Algebra és számítások = Algebra and calculations

Algebra és számítások, rövid összefoglaló: Kutatásaink során új eredményeket értünk el az algebra és számítástudomány következő területein: Gröbner-bázisok, kombinatorikai alkalmazások, algebrai geometria, kvantumszámítógépek, csoportokkal és reprezentációkkal kapcsolatos számítások, automaták, félcsoportok, adatbázisok, adatbányászat. Néhány fontosabb eredmény: ? Wilson tételének általánosítása, új bizonyítás Wilson és Frankl tételeire, Babai és Frankl egy sejtésének igazolása. Új algoritmus a lexikografikus standard monomok számítására. A Sperner-lemma bonyolultságának vizsgálata. Kvantumszámítógép modellek vizsgálata. - Projektív sokaságok divizorai kohomológiáinak vizsgálata, a Briancon-Skoda tétel általánosítása. - A Brauer?Nesbitt-tétel, valamint Landau-tételének általánosítása. Szimmetrikus algebrák Cartan-invariánsainak vizsgálata. Absztrakt gyökcsoportok és gyök árnyékterek vizsgálata. - Az RGCn-kommutatív félcsoportok közül a regulárisak, a deltafélcsoportok és a szubdirekt irreducibilisek leírása. Kongruenciafelcserélhető permutációazonosságos félcsoport medialitásának bizonyítása. Automatabővítések vizsgálata. - Új adatbányászati és webkeresési algoritmusok kidolgozása. | With the partial support of the present grant, we have achieved new results in the following fields of algebra and computer science: Gröbner-bases, applications in combinatroics, algebraic geometry, quantum computation, computations related to groups and representations, automata, semigroups, databases, data mining. Some significant results: - Generalization of Wilson's theorem, new proof for theorems of Wilson and Frankl, proof of a conjecture of Babai and Frankl. New algorithm for the calculation of lexicographic standard monomials. Investigation of the complexity of the Sperner-lemma. Study of quanum computer models. - Investigation of cohomology of divisors of projective varieties. Generalization of the Briancon-Skoda theorem. - Generalization of the Brauer-Nesbitt theorem and of Landau's theorem. Investigations of the Cartan-invariants of symmetric algebras. Study of abstract root subgroups and of root shadow spaces. - Description of the regular, the deltasemigroups and of the subdirectly irreducible ones among the RGCn-commutativ semigroups. Congruence permutable semigroups satisfying a permutation identity, are medial. Automata extensions. - New algrorithms for data mining and for web search

Véges geometria = Finite geometry

Megmutattuk, hogy négyzet q-ra PG(2,q)-ban 4qlog q és q^(3/2)-q+2q^(1/2) között minden méretű minimális lefogó ponthalmaz létezik, sőt egy kicsit szűkebb intervallum minden értékére q-ban több, mint polinomnyi. Magasabb dimenziós projektív terekben a hipersíkokat r modulo p pontban metsző halmazok méretére bizonyos esetekben éles alsó becslést adtunk, amely a maximális ívek nemlétezésére vonatkozó Ball-Blokhuis-Mazzocca tétel általánosítása. Ez osztható lineáris kódok hosszára az n legalább (r-1)q+(p-1)r alsó becslést adja, ahol r az az érték, amellyel n és minden kódszó súlya is osztható. Megmutattuk, hogy PG(2,q) reguláris szemioválisai csak az oválisok és az unitálok. Segre típusí eredményt sikerült belátni másodrendű kúpok részleges kúpszeletnyalábjaira. Kis minimális lefogó ponthalmazok struktúrájáról azt sikerült megmutatni, hogy ezek minden egyenest 1 modulo p^e pontban metszenek, ahol e osztja h-t, ha q=p^h. Ezen túlmenően, ha a metszet p^e+1 elemű, akkor az GF(p^e) feletti részegyenes. Kis t-szeres lefogó ponthalmazokra az egyenesekkel való metszetekre beláttuk, hogy azok modulo p t-vel kongruensek, ahol t a karakterisztika. Ha q páros, akkor stabilitási eredményt bizonyítottunk PG(2,q) páros halmazaira. Az eredmény négyzet q-ra éles, és B. Segre ívek beágyazásáról szóló híres tételét általánosítja. Megmutattuk, hogy a Q(4,q) általánosított négyszögben nincsenek q^2-1 pontú maximális parciális ovoidok. | It was proven that in PG(2,q), q square, there is a minimal blocking set for any size between 4qlog q and q^(3/2)-q+2q^(1/2), Moreover, for a slightly smaller interval we also proved that the number of nonisomorphic minimal blocking sets of that size is more than polynomial in q. For sets intersecting all hyperplanes in r modulo p points we found a lower bound that is sharp in some cases. The proof generalizes the nonexistence of maximal arcs, due to Ball-Blokhuis-Mazzocca. For divisible linear codes it gives that the length is at least (r-1)q+(p-1)r, where divides the length and the weight of all codewords. We found that in PG(2,q) regular semiovals must be either ovals or unitals. We obtained a Segre type theorem for partial flocks of the quadratic cone. About the structure of small minimal blocking sets we obtained the following: each line intersects the set in 1 modulo p^e points, where e divides h and q=p^h. Furthermore, if the intersection has p^e+1 points, then it is a subline over GF(p^e). We proved that a small minimal t-fold blocking set intersects every line in t modulo p points, where p is the characteristics. For even q-s we proved a stability theorem for sets of even type in PG(2,q). The result is sharp when q is a square, and it generalizes a famous embeddability theorem for arcs, due to B. Segre. We also proved that the GQ Q(4,q) does not have maximal partial ovoids of size q^2-1

Kombinatorikus optimalizálás alkalmazásai a villamosságtanban = Combinatorial optimization and its applications in electrical engineering

A kombinatorikus optimalizálás eszközeit (gráf- és matroidelméleti algoritmusok, bonyolultságelméleti vizsgálatok) alkalmaztuk villamosságtani és informatikai problémák megoldására, így konkrétan -- a nagybonyolultságú integrált áramkörök 2- és 3-dimenziós huzalozási kérdéseire (csatorna- vagy 'switchbox'-huzalozás, minimális összhosszúságú/területű/térfogatú huzalozás); -- hardware és software komponenseket egyaránt tartalmazó rendszerek szintézisére; -- távközlési hálózatok megbízhatóságának, szolgáltatás-minőségének növelésére; -- közlekedési hálózatok informatikai szolgáltatásaira (pl. haladó járművek adatai alapján a hálózat topológiájának vizsgálata, optimális útvonal javaslása); -- az adaptív elosztott multimédia szerver fejlesztésére; -- web oldalakon hatékonyabb kereső programmok készítésére. Eközben tiszta matematikai és számítástudományi eredményekhez is jutottunk, így konkrétan -- a gráfelméletben (összefüggőséget növelő kiegészítések, Hamilton-körök, gráf-izomorfia); -- a matroidelméletben (gyenge és erős leképezések); -- a kvantumszámításokban (periódikus függvények, rejtett részcsoportok); -- a paraméteres bonyolultságelméletben (gráfok és hipergráfok színezése és listaszínezése); -- rúdszerkezetek és ''tensegrity'' szerkezetek merevségének elméletében. | Methods of combinatorial optimization (algorithms for graphs and matroids, complexity considerations) were applied for various problems in electrical engineering and informatics, in particular -- for the detailed routing of 2- and 3-dimensional VLSI circuits (channel and switchbox routing, minimum length/area/volume routing); -- for hardware/software codesign; -- for improving the quality of service of telecommunication networks; -- for integrated traffic information services (e.g. map generation and route guidance from floating car data); -- for the developments of adaptive distributed multimedia servers; -- for designing more effective search algorithms in the web graph. During these studies we also obtained results in pure mathematics and in theoretical computer science as well, in particular -- in the theory of graphs (connectivity augmentations, Hamiltonian circuits, graph isomorphism); -- in the theory of matroids (strong and weak maps); -- in quantum computing (periodic functions, hidden subgroup properties); -- in parametrized complexity theory (colouring or list-colouring of graphs and hypergraphs); -- in the theory of rigidity of bar-and-joint and tensegrity frameworks