О МИНИМАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНАХ ОСТАТОЧНЫХ ДРОБЕЙ ДЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ

We study the appearance and properties of minimal residual fractions of polynomials in the decomposition of algebraic numbers into continued fractions. It is shown that for purely real algebraic irrationalities α of degree n > 2, starting from some number m0 = m0(α), the sequence of residual fractions αm is a sequence of given algebraic irrationalities. The definition of the generalized number of Piso, which differs from the definition of numbers he’s also the lack of any requirement of integrality. It is shown that for arbitrary real algebraic irrationals α of degree n > 2, starting from some number m0 = m0(α), the sequence of residual fractions αm is a sequence of generalized numbers Piso. Found an asymptotic formula for the conjugate number to the residual fractions of generalized numbers Piso. From this formula it follows that associated to the residual fraction αm are concentrated about fractions − Qm−2 Qm−1 is either in the interval of radius O ( 1 Q2 m−1 ) in the case of purely real algebraic irrationals, or in circles with the same radius in the General case of real algebraic irrationals, which have complex conjugate of a number. It is established that, starting from some number m0 = m0(α), fair recurrent formula for incomplete private qm expansions of real algebraic irrationals α, Express qm using the values of the minimal polynomial fm−1(x) for residual fractions αm−1 and its derivative at the point qm−1. Found recursive formula for finding the minimal polynomials of the residual fractions using fractional-linear transformations. Composition this fractional-linear transformation is a fractional-linear transformation that takes the system conjugate to an algebraic irrationality of α in the system of associated to the residual fraction, with a pronounced effect of concentration about rational fraction − Qm−2 Qm−1 . It is established that the sequence of minimal polynomials for the residual fractions is a sequence of polynomials with equal discriminantly. In conclusion, the problem of the rational structure of a conjugate of the spectrum of a real algebraic irrational number α and its limit points.  В работе изучается вид и свойства минимальных многочленов остато ных дробей в разложении алгебраических чисел в цепные дроби. Показано, что для чисто-вещественных алгебраических иррациональностей α степени n > 2, начиная с некоторого номера m0 = m0(α), последовательность остаточных дробей αm является последовательностью приведённых алгебраических иррациональностей. Дано определение обобщённого числа Пизо, которое отличается от определения чисел Пизо отсутствием требования целочисленности. Показано, что для произвольной вещественной алгебраической иррациональности α степени n > 2, начиная с некоторого номера m0 = m0(α), последовательность остаточных дробей αm является последовательностью обобщённых чисел Пизо. Найдена асимптотическая формула для сопряжённых чисел к остаточным дробям обобщённых чисел Пизо. Из этой формулы вытекает, что сопряжённые к остаточной дроби αm концентрируются около дроби − Qm−2 Qm−1 либо в интервале радиуса O ( 1 Q2 m−1 ) в случае чисто-вещественной алгебраической иррациональности, либо в круге такого же радиуса в общем случае вещественной алгебраической иррациональности, имеющей ком- плексные сопряжённые числа. Установлено, что, начиная с некоторого номера m0 = m0(α), справед- лива рекуррентная формула для неполных частных qm разложения вещественной алгебраической иррациональности α, выражающая qm че- рез значения минимального многочлена fm−1(x) для остаточной дроби αm−1 и его производной в точке qm−1. Найдены рекуррентные формулы для нахождения минимальных многочленов остаточных дробей с помощью дробно-линейных преобразований. Композиция этих дробно-линейных преобразований является дробнолинейным преобразование, переводящем систему сопряжённых к алгебраической иррациональности α в систему сопряжённых к остаточной дро- би, обладающую ярко выраженным эффектом концентрации около рациональной дроби − Qm−2 Qm−1 . Установлено, что последовательность минимальных многочленов для остаточных дробей образует последовательность многочленов с равными дискриминантами. В заключении поставлена проблема о структуре рационального сопряжённого спектра вещественного алгебраического иррационального числа α и о его предельных точках. 

КЛАССИФИКАЦИЯ ЧИСТО-ВЕЩЕСТВЕННЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ

We study the appearance and properties of minimal residual fractions of polynomials in the decomposition of algebraic numbers into continued fractions.It is shown that for purely real algebraic irrationalities ???? of degree ???? > 2, starting from some number ????0 = ????0(????), the sequence of residual fractions ???????? is a sequence of given algebraic irrationalities.The definition of the generalized number of Piso, which differs from the definition of numbers he’s also the lack of any requirement of integrality.It is shown that for arbitrary real algebraic irrationals ???? of degree ???? > 2, starting from some number ????0 = ????0(????), the sequence of residual fractions ???????? is a sequence of generalized numbers Piso.Found an asymptotic formula for the conjugate number to the residual fractions of generalized numbers Piso. From this formula it follows that associated to the residual fraction ???????? are concentrated about fractions − ????????−2 ????????−1 is either in the interval of radius ???? (︁ 1 ????2 ????−1 )︁ in the case of purely real algebraic irrationals, or in circles with the same radius in the General case of real algebraic irrationals, which have complex conjugate of a number.It is established that, starting from some number ????0 = ????0(????), fair recurrent formula for incomplete private ???????? expansions of real algebraic irrationals ????, Express ???????? using the values of the minimal polynomial ????????−1(????) for residual fractions ????????−1 and its derivative at the point ????????−1.Found recursive formula for finding the minimal polynomials of the residual fractions using fractional-linear transformations. Composition this fractional-linear transformation is a fractional-linear transformation that takes the system conjugate to an algebraic irrationality of ???? in the system of associated to the residual fraction, with a pronounced effect of concentration about rational fraction − ????????−2 ????????−1 .It is established that the sequence of minimal polynomials for the residual fractions is a sequence of polynomials with equal discriminantly.In conclusion, the problem of the rational structure of a conjugate of the spectrum of a real algebraic irrational number ???? and its limit points. В работе предложена новая классификация чисто-вещественных алгебраических иррациональностей на основе их разложения в цепные дроби.Показано, что для чисто-вещественных алгебраических иррациональностей α степени n > 2, начиная с некоторого номера m0 = m0(α), последовательность остаточных дробей αm является последовательностью приведённых алгебраических иррациональностей.Найдены рекуррентные формулы для нахождения минимальных многочленов остаточных дробей с помощью дробно-линейных преобразований. Композиция этих дробнолинейных преобразований является дробно-линейным преобразование, переводящем систему сопряжённых к алгебраической иррациональности α в систему сопряжённых к остаточной дроби, обладающую ярко выраженным эффектом концентрации около рациональной дроби .Установлено, что последовательность минимальных многочленов для остаточных дробей образует последовательность многочленов с равными дискриминантами.В работе доказываются предельные соотношения с коэффициентами минимального многочлена, связанные с эффектом концентрации сопряжённых чисел остаточной дроби.В заключении поставлена проблема о структуре рационального сопряжённого спектра вещественного алгебраического иррационального числа α и о его предельных точка

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РЕШЁТКИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ РЕШЁТОК

.В работе дано новое общее определение алгебраической решётки. Доказывается, что любое рациональное преобразование алгебраической решётки снова будет алгебраической решёткой. Показано, что взаимная решётка к алгебраической решётки также будет алгебраической решёткой, соответствующей тому же чисто-вещественному алгебраическому полю Fs над полем рациональных чисел Q.Следуя за Б. Ф. Скубенко, изучаются фундаментальные системы из чисто-вещественного алгебраического поля Fs над полем рациональных чисел Q. Показана связь между фундаментальными системами алгебраических чисел и алгебраическими решётками.В работе доказаны оценки для норм матрицы перехода от произвольной невырожденной матрицы к рациональной приближающей матрицы. С помощью леммы об оценки нормы матрицы перехода и обратной матрицы перехода, связывающих произвольную невырожденную матрицу и невырожденную рациональную приближающую матрицу, в работе показано, что множество алгебраических решёток всюду плотно в метрическом пространстве решёток.Доказанная теорема является частным случаем более общей теоремы о том, что для любой решётки Λ ∈ PRs множество всех решёток рационально связанных с решёткой Λ всюду плотно в PRs.Аналогом данной теоремы является утверждение что для произвольной точки общего положения из Rs соответствующее s-мерное рациональное арифметическое пространство будет всюду плотно в s-мерном вещественном арифметическом пространстве Rs

ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РЕШЁТКИ КВАДРАТИЧНОГО ПОЛЯ

This work consists of two main parts. In the first part, which presents the introduction, given a fairly comprehensive overview of the theory of the hyperbolic Zeta-function of lattices. Unlike earlier reviews is that, firstly, most of the results of the General theory particularized to two-dimensional case. This is done because the main goal of this lattice is quadratic fields. And these lattices are two-dimensional. Secondly, the first explicit form of the functional equation for hyperbolic Zeta-function of one and two diagonal lattices. In the second part we investigate the behavior of the hyperbolic Zetafunction of the lattice Λ(t) of the quadratic field when the growth parameter t. For applications of the theory of hyperbolic Zeta-function lattices to estimate the error of the approximate integration on the class of Eα s by using generalized parallelepipedal nets with weights it is important to have assessment through growing the determinant of the lattice. In this work, we derived a new asymptotic formula for the hyperbolic Zeta function lattices of quadratic fields. The peculiarity of this formula is that it has a main two-term member and remaining a member with the assessment of incoming constants. In this formula more specific correlation between the hyperbolic Zeta function of lattices of quadratic fields and quadratic field characteristics as: the Zeta function of the Dedekind principal ideals of a quadratic field, the derivative of the Zeta-function of Dedekind principal ideals of a quadratic field, quadratic field by the regulator and the fundamental unit of the quadratic field. Данная работа состоит из двух основных частей. В первой части, которая представлена введением, дается достаточно полный обзор теории гиперболической дзета-функции решёток. Отличие от более ранних обзоров состоит в том, что, во-первых, большинство результатов общей теории конкретизирована к двумерному случаю. Это сделано потому, что основная цель работы — это решётки квадратичных по- лей. А эти решётки являются двумерными. Во-вторых, впервые получены в явном виде функциональные уравне- ния для гиперболической дзета-функции одномерных и двумерных диагональных решёток. Во второй части исследуется поведение гиперболической дзета-функции решётки Λ(t) квадратичного поля при росте параметра t. Для приложений теории гиперболической дзета-функции решёток к вопросам оценки погрешности приближенного интегрирования на классе Eα s с помощью обобщенных параллелепипедальных сеток с весами важно иметь оценку через растущий детерминант решётки. В данной работе получена новая асимптотическая формула для гиперболической дзета-функции решётки квадратичного поля. Особенностью этой формулы является то, что она имеет двучленный главный член и остаточный член с оценкой входящих констант. В этой формуле более выпукло выявлена связь между гиперболической дзета-функцией решётки квадратичного поля и такими характеристиками квадратичного поля как: дзета-функция Дедекинда главных идеалов квадратичного поля, произ- водной дзета-функции Дедекинда главных идеалов квадратичного поля, регулятором квадратичного поля и фундаментальной единицей квадратичного поля.

О ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ФОРМ А. ТУЭ — М. Н. ДОБРОВОЛЬСКОГО — В. Д. ПОДСЫПАНИНА

The work builds on the algebraic theory of polynomials Tue. The theory is based on the study of submodules of Z[????]-module Z[????] 2 . Considers submodules that are defined by one defining relation and one defining relation ????-th order. More complex submodule is the submodule given by one polynomial relation. Sub par Tue ????-th order are directly connected with polynomials Tue ????-th order. Using the algebraic theory of pairs of submodules of Tue ????-th order managed to obtain a new proof of the theorem of M. N. Dobrowolski (senior) that for each ???? there are two fundamental polynomial Tue ????-th order, which are expressed through others. Basic polynomials are determined with an accuracy of unimodular polynomial matrices over the ring of integer polynomials.In the work introduced linear-fractional conversion of TDP-forms. It is shown that the transition from TDP-forms associated with an algebraic number ???? to TDP-the form associated with the residual fraction to algebraic number ????, TDP-form is converted under the law, similar to the transformation of minimal polynomials and the numerators and denominators of the respective pairs of Tue is converted using the linear-fractional transformations of the second kind. В работе строится алгебраическая теория полиномов Туэ. Построение теории опирается на изучение подмодулей Z[t]-модуля Z[t]2. Рассматриваются подмодули, заданные одним определяющим соотношением и одним определяющим соотношением k-ого порядка. Более сложным подмодулем является подмодуль заданный одним полиномиальным соотношением. Подмодули пар Туэ j-ого порядка напрямую связаны с полиномами Туэ j-ого порядка. С помощью алгебраической теории подмодулей пар Туэ j-ого порядка удалось получить новое доказательство теоремы М. Н. Добровольского (старшего) о том, что для каждого порядка j существуют два основных полинома Туэ j-ого порядка, через которые выражаются все остальные. Основные полиномы определяются с точностью до унимодулярной многочленной матрицы над кольцом целочисленных многочленов.В работе вводятся дробно-линейные преобразования ТДП-форм. Показано, что при переходе от ТДП-формы, связанной с алгебраическим числом α к ТДП-форме, связанной с остаточной дробью к алгебраическому числу α, ТДП-форма преобразуется по закону, аналогичному преобразованию минимальных многочленов, а числители и знаменатели соответствующих пар Туэ преобразуются с помощью дробно-линейного преобразования второго рода

О МАТРИЧНОМ РАЗЛОЖЕНИИ ПРИВЕДЕННОЙ КУБИЧЕСКОЙ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ

In this work we considered the matrix decomposition of the cubic irrational α satisfying the equation x 3 − 4x 2 − 5x − 1 = 0. For decomposition of the matrix α 1 = Y∞ k=0 310941 · k + 155427 156744 · k + 78333 61578 · k + 30882 31041 · k + 15564 an algorithm of transition to regular continued fraction is constructed.В данной работе рассмотрено матричное разложение приведенной ку- бической иррациональности α, удовлетворяющей уравнению x 3 − 4x 2 − 5x − 1 = 0. Для матричного разложения α 1 = Y∞ k=0 310941 · k + 155427 156744 · k + 78333 61578 · k + 30882 31041 · k + 15564 построен алгоритм перехода к обычной непрерывной дроби

ПАМЯТИ ДРУГА

The paper presents brief information about the untimely death of Yaroslav Andreevich, VagramenkoВ работе приводятся краткие сведения о безвременно ушедшем Ярославе Андреевиче Ваграменко