On barycentric subdivision, with simulations

Consider the barycentric subdivision which cuts a given triangle along its medians to produce six new triangles. Uniformly choosing one of them and iterating this procedure gives rise to a Markov chain. We show that almost surely, the triangles forming this chain become flatter and flatter in the sense that their isoperimetric values goes to infinity with time. Nevertheless, if the triangles are renormalized through a similitude to have their longest edge equal to [0,1]\subset\CC (with 0 also adjacent to the shortest edge), their aspect does not converge and we identify the limit set of the opposite vertex with the segment [0,1/2]. In addition we prove that the largest angle converges to $\pi$ in probability. Our approach is probabilistic and these results are deduced from the investigation of a limit iterated random function Markov chain living on the segment [0,1/2]. The stationary distribution of this limit chain is particularly important in our study. In an appendix we present related numerical simulations (not included in the version submitted for publication)

Modified logarithmic Sobolev inequalities and transportation inequalities

We present a class of modified logarithmic Sobolev inequality, interpolating between Poincar\'e and logarithmic Sobolev inequalities, suitable for measures of the type \exp(-|x|^\al) or more complex \exp(-|x|^\al\log^\beta(2+|x|)) (\al\in]1,2[ and \be\in\dR) which lead to new concentration inequalities. These modified inequalities share common properties with usual logarithmic Sobolev inequalities, as tensorisation or perturbation, and imply as well Poincar\'e inequality. We also study the link between these new modified logarithmic Sobolev inequalities and transportation inequalities

On absorbtion times and Dirichlet eigenvalues

34 pagesInternational audienceThis paper gives a stochastic representation in spectral terms for the absorbtion time $T$ of a finite Markov chain which is irreducible and reversible outside the absorbing point. This yields quantitative informations on the parameters of a similar representation due to O'Cinneide for general chains admitting real eigenvalues. In the discrete time setting, if the underlying Dirichlet eigenvalues (namely the eigenvalues of the Markov transition operator restricted to the functions vanishing on the absorbing point) are nonnegative, we show that $T$ is distributed as a mixture of sums of independent geometric laws whose parameters are successive Dirichlet eigenvalues (starting from the smallest one). The mixture weights depend on the starting law. This result leads to a probabilistic interpretation of the spectrum, in terms of strong random times and local equilibria through a simple intertwining relation. Next this study is extended to the continuous time framework, where geometric laws have to be replaced by exponential distributions having the (opposite) Dirichlet eigenvalues of the generator as parameters. Returning to the discrete time setting we consider the influence of negative eigenvalues which are given another probabilistic meaning. These results generalize results of Karlin and McGregor and Keilson for birth and death chains

On eigenfunctions of Markov processes on trees

International audienceWe begin by studying the eigenvectors associated to irreducible finite birth and death processes, showing that the $i^{\mathrm{th}}$ nontrivial eigenvector $\varphi_i$ admits a succession of $i$ decreasing or increasing stages, each of them crossing zero. Imbedding naturally the finite state space into a continuous segment, one can unequivocally define the zeros of $\varphi_i$, which are interlaced with those of $\varphi_{i+1}$. These kind of results are deduced from a general investigation of minimax multi-sets Dirichlet eigenproblems, which leads to a direct construction of the eigenvectors associated to birth and death processes. This approach can be generically extended to eigenvectors of Markov processes living on trees. This enables to reinterpret the eigenvalues and the eigenvectors in terms of the previous Dirichlet eigenproblems and a more general conjecture is presented about related higher order Cheeger inequalities. Finally, we carefully study the geometric structure of the eigenspace associated to the spectral gap on trees

Une condition asymptotique pour le calcul de constantes de Sobolev logarithmiques sur la droite

International audienceOn présente une formule explicite pour la constante de Sobolev logarithmique correspondant à des diffusions réelles ou à des processus entiers de vie et de mort, sous l'hypothèse que certaines quantités, naturellement associées à des inégalités de Hardy dans ce contexte, approchent leur supremum au bord de leur domaine de définition. La preuve se ramène au cas de la constante de Poincaré, à l'aide de comparaisons exactes entre entropie et variances appropriées. Malheureusement, cette démarche n'a pas permis de retrouver la constante de Sobolev logarithmique relative à la distribution gaussienne, bien que certains indices suggèrent qu'elle relève aussi des phénomènes observés ici

Monotonicité des fonctions extrémales pour les inégalités de type Sobolev logarithmiques en dimension 1

International audienceOn montre que pour calculer les constantes optimales associées à diverses inégalités fonctionnelles en dimension 1, il suffit de considérer des fonctions monotones. On s'intéresse aux contextes discrets et continus (ainsi qu'aux liens qu'ils entretiennent), dans lesquels on étudie les inégalités de Poincaré, de Sobolev logarithmique et diverses variantes obtenues par modifications des termes d'entropie et d'énergi

Quand est-ce que des bornes de Hardy permettent de calculer une constante de Poincaré exacte sur la droite ?

51 pagesInternational audienceClassiquement, des inégalités de Hardy permettent d'estimer le trou spectral d'une diffusion réelle à un facteur 4 près. L'objectif de ce papier est d'essayer de mieux appréhender cette constante fluctuante, du moins dans un contexte symétrique. Notamment on donnera un critère asymptotique simple assurant qu'elle vaut exactement 4. L'argument sous-jacent consiste à voir le trou spectral comme une fonctionnelle semi-explicite et surtout monotone en un réarrangement des données du problème. Pour l'exhiber, on aura recours à des propriétés de régularité de la constante de Poincaré correspondante et on fera certains liens avec les méthodes de chemins, les premières valeurs propres de Dirichlet, les équations de Sturm-Liouville et les fonctionnelles browniennes, la plupart ayant déjà été observés par divers auteurs. Enfin on étendra les résultats obtenus au cas des processus de vie et de mort sur \ZZ, mais toujours dans un cadre symétrique. Notre espoir est que cette démarche pourra s'adapter pour permettre d'appliquer finement les constantes de Hardy à des inégalités fonctionnelles plus ardues que celle de Poincaré