A novel entropy stable discontinuous Galerkin spectral element method for the shallow water equations on GPUs

In dieser Arbeit präsentieren wir ein neues Discontinuous Galerkin Spektrale Elemente Verfahren hoher Ordnung zur Approximation der nicht-linearen Flachwassergleichungen auf unstrukturierten, möglicherweise gekrümmten Gittern. Das Verfahren ist so konstruiert, dass es Entropie-stabil ist und die well-balanced Eigenschaft hat. Wir bezeichnen dieses Verfahren mit ESDGSEM. Das Verfahren wird anhand einer spezifischen alternativen Formulierung der Flachwassergleichungen konstruiert. Durch Umformulierung der Diskretisierung der alternativen Formulierung in ein Flux-Differencing Verfahren ist es uns möglich zu zeigen, dass das Verfahren konservativ ist, obwohl es nicht auf den Gleichungen in konservativer Form beruht. Durch Verwendung eines speziellen numerischen Flusses an den Elementkanten können wir außerdem zeigen, dass die Approximation die totale Energie als zusätzliche konservative Variable behandelt. Da die totale Energie eine Entropie-Funktion für die Flachwassergleichungen ist, ist das Verfahren somit Entropie-konservativ. Durch kontrolliertes Hinzufügen von numerischer Dissipation an den Elementkanten können wir garantieren, dass das Verfahren Entropie-stabil ist. Weiterhin zeigen wir, dass das Verfahren für eine spezielle Diskretisierung des Quellterms auch well-balanced ist. Wir führen künstliche Viskosität in das System der Flachwassergleichungen ein, um die Oszillationen im Falle von Schocks zu dämpfen. Außerdem erweitern wir das Entropie-stabile Verfahren um einen Positivitätslimiter, der nicht-negative Wasserhöhen garantiert. Wir zeigen, dass beide Erweiterungen die Entropie-Stabilität des Verfahrens beibehalten. Ebenfalls beweisen wir die Funktionalität des Positivitäts-limiters. Für die in dieser Arbeiten verwendeten Entropie-stabilen numerischen Flussfunktionen war dies zuvor nicht bekannt. Des Weiteren implementieren wir das ESDGSEM unter Verwendung von OCCA auf modernen Grafikkarten. Unsere Untersuchungen ergeben, dass das ESDGSEM hervorragend auf die Architektur moderner Grafikkarten passt. Trotz eines höheren erforderlichen Rechenaufwands im Vergleich zu herkömlichen DG-Verfahren ist für Polynomgrade von N<=7 kein Laufzeitunterschied festzustellen. Mit einer Reihe von numerischen Beispielen verifizieren wir die theoretischen Ergebnisse bezüglich Konvergenz und Konservatität. Außerdem zeigen wir die well-balanced Eigenschaft numerisch und testen die Robustheit des Verfahrens anhand einiger numerisch herausfordernder Tests. Diese beinhalten sowohl starke Schocks als auch Trockenflächen und benötigen somit zwingend die Erweiterungen des Verfahrens. Abschließend verwenden wir das entwickelte Verfahren, um den Tsunami im Indischen Ozean aus dem Jahr 2004 zu simulieren. Unsere Ergebnisse vergleichen wir dabei mit an der Küste Indiens aufgezeichneten Daten und beobachten gute Approximationen für die Ankunftszeiten des Tsunamis

An entropy stable discontinuous Galerkin method for the shallow water equations on curvilinear meshes with wet/dry fronts accelerated by GPUs

We extend the entropy stable high order nodal discontinuous Galerkin spectral element approximation for the non-linear two dimensional shallow water equations presented by Wintermeyer et al. [N. Wintermeyer, A. R. Winters, G. J. Gassner, and D. A. Kopriva. An entropy stable nodal discontinuous Galerkin method for the two dimensional shallow water equations on unstructured curvilinear meshes with discontinuous bathymetry. Journal of Computational Physics, 340:200-242, 2017] with a shock capturing technique and a positivity preservation capability to handle dry areas. The scheme preserves the entropy inequality, is well-balanced and works on unstructured, possibly curved, quadrilateral meshes. For the shock capturing, we introduce an artificial viscosity to the equations and prove that the numerical scheme remains entropy stable. We add a positivity preserving limiter to guarantee non-negative water heights as long as the mean water height is non-negative. We prove that non-negative mean water heights are guaranteed under a certain additional time step restriction for the entropy stable numerical interface flux. We implement the method on GPU architectures using the abstract language OCCA, a unified approach to multi-threading languages. We show that the entropy stable scheme is well suited to GPUs as the necessary extra calculations do not negatively impact the runtime up to reasonably high polynomial degrees (around $N=7$). We provide numerical examples that challenge the shock capturing and positivity properties of our scheme to verify our theoretical findings

An Entropy Stable Nodal Discontinuous Galerkin Method for the Two Dimensional Shallow Water Equations on Unstructured Curvilinear Meshes with Discontinuous Bathymetry

We design an arbitrary high-order accurate nodal discontinuous Galerkin spectral element approximation for the nonlinear two dimensional shallow water equations with non-constant, possibly discontinuous, bathymetry on unstructured, possibly curved, quadrilateral meshes. The scheme is derived from an equivalent flux differencing formulation of the split form of the equations. We prove that this discretisation exactly preserves the local mass and momentum. Furthermore, combined with a special numerical interface flux function, the method exactly preserves the mathematical entropy, which is the total energy for the shallow water equations. By adding a specific form of interface dissipation to the baseline entropy conserving scheme we create a provably entropy stable scheme. That is, the numerical scheme discretely satisfies the second law of thermodynamics. Finally, with a particular discretisation of the bathymetry source term we prove that the numerical approximation is well-balanced. We provide numerical examples that verify the theoretical findings and furthermore provide an application of the scheme for a partial break of a curved dam test problem

An entropy stable discontinuous Galerkin method for the shallow water equations on curvilinear meshes with wet/dry fronts accelerated by GPUs

We extend the entropy stable high order nodal discontinuous Galerkin spectral element approximation for the non-linear two dimensional shallow water equations presented by Wintermeyer et al. [N. Wintermeyer, A. R. Winters, G. J. Gassner, and D. A. Kopriva. An entropy stable nodal discontinuous Galerkin method for the two dimensional shallow water equations on unstructured curvilinear meshes with discontinuous bathymetry. Journal of Computational Physics, 340:200-242, 2017] with a shock capturing technique and a positivity preservation capability to handle dry areas. The scheme preserves the entropy inequality, is well-balanced and works on unstructured, possibly curved, quadrilateral meshes. For the shock capturing, we introduce an artificial viscosity to the equations and prove that the numerical scheme remains entropy stable. We add a positivity preserving limiter to guarantee non-negative water heights as long as the mean water height is non-negative. We prove that non-negative mean water heights are guaranteed under a certain additional time step restriction for the entropy stable numerical interface flux. We implement the method on GPU architectures using the abstract language OCCA, a unified approach to multi-threading languages. We show that the entropy stable scheme is well suited to GPUs as the necessary extra calculations do not negatively impact the runtime up to reasonably high polynomial degrees (around N = 7). We provide numerical examples that challenge the shock capturing and positivity properties of our scheme to verify our theoretical findings

An entropy stable nodal discontinuous Galerkin method for the two dimensional shallow water equations on unstructured curvilinear meshes with discontinuous bathymetry

We design an arbitrary high-order accurate nodal discontinuous Galerkin spectral element approximation for the non-linear two dimensional shallow water equations with non- constant, possibly discontinuous, bathymetry on unstructured, possibly curved, quadrilateral meshes. The scheme is derived from an equivalent flux differencing formulation of the split form of the equations. We prove that this discretisation exactly preserves the local mass and momentum. Furthermore, combined with a special numerical interface flux function, the method exactly preserves the mathematical entropy, which is the total energy for the shallow water equations. By adding a specific form of interface dissipation to the baseline entropy conserving scheme we create a provably entropy stable scheme. That is, the numerical scheme discretely satisfies the second law of thermodynamics. Finally, with a particular discretisation of the bathymetry source term we prove that the numerical approximation is well-balanced. We provide numerical examples that verify the theoretical findings and furthermore provide an application of the scheme for a partial break of a curved dam test problem