The spectra of polynomial equations with varying exponents

We study the dependence of solutions of equations of the form $a_0 + a_1 z^{\ell_1} + ... + a_m z^{\ell_m} = 0$, on the exponents $\ell_1, ..., \ell_m$. We apply our results to equations that appear in graph theory, the theory of 3-manifolds fibering over the circle, and the theory of free-by-cyclic groups. In particular, we provide descriptions of the spectra of the Alexander polynomial of a fibered 3-manifold, Teichm\"uller polynomials associated to such a manifold or to a free by cyclic group, and the family of characteristic polynomials of a fixed directed graph with varying edge lengths.Comment: 3 figure

Algebraic Entropy and the Action of Mapping Class Groups on Character Varieties

We extend the definition of algebraic entropy to endomorphisms of affine varieties. We calculate algebraic entropy of the action of elements of mapping class groups on various character varieties, and show that it is equal to a quantity we call the spectral radius, a generalization of the dilatation of a Pseudo-Anosov mapping class. Our calculations are compatible with all known calculations of the topological entropy of this action.Comment: 14 page

Kaidah Kritik Matan Hadis Menafsirkan Al-Qur'an

Al-Qur’an dan Hadis sebagai warisan monumental telah mengalami fase kesejarahan yang panjang di samping mendapat perlakuan yang berbeda dalam proses identifikasi, kodifikasi, dan pemeliharaannya. Fase kesejarahan Al-Qur’an dengan kesemua proses-proses sebagaimana disebutkan tadi dikoordinir oleh Khalifah, disosialisasikan oleh Gubernur, dan dikontrol secara ketat oleh hafalan segenap kaum Muslimin. Akan halnya dengan Hadis, prosesnya melalui sikap perorangan (non-konsensus) yang berlangsung dalam kurun waktu empat abad hingga akhirnya sampai pada ulama kolektor kitab hadis standar dengan format penyajian yang berbeda, yakni format muṣannif, musnad, sunan, ṣaḥīḥ, al-jāmiʻ, mustadrak dan lain-lainnya. Itulah sebabnya mengapa kritik terhadap Al-Qur’an tidak segencar kritik terhadap Hadis, baik yang datang dari kalangan orientalis, al-muḥaddiṡūn,  maupun yang datang dari kalangan inkār al-Sunnah. Terbunuhnya ‘Umar bin Khaṭṭāb tidak banyak mempengaruhi perkembangan Ilmu Kritik Hadis. Namun terbunuhnya ‘Uṡmān bin ‘Affān serta al-Husein bin ‘Alī yang diiringi kelompok politik dalam tubuh umat Islam, sangat berpengaruh terhadap perkembangan kritik Ilmu Hadis. Karena untuk memperoleh legitimasinya, masing-masing kelompok itu mencari dukungan dari Hadis Nabi saw. Dan apabila Hadis yang dicarinya tidak ditemukan mereka kemudian membuat Hadis palsu

Ukhuwah Dalam Al-Qur’an (Studi Tafsir Tematik)

Kata ukhuwah sering digandengkan dengan kata islamiyah, sehingga memunculkan istilah ukhuwah islamiyah. Masyarakat muslim mengenal istilah Ukhuwah Islamiyyah. Selama ini ada kesan bahwa istilah tersebut bermakna “persaudaraan yang dijalin oleh sesama Muslim”, atau dengan kata lain, “persaudaraan antar sesama Muslim”, sehingga  kata “Islamiyyah” dijadikan pelaku ukhuwah itu. Pemahaman ini kurang tepat karena kata Islamiyyah yang dirangkaikan dengan kata ukhuwah lebih tepat dipahami sebagai adjectiva (sifat), sehingga ukhuwah Islamiyah berarti persaudaraan yang bersifat Islami atau yang diajarkan oleh Islam, paling tidak ada dua alasannya. Pertama, al-Qur’an dan hadis memperkenalkan bermacam-macam per­saudara­­an. Kedua, karena alasan kebahasaan. Di dalam bahasa Arab, kata sifat selalu harus disesuaikan dengan yang disifatinya. Jika yang disifati berbentuk indefinitif (nakirah) maupun feminin (mu’annas\), kata sifatnya pun harus demikian. Ini terlihat secara jelas pada prase ukhuwwah Islamiyyah dan al-Ukhuwwah al-Islamiyyah. Metode penelitian ini menggunakan metode penelitian kualitatif. Jenis penelitian ini penelitian kepustakaan (library research) dengan pendekatan yang digunakan adalah pendekatan ilmu tafsir. Teknik pengumpulan data penelitian ini adalah penelaahan dan pengkajian bahan-bahan pustaka (library research) dengan langkah-langkahnya adalah menetapkan masalah dan tujuan penelitian mengenai ayat-ayat ukhuwah dalam Al-Qur’an, mengumpulkan data mengenai konsep ukhuwah dalam Al-Qur’an. Pengolahan data melalui tiga tahap yakni menganalisis, memaparkan, dan merumuskan penafsiran ayat-ayat ukhuwah, dianalisis secara kuali­tatif kemudian menarik kesimpulan