Matching measure, Benjamini-Schramm convergence and the monomer-dimer free energy

We define the matching measure of a lattice L as the spectral measure of the tree of self-avoiding walks in L. We connect this invariant to the monomer-dimer partition function of a sequence of finite graphs converging to L. This allows us to express the monomer-dimer free energy of L in terms of the measure. Exploiting an analytic advantage of the matching measure over the Mayer series then leads to new, rigorous bounds on the monomer-dimer free energies of various Euclidean lattices. While our estimates use only the computational data given in previous papers, they improve the known bounds significantly.Comment: 18 pages, 3 figure

Matchings in Benjamini–Schramm convergent graph sequences

We introduce the matching measure of a finite graph as the uniform distribution on the roots of the matching polynomial of the graph. We analyze the asymptotic behavior of the matching measure for graph sequences with bounded degree. A graph parameter is said to be estimable if it converges along every Benjamini– Schramm convergent sparse graph sequence. We prove that the normalized loga-rithm of the number of matchings is estimable. We also show that the analogous statement for perfect matchings already fails for d–regular bipartite graphs for any fixed d ≥ 3. The latter result relies on analyzing the probability that a randomly chosen perfect matching contains a particular edge. However, for any sequence of d–regular bipartite graphs converging to the d– regular tree, we prove that the normalized logarithm of the number of perfect matchings converges. This applies to random d–regular bipartite graphs. We show that the limit equals to the exponent in Schrijver’s lower bound on the number of perfect matchings. Our analytic approach also yields a short proof for the Nguyen–Onak (also Elek– Lippner) theorem saying that the matching ratio is estimable. In fact, we prove the slightly stronger result that the independence ratio is estimable for claw-free graphs

Csoportok és reprezentációik = Groups and their representations

Változatos kérdéseket vizsgáltunk a csoportelméletben, a csoportok reprezentációelméletében és más kapcsolódó absztrakt algebrai területeken. 39 tudományos dolgozatot publikáltunk, ezek nagy részét vezető nemzetközi folyóiratokban (pl. Bulletin of the London Mathematical Society, Duke Mathematical Journal, European Journal of Combinatorics, Journal of Algebra, Journal of Group Theory, Proceedings of the American Mathematical Society). Legfontosabb eredményeink a következők: Meghatároztuk a pozitiv karakterisztikájú globális testek feletti aritmetikai csoportok kongruenciarészcsoport-növekedését. Új példákat találtunk olyan csoportokra, amelyeknek izomorf a pro-véges lezárásuk. Teljes leirását adtuk azoknak a moduláris csoportalgebráknak, melyek Lie nilpotencia-indexe maximális. Csoportelméleti módszereket alkalmazva a loopok elméletében olyan (128 elemű) loopot konstruáltunk, amelynél a belső permutációk csoportja kommutativ és a loop nilpotnecia osztálya 3, ezzel Bruck egy 60 éves kérdésére adtunk választ. Az univerzális algebrában a véges moduláris hálók egy széles osztályára konstruáltunk véges kongruencia-reprezentációkat, mégpedig operátorcsoportok felhasználásával. A bonyolultságelméletben több algebrai problémát tanulmányoztunk. Például megmutattuk, hogy nem feloldható csoportokban az azonosságok ellenőrzése NP-teljes probléma. | We studied various questions in group theory, in representation theory of groups, and in related areas of abstract algebra. We published 39 research papers, many of them in leading international journals (for example, Bulletin of the London Mathematical Society, Duke Mathematical Journal, European Journal of Combinatorics, Journal of Algebra, Journal of Group Theory, Proceedings of the American Mathematical Society). The most important results are the following: We determined the congruence subgroup growth of arithmetic groups over global fields of positive characteristic. We found new examples of groups with isomorphic pro-finite closure. We gave a complete description of modular group algebras with maximal Lie nilpotency index. Applying group theoretic methods in loop theory, we constructed an example of a loop (of order 128) with an Abelian inner permutation group and of nilpotency class 3, thereby answering a 60-year old question of Bruck. In universal algebra we constructed finite congruence lattice representations for a large class of finite modular lattices, namely by using operator groups. In complexity theory we studied several algebraic problems. For example, we showed that for nonsolvable groups the checking of identities is an NP-complete problem

Csoportok és más algebrai struktúrák = Groups and other algebraic structures

Az absztrakt algebra egyes részterületein (a csoportelméletben, az invariánsok elméletében, a gyűrűelméletben, a Lie-algebrák elméletében, a hurkok [""loop""-ok] elméletében és az univerzális algebrában) végeztünk kutatásokat. Eredményeinkről 58 dolgozatban és egy könyvben számoltunk be. Több publikációnk vezető matematikai folyóiratokban (Annals of Mathematics, Journal of the European Mathematical Society, Journal of Algebra, Journal of Group Theory, Journal of Algebraic Combinatorics, Proceedings of the American Mathematical Society stb.) jelent meg. Számos eredményünk közül itt (1) a Lie-típusú egyszerű csoportok növekedési függvényéről szólót (Pyber László és Szabó Endre), (2) a 3x3-as valós szimmetrikus mátrixok diszkriminánsának 5 négyzet összegeként való felírását (Domokos Mátyás), és (3) a felső háromszögmátrixok csoportjának konjugáltosztályszámára vonatkozó Higman-sejtéssel kapcsolatosat (Halasi Zoltán és Pálfy Péter Pál) emeljük ki. Az (1) eredményt velünk egyidőben Breuillard, Green és Tao is bebizonyították. Ennek jelentős következményei vannak az expander gráfok területén is. A (2) eredmény Kummer több mint másfél évszázados tételét erősíti, eddig csak 7 négyzet összegeként való felírás volt ismert. A (3) eredmény a Higman-sejtés egy általánosítását cáfolja, ezáltal kétségessé téve az eredeti sejtés érvényét is. A kutatásokba három tehetséges fiatal kutatót is sikerült bekapcsolnunk az OTKA támogatásával. | We have conducted research in various subfields of abstract algebra (in group theory, in the theory of invariants, in ring theory, in the theory of Lie algebras, in the theory of loops, and in universal algebra). Members of the research team published 58 papers and a book. Many of our publications appeared in leading mathematical periodicals (Annals of Mathematics, Journal of the European Mathematical Society, Journal of Algebra, Journal of Group Theory, Journal of Algebraic Combinatorics, Proceedings of the American Mathematical Society, etc.). We just mention here our three most important results: (1) on the growth in simple groups of Lie type (L. Pyber and E. Szabó); (2) decomposing the discriminant of a 3x3 real symmetric matrix into the sum of 5 squares (M. Domokos); (3) a result concerning a generalization of Higman's conjecture on the number of conjugacy classes in the group of upper unitriangular matrices (Z. Halasi and P. P. Pálfy). Result (1) has been obtained simultaneously by Breuillard, Green, and Tao; it has important implications for expander graphs. Result (2) improves upon a result of Kummer from the middle of nineteenth century; up till now only a decomposition into 7 squares has been known. Result (3) refutes a generalization of Higman's conjecture, hence making the validity of the original conjecture doubtful. The support of OTKA made it possible to employ three talented young researchers as well