Oscillation of caputo fractional difference equations with damping term

Bu makalede, α∈(n-1,n) bir sabit (n∈〖N) ∆〗_C^α x, x’in α-yıncı mertebeden kesirli Caputo kesirli fark operatörü ve N_0={0,1,2,…} olmak üzere, ∆^k ├ x(t)┤|_(t=0)=x_k,k=1,2,…,n-1 başlangıç şartına sahip (1+p(t))∆(∆_C^α x(t))+p(t) ∆_C^α x(t)+f(t,x(t))=g(t),t∈N_0 ile verilen ikinci taraflı sönüm terimli kesirli fark denkleminin salınımlılığı için bir yeter şart elde edilmiştir. Bu çalışma için “p(t) ve g(t) reel fonksiyonlar, p(t)>-1,f:N_0×R⟶R ve x≠0,t_0∈N_0” önermesi geçerlidir. Makalenin sonunda açıklayıcı bir örnek verilmiştir.In this paper, we obtain a sufficent condition for the oscillation of forced fractional difference equations with damping term of the form (1+p(t))∆(∆_C^α x(t))+p(t) ∆_C^α x(t)+f(t,x(t))=g(t),t∈N_0 with initial condition ∆^k ├ x(t)┤|_(t=0)=x_k,k=1,2,…,n-1 where α∈(n-1,n) is a constant (n∈N), ∆_C^α x is the Caputo fractional difference operator of order α of x and N_0={0,1,2,…}. For this study, the proposition “p(t) and g(t) are real functions, p(t)>-1,f:N_0×R⟶R and x≠0,t_0∈N_0” is held. An illustrative example is given at the end of the paper

Rıemann lıouvılle and hadamard type generalızed fractıonal dıfferentıal equatıons

Kesirli hesabın geçmişi oldukça önceye dayanmaktadır. Kesirli mertebeli diferensiyel ve integrasyon kavramları, tam sayı mertebeli türev ve n katlı integrali genelleştiren kavramlardır. Bu kavramlar ilk olarak 17. yüzyılda Leibniz tarafından ortaya atılmış, sonrasında Euler, Lagrange, Abel, Liouville gibi birçok matematikçinin çalıştığı bir alan olmuştur. Dört bölümden oluşan bu çalışmada Reimann-Liouville ve Hadamard tipli genelleştirilmiş kesirli integrali α∈R,ρ∈R^+ ve f:(0,∞)→R olmak üzere 〖[J〗_ρ^α f](t)≔{■(∫_0^t▒〖K_ρ^α (t,η)f(η)dη,〗 & α∈R/Z_0^-@f(t),&α=0@∑_(i=1)^((-α))▒〖(A_((-α),i) (ρ))/t^((-α)ρ-i) (d/dt)^i f(t), 〗&α∈Z^- )┤ şeklinde tanımlanmıştır. Bu tanım daha önce Katugampola’nın yaptığı tanımdan yola çıkılarak elde edilmiştir. Çalışmanın ilk bölümünde kesirli türev kavramı hakkında genel bir bilgi verilmiş, ikinci bölümde çalışma için gerekli olan temel tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde Reimann-Liouville ve Hadamard tipli genelleştirilmiş kesirli integrali ve türevi tanımlanmış ve temel özellikleri verilmiş, son bölümde ise bu kesirli türevi içeren diferansiyel denklemlerin çözümleri üzerinde durulmuştur.Fractional calculus is based on a very long history. Fractional differential and integration are generalization of integer order derivative and n -times integrals. These notions were originally proposed by Leibniz in the 17th century and then many mathematician worked on this subject like Euler, Lagrange, Abel, Liouville. In this work, which is consisted of four chapters, Riemann-Liouville and Hadamard type generalized fractional integral defined by 〖[J〗_ρ^α f](t)≔{■(∫_0^t▒〖K_ρ^α (t,η)f(η)dη,〗 & α∈R/Z_0^-@f(t),&α=0@∑_(i=1)^((-α))▒〖(A_((-α),i) (ρ))/t^((-α)ρ-i) (d/dt)^i f(t), 〗&α∈Z^- )┤ where α∈R,ρ∈R^+ and f:(0,∞)→R. In the first chapter of this work, a general knowledge about the fractional derivative. In the second chapter of this work, some basic definitions and theorems, necessary for this work, are given. In the third chapter, Riemann-Liouville and Hadamard type generalized fractional integral and derivative are defined and basic features are given, in the last chapter focused on solution of Riemann-Liouville and Hadamard type generalized fractional differential equations

Rıemann lıouvılle and hadamard type generalızed fractıonal dıfferentıal equatıons

Kesirli hesabın geçmişi oldukça önceye dayanmaktadır. Kesirli mertebeli diferensiyel ve integrasyon kavramları, tam sayı mertebeli türev ve n katlı integrali genelleştiren kavramlardır. Bu kavramlar ilk olarak 17. yüzyılda Leibniz tarafından ortaya atılmış, sonrasında Euler, Lagrange, Abel, Liouville gibi birçok matematikçinin çalıştığı bir alan olmuştur. Dört bölümden oluşan bu çalışmada Reimann-Liouville ve Hadamard tipli genelleştirilmiş kesirli integrali α∈R,ρ∈R^+ ve f:(0,∞)→R olmak üzere 〖[J〗_ρ^α f](t)≔{■(∫_0^t▒〖K_ρ^α (t,η)f(η)dη,〗 & α∈R/Z_0^-@f(t),&α=0@∑_(i=1)^((-α))▒〖(A_((-α),i) (ρ))/t^((-α)ρ-i) (d/dt)^i f(t), 〗&α∈Z^- )┤ şeklinde tanımlanmıştır. Bu tanım daha önce Katugampola’nın yaptığı tanımdan yola çıkılarak elde edilmiştir. Çalışmanın ilk bölümünde kesirli türev kavramı hakkında genel bir bilgi verilmiş, ikinci bölümde çalışma için gerekli olan temel tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde Reimann-Liouville ve Hadamard tipli genelleştirilmiş kesirli integrali ve türevi tanımlanmış ve temel özellikleri verilmiş, son bölümde ise bu kesirli türevi içeren diferansiyel denklemlerin çözümleri üzerinde durulmuştur.Fractional calculus is based on a very long history. Fractional differential and integration are generalization of integer order derivative and n -times integrals. These notions were originally proposed by Leibniz in the 17th century and then many mathematician worked on this subject like Euler, Lagrange, Abel, Liouville. In this work, which is consisted of four chapters, Riemann-Liouville and Hadamard type generalized fractional integral defined by 〖[J〗_ρ^α f](t)≔{■(∫_0^t▒〖K_ρ^α (t,η)f(η)dη,〗 & α∈R/Z_0^-@f(t),&α=0@∑_(i=1)^((-α))▒〖(A_((-α),i) (ρ))/t^((-α)ρ-i) (d/dt)^i f(t), 〗&α∈Z^- )┤ where α∈R,ρ∈R^+ and f:(0,∞)→R. In the first chapter of this work, a general knowledge about the fractional derivative. In the second chapter of this work, some basic definitions and theorems, necessary for this work, are given. In the third chapter, Riemann-Liouville and Hadamard type generalized fractional integral and derivative are defined and basic features are given, in the last chapter focused on solution of Riemann-Liouville and Hadamard type generalized fractional differential equations.İÇİNDEKİLER DİZİNİ Sayfa ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii İÇİNDEKİLER DİZİNİ iv SİMGELER DİZİNİ vi 1. GİRİŞ 1 2. TEMEL KAVRAMLAR 3 2.1 Gama Fonksiyonu 3 2.2 Beta Fonksiyonu 3 2.3 Mittag-Leffler Fonksiyonu 4 2.4 Reimann-Liouville Kesirli İntegrali ve Türevi 4 2.5 Hadamard Kesirli İntegral ve Türevi 9 2.6 Laplace Dönüşümü 13 2.6.1 Reimann-Liouville Kesirli İntegralinin Laplace Dönüşümü 14 2.6.2 Reimann-Liouville Kesirli Türevinin Laplace Dönüşümü 15 2.6.3 Mittag-Leffler Fonksiyonunun Laplace Dönüşümü 16 3. RİEMANN-LİOUVİLLE VE HADAMARD TİPLİ GENELLEŞTİRİLMİŞ KESİRLİ İNTEGRAL VE TÜREV 17 3.1 Reimann-Liouville ve Hadarmad Tipli Kesirli Türev ve İntegralin Temel Özellikleri 23 4. RİEMANN-LİOUVİLLE VE HADAMARD TİPLİ GENELLEŞTİRİLMİŞ KESİRLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER 26 4.1 Reimann-Liouville ve Hadamard Tipli Kesirli Diferansiyel Denklemler için Varlık ve Teklik Teoremi 26 4.2 Reimann-Liouville ve Hadamard Tipli Otonom Denklem 29 4.2.1 Yerine Koyma Yöntemi 30 4.2.2 Picard İterasyonu 31 4.3 Başlangıç Koşullarına Hassas Bağımlılık 32 4.4 Lineer Denklemler için Green Fonksiyonu 34 4.4.1 Otonom Denklemlerin Çözümleri 37 4.5 Riemann-Liouville ve Hadamard Tipli Kesirli Diferansiyel Denklemler için Laplace Dönüşümü 38 6. KAYNAKLAR 41 ÖZGEÇMİŞ 4

Evaluation of Advanced Oxidation Protein Products, Prooxidant-Antioxidant Balance, and Total Antioxidant Capacity in Untreated Vitiligo Patients

BACKGROUND: Vitiligo is a chronic, common disease of unknown etiology, and oxidative stress is suggested to have a role in its etiopathogenesis. OBJECTIVE: Advanced oxidation protein products (AOPPs), prooxidant-antioxidant balance (PAB), and ferric-reducing antioxidant power (FRAP) were evaluated regarding their role in the pathogenesis of vitiligo as well as their relationship with clinical presentation and disease severity, and these parameters were compared with those of healthy controls. METHODS: The study included 53 patients with vitiligo and 20 healthy volunteers as the control group. AOPP level, PAB, and FRAP were determined by colorimetric methods. RESULTS: PAB and FRAP level were significantly higher in patients with vitiligo than in healthy controls (p<0.001). The AOPP levels in vitiligo patients were not statistically significantly higher than those in healthy controls. The Vitiligo Area Scoring Index positively correlated with disease duration (r(s): 0.531, p<0.001). CONCLUSION: To the best of our knowledge, this is the first report of AOPP and PAB status in vitiligo. PAB may be used as an indicator for oxidative stress in the etiopathogenesis of vitiligo. Our results show that these parameters may play a major role in the melanocyte damage observed in vitiligo. Further studies are required to confirm the mechanisms underlying this effect