga u drugom poglavlju razmatramo poseban slučaj linearnih sustava s kvadratičnom funkcijom cilja. Analizirajući problem, zaključili smo da se profinjena rješenja mogu naći u dva slučaja: fiksirano konačno stanje i proizvoljno konačno stanje sustava što vodi problemu optimalnog upravljanja s povratnom vezom. U slučaju kad imamo fiksirano konačno stanje sustava, optimalno upravljanje možemo dobiti znajući samo početno i željeno završeno stanje sustava. Optimalno upravljanje je u tom slučaju nezavisno od varijable stanja u međukoracima unutar promatranog intervala. U problemu optimalnog upravljanja s povratnom vezom ne stavljamo nikakve restrikcije na vrijednosti konačnog stanja pa je i rješenje pronalaska optimalnog upravljanja znatno drugačije od prethodnog slučaja. Optimalno upravljanje u određenom trenutku je izraženo preko vrijednosti stanja sustava u tom trenutku. Ubrzano razvijanje digitalne tehnologije neprestano mijenja granice i mogućnosti modeliranja sustava za upravljanje. Upravljanje takvih sustava se zasniva na diskretizaciji kontinuiranog sustava. Problematika digitalnog upravljanja kontinuiranim sustavom i simulacije nad njima je obrađena u posljednjem poglavlju. U praksi je uobičajeno modelirati sustav s početnim funkcijom cilja te za izračunato optimalno upravljanje pokrenuti simulacije na danom sustavu. Ako se sustav ne ponaša u željenom smjeru proces ponavljamo mijenjajući funkciju cilja. Kad nađemo prihvatljivo rješenje, tu konačnu verziju optimalnog upravljanja primijenimo na sustav.Optimal control deals with the problem of finding a control law for a given system such that a certain optimality criterion is achieved. Dynamics of the system is represented by state equations. These constraint relations are fixed by the physics of the problem. A control problem also includes a performance index that is a function of state and control variables. The performance index is what we choose to achieve the desired system response. To achieve different control objectives, different types of performance indices are selected so the optimization problem can be either a minimization or a maximization problem. In this paper we are focused on optimization of a performance index associated with a system developing dynamically through time more precisely we are interested in finding optimal control for discrete time systems. In the first chapter we solve the optimal control problem for the general nonlinear system. To determine the optimal control sequence minimizing/maximizing J, we use powerful Lagrange-multiplier approach. Conditions derived from applying Lagrange-multiplies define two-point boundary-value problem, since the boundary conditions required for solution are the initial state and the final costate. These problems are, in general, extremely difficult to solve. To develop some feel for the theory derived in the chapter, we considered some examples. Explicit expressions for the optimal control are difficult to deduce so in the second chapter we consider the extremely important special case of linear systems with quadratic performance indices. Analysing the problem, we find that very refined solutions can be given in two instances: the fixed-final-state situation, which leads to an open-loop control strategy, and the free-final-state situation, which leads to a closed-loop strategy. Open-loop control can be precomputed knowing only the given initial state and the desired final state, and it is independent of intermediate values of the state within the desired interval. In free final-state problem we make no restriction on the value of the final state and it results in a radically different sort of control. The optimal control is a time-varying state feedback which means the current required control is expressed in terms of the current state. With the increasing sophistication of microprocessors, more and more control schemes are being implemented digitally. Such controls must be designed using a discretized version of the continuous plant. The design of digital control of continuous systems and simulations are presented in the last chapter. In practice, it is usually necessary to do a control design with a trial performance index, compute the optimal control, and then run a computer simulation to see how the system responds to this optimal control. If the response is not acceptable, the entire process is repeated using another performance index with different state and control weightings. After several repetitions have been done to find an acceptable optimal control, this final version is applied to the actual system

Optimalno upravljanje u diskretnom vremenu

Optimalno upravljanje se odnosi na upravljanje sustavom na način da je željeni optimalni kriteriji zadovoljen. Dinamika sustava je opisana jednadžbama stanja. Takve jednadžbe su zadane prirodom samog sustava. Problem upravljanja također uključuje i funkciju cilja koja ovisi o stanju sustava i varijabli upravljanja. Funkcija cilja može biti proizvoljno odabrana u ovisnosti o tome kakvo ponašanje sustava želimo. Budući da je izbor funkcije cilja nas odabir, pripadni problem optimizacije može biti promatran kao problem maksimizacije ili minimizacije. U ovom radu ćemo prezentirati način rješavanja problema optimizacije funkcije cilja koja opisuje sustav s vremenski promjenjivom dinamikom u diskretnim trenutcima. U prvom poglavlju dajemo način rješavanja problema optimalnog upravljanja za općeniti nelinearni sustav. Za rješavanje ovog problema koristimo princip Lagrange-ovih multiplikatora. Uvjeti koje dobijemo pomoću takvog pristupa definiraju rubni problem, budući da su rubni uvjeti za pronalazak rješenja početno stanje sustava i završno adjungirano stanje. Ovakvi problem su općenito teško rješivi. Kako bi razvili osjećaj za teoriju koju smo razvili u ovom poglavlju razmotrili smo par primjera. Eksplicitan izraz za optimalno upravljanje je jako teško naći te zbog toga u drugom poglavlju razmatramo poseban slučaj linearnih sustava s kvadratičnom funkcijom cilja. Analizirajući problem, zaključili smo da se profinjena rješenja mogu naći u dva slučaja: fiksirano konačno stanje i proizvoljno konačno stanje sustava što vodi problemu optimalnog upravljanja s povratnom vezom. U slučaju kad imamo fiksirano konačno stanje sustava, optimalno upravljanje možemo dobiti znajući samo početno i željeno završeno stanje sustava. Optimalno upravljanje je u tom slučaju nezavisno od varijable stanja u međukoracima unutar promatranog intervala. U problemu optimalnog upravljanja s povratnom vezom ne stavljamo nikakve restrikcije na vrijednosti konačnog stanja pa je i rješenje pronalaska optimalnog upravljanja znatno drugačije od prethodnog slučaja. Optimalno upravljanje u određenom trenutku je izraženo preko vrijednosti stanja sustava u tom trenutku. Ubrzano razvijanje digitalne tehnologije neprestano mijenja granice i mogućnosti modeliranja sustava za upravljanje. Upravljanje takvih sustava se zasniva na diskretizaciji kontinuiranog sustava. Problematika digitalnog upravljanja kontinuiranim sustavom i simulacije nad njima je obrađena u posljednjem poglavlju. U praksi je uobičajeno modelirati sustav s početnim funkcijom cilja te za izračunato optimalno upravljanje pokrenuti simulacije na danom sustavu. Ako se sustav ne ponaša u željenom smjeru proces ponavljamo mijenjajući funkciju cilja. Kad nađemo prihvatljivo rješenje, tu konačnu verziju optimalnog upravljanja primijenimo na sustav.Optimal control deals with the problem of finding a control law for a given system such that a certain optimality criterion is achieved. Dynamics of the system is represented by state equations. These constraint relations are fixed by the physics of the problem. A control problem also includes a performance index that is a function of state and control variables. The performance index is what we choose to achieve the desired system response. To achieve different control objectives, different types of performance indices are selected so the optimization problem can be either a minimization or a maximization problem. In this paper we are focused on optimization of a performance index associated with a system developing dynamically through time more precisely we are interested in finding optimal control for discrete time systems. In the first chapter we solve the optimal control problem for the general nonlinear system. To determine the optimal control sequence minimizing/maximizing J, we use powerful Lagrange-multiplier approach. Conditions derived from applying Lagrange-multiplies define two-point boundary-value problem, since the boundary conditions required for solution are the initial state and the final costate. These problems are, in general, extremely difficult to solve. To develop some feel for the theory derived in the chapter, we considered some examples. Explicit expressions for the optimal control are difficult to deduce so in the second chapter we consider the extremely important special case of linear systems with quadratic performance indices. Analysing the problem, we find that very refined solutions can be given in two instances: the fixed-final-state situation, which leads to an open-loop control strategy, and the free-final-state situation, which leads to a closed-loop strategy. Open-loop control can be precomputed knowing only the given initial state and the desired final state, and it is independent of intermediate values of the state within the desired interval. In free final-state problem we make no restriction on the value of the final state and it results in a radically different sort of control. The optimal control is a time-varying state feedback which means the current required control is expressed in terms of the current state. With the increasing sophistication of microprocessors, more and more control schemes are being implemented digitally. Such controls must be designed using a discretized version of the continuous plant. The design of digital control of continuous systems and simulations are presented in the last chapter. In practice, it is usually necessary to do a control design with a trial performance index, compute the optimal control, and then run a computer simulation to see how the system responds to this optimal control. If the response is not acceptable, the entire process is repeated using another performance index with different state and control weightings. After several repetitions have been done to find an acceptable optimal control, this final version is applied to the actual system

Minimaks optimalno upravljanje nelinearnim dinamičkim sustavima

Tema ove disertacije je sinteza zakona upravljanja nelinearnim dinamičkim sustavima kojim se utjecaj vanjskih i/ili unutarnjih neodređenosti zadržava ispod dozvoljene granice i osigurava stabilnost zatvorenog sustava. Kao mjeru utjecaja neodređenosti razmatra se L2 pojačanje sustava. Problem pripada području robusne optimizacije, tj. klasi matematičkih problema kod kojih je potrebno istovremeno provesti minimizaciju i maksimizaciju iste funkcije cilja – minimaks optimizacija. U disertaciji se predlaže direktna optimizacija L2 pojačanja bez rješavanja pripadajuće Hamilton-Jacobi-Isaacsove jednadžbe. Provedena je transformacija optimizacije L2 pojačanja iz razlomačkog optimizacijskog problema u parametarski koji uključuje minimaks optimizacijski potproblem, a čije se rješavanje svodi na traženje sedlaste točke diferencijalne igre. Pristup rješavanju problema temelji se na zamjeni komponenata vektora upravljanja i neodređenosti aproksimacijskim funkcijama s linearnom ovisnošću o konačnom broju konstantnih parametara. Parametri aproksimacijskih funkcija upravljačkih varijabli minimiziraju L2 pojačanje, dok parametri aproksimacijskih funkcija neodređenosti maksimiziraju L2 pojačanje. Za računanje ovih parametara predlaže se integracija subgradijentne metode, Newtonove metode, Adamsove metode te automatskog diferenciranja u jedan algoritam. Provedenim numeričkim simulacijama na nelinearnim dinamičkim sustavima kod kojih je mogu´ce analitički rijeˇsiti Hamilton-Jacobi-Isaacsovu jednadžbu te time egzaktno odrediti vektore upravljanja i neodređenosti, pokazane su verzije algoritma koje daju najbolju efikasnost i točnost. Uvjeti stabilnosti za jednu klasu problema izvedeni su primjenom Ljapunovljeve izravne metode. Na kraju je predloženi algoritam primijenjen za sintezu regulatora elektrohidrauličkih sustava. Simulacijskim i eksperimentalnim usporedbama s najčešćim strukturama konvencionalnih regulatora pokazano je da se predloženom strategijom upravljanja mogu ostvariti bolja željena ponašanja

Optimalno upravljanje skupom povezanih inverznih njihala

U ovom radu promatran je nelinearni dinamički sustav koji se sastoji od dva njihala povezanih sa sustavom opruga, užeta i kolotura. Izveden je detaljan model dinamike sustava koristeći Euler-Lagrangeov pristup. U svrhu sinteze regulatora, a zbog kompleksnosti nelinearnog modela provedena je linearizacija modela. Koristeći moderne alate za H∞ sintezu, provedena je sinteza optimalnog linearnog regulatora koji stabilizira promatrani linearna i nelinearan model, te ostvaruje optimalno smanjenje utjecaja poremećajnih momenata na pomake njihala. Na kraju su prikazani rezultati prikladno osmišljenih simulacija zatvorenog upravljačkog kruga s nelinearnim i linearnim modelom kako bi se dobio dojam učinkovitosti regulatora

Optimalno upravljanje podupravljanom besposadnom letjelicom temeljeno na varijacijskim integratorima

Na početku ovog rada opisani su varijacijski integratori iz perspektive Lagrangeove mehanike, a potom je teorija varijacijskih integratora poslužila kao uvod i osnova za opis DMOC (eng. Discrete Mechanics and Optimal Control) algoritma. Za primjenu iznesene teorije odabran je Python-ov modul trep. Modul je prvo opisan, a zatim upotrijebljen za rješavanje problema optimalnog upravljanja jednostavnim helikopterom. Na kraju, DMOC je uspoređen s drugim algoritmima za rješavanje optimalnog problema upravljanja

Optimalno upravljanje nelinearnim sustavima primjenom neuronskih mreža

U radnji je prikazan izvod numeričkoga logoritma za optimalno upravljanjene linearnim multivarijabilnim sustavima sa ograničenjima varijabli stanja i upravljanja. Izvod algoritma zasnovan je na BPTT (backpropagation-through-time) algoritmu koji se primjenjuje kao algoritam učenja za dinamičke neuronske mreže. Izveden je također algoritam za vremenski optimalno upravljanje koji je zasnovan na svojstvima kaznenih funkcija za ograničenja varijabli stanja i upravljanja. Dobiveni algoritmi primijenjeni su na razne probleme optimalnog upravljanja robotom s dva stupnja slobode. Najprije je razmatran problem vremenski optimalnog upravljanja robotom s ograničenjima varijabli upravljanja. Zatim je razmatran isti problem s dodatnim uvjetom; zaobilaženjem prepreke, odnosno ograničenjima varijabli stanja. Nakon toga razmatra se problem optimalnog upravljanja kooperativnim radom dva robota. Problem se sastoji u zajedničkom prenošenju krutog tereta s jednog mjesta na drugo uz ograničenja varijabli upravljanja, te uz uvjet međusobnog izbjegavanja sudara i održavanja konstantne udaljenosti između prihvatnica manipulatora. Nakraju je prikazan izvod algoritma za optimalno upravljanje s povratnom vezom za nelinearne multivarijabilne sustave s ograničenjima varijabli upravljanja. Izvod algoritma također je zasnovan na principu BPTT algoritma

Newtonova metoda u Banachovim prostorima i optimalno upravljanje

Ovaj rad se sastoji od dva dijela koje povezuje jaki rezultat, . U prvom dijelu je osigurana teorijska podloga tako da bi se moglo doći do nekih važnih rezultata. Dotaknuli smo se Newtonove metode pomoću koje smo dokazali važne teoreme poput teorema o inverznom preslikavanju i teorema o implicitnoj funkciji. Također smo dokazali egzistenciju i jedinstvenost rješenja za nekoliko postavljenih Cauchyjevih problema za obične diferencijalne jednadžbe. Time je pokazana sva snaga na prvi pogled prilično jednostavne Newtonove metode. Na kraju prvog poglavlja je obrađen Lagrangeov problem varijacijskog računa s ograničenjem i Lagrangeov problem optimalnog upravljanja. Prvi dio rada završava Pontrjaginovim principom maksimuma koji daje nužne uvjete za optimalno upravljanje. On nam omogućuje da u drugom dijelu rada u primjerima problema upravljanja odredimo optimalno upravljanje te optimalnu trajektoriju. Cilj ovog rada je bio pokazati kako nas upravljanje prati u svakodnevnom životu te nam omogućuje da što bolje iskoristimo ponuđeno. Zato je drugi dio temeljen na primjerima na kojima je pokušano što jednostavnije demonstrirati važnost teorije upravljanja.This thesis consists of two parts connected by a strong result, Pontryagin Maximum Principle. In the first part a theoretical basis is presented so that we could reach some important conclusions. We have studied Newton’s method, which enables us to prove some important theorems like the Inverse mapping theorem and the Implicit function theorem. Also, we proved the existence and uniqueness of solution to several Cauchy problems for ordinary differential equations. This way we have shown all the strength of, at first glance, quite simple Newton’s method. We elaborated the Lagrange problem of calculus of variation and the Lagrange problem of optimal control. The first part ends with the Pontryagin Maximum Principle that will allow us to determine the necessary conditions for optimal control and the optimal trajectory of some examples presented in the second part of this thesis. The goal of this work was to demonstrate how control is present in everyday life and it allows us to take more advantage of what is given. That is why the second part was based on examples in which we tried to explain, as simply as we could, the importance of control theory

Newtonova metoda u Banachovim prostorima i optimalno upravljanje

Ovaj rad se sastoji od dva dijela koje povezuje jaki rezultat, . U prvom dijelu je osigurana teorijska podloga tako da bi se moglo doći do nekih važnih rezultata. Dotaknuli smo se Newtonove metode pomoću koje smo dokazali važne teoreme poput teorema o inverznom preslikavanju i teorema o implicitnoj funkciji. Također smo dokazali egzistenciju i jedinstvenost rješenja za nekoliko postavljenih Cauchyjevih problema za obične diferencijalne jednadžbe. Time je pokazana sva snaga na prvi pogled prilično jednostavne Newtonove metode. Na kraju prvog poglavlja je obrađen Lagrangeov problem varijacijskog računa s ograničenjem i Lagrangeov problem optimalnog upravljanja. Prvi dio rada završava Pontrjaginovim principom maksimuma koji daje nužne uvjete za optimalno upravljanje. On nam omogućuje da u drugom dijelu rada u primjerima problema upravljanja odredimo optimalno upravljanje te optimalnu trajektoriju. Cilj ovog rada je bio pokazati kako nas upravljanje prati u svakodnevnom životu te nam omogućuje da što bolje iskoristimo ponuđeno. Zato je drugi dio temeljen na primjerima na kojima je pokušano što jednostavnije demonstrirati važnost teorije upravljanja.This thesis consists of two parts connected by a strong result, Pontryagin Maximum Principle. In the first part a theoretical basis is presented so that we could reach some important conclusions. We have studied Newton’s method, which enables us to prove some important theorems like the Inverse mapping theorem and the Implicit function theorem. Also, we proved the existence and uniqueness of solution to several Cauchy problems for ordinary differential equations. This way we have shown all the strength of, at first glance, quite simple Newton’s method. We elaborated the Lagrange problem of calculus of variation and the Lagrange problem of optimal control. The first part ends with the Pontryagin Maximum Principle that will allow us to determine the necessary conditions for optimal control and the optimal trajectory of some examples presented in the second part of this thesis. The goal of this work was to demonstrate how control is present in everyday life and it allows us to take more advantage of what is given. That is why the second part was based on examples in which we tried to explain, as simply as we could, the importance of control theory

Newtonova metoda u Banachovim prostorima i optimalno upravljanje

Ovaj rad se sastoji od dva dijela koje povezuje jaki rezultat, . U prvom dijelu je osigurana teorijska podloga tako da bi se moglo doći do nekih važnih rezultata. Dotaknuli smo se Newtonove metode pomoću koje smo dokazali važne teoreme poput teorema o inverznom preslikavanju i teorema o implicitnoj funkciji. Također smo dokazali egzistenciju i jedinstvenost rješenja za nekoliko postavljenih Cauchyjevih problema za obične diferencijalne jednadžbe. Time je pokazana sva snaga na prvi pogled prilično jednostavne Newtonove metode. Na kraju prvog poglavlja je obrađen Lagrangeov problem varijacijskog računa s ograničenjem i Lagrangeov problem optimalnog upravljanja. Prvi dio rada završava Pontrjaginovim principom maksimuma koji daje nužne uvjete za optimalno upravljanje. On nam omogućuje da u drugom dijelu rada u primjerima problema upravljanja odredimo optimalno upravljanje te optimalnu trajektoriju. Cilj ovog rada je bio pokazati kako nas upravljanje prati u svakodnevnom životu te nam omogućuje da što bolje iskoristimo ponuđeno. Zato je drugi dio temeljen na primjerima na kojima je pokušano što jednostavnije demonstrirati važnost teorije upravljanja.This thesis consists of two parts connected by a strong result, Pontryagin Maximum Principle. In the first part a theoretical basis is presented so that we could reach some important conclusions. We have studied Newton’s method, which enables us to prove some important theorems like the Inverse mapping theorem and the Implicit function theorem. Also, we proved the existence and uniqueness of solution to several Cauchy problems for ordinary differential equations. This way we have shown all the strength of, at first glance, quite simple Newton’s method. We elaborated the Lagrange problem of calculus of variation and the Lagrange problem of optimal control. The first part ends with the Pontryagin Maximum Principle that will allow us to determine the necessary conditions for optimal control and the optimal trajectory of some examples presented in the second part of this thesis. The goal of this work was to demonstrate how control is present in everyday life and it allows us to take more advantage of what is given. That is why the second part was based on examples in which we tried to explain, as simply as we could, the importance of control theory