Основные свойства обобщенных гамма-функций

Проблематика. Стаття присвячена вивченню основних властивостей нових узагальнених гамма-функцій, узагальнених неповних гамма-функцій, узагальнених дігамма-функцій для їх кращого застосування у прикладних науках, для обчислення інтегралів, відсутніх у науковій літературі. Мета дослідження. Запровадження і дослідження основних властивостей нових узагальнених гамма-функцій, узагальнених неповних гамма-функцій, узагальнених дігамма-функцій та їх застосування. Методика реалізації. Використано такі методи: методи теорії функцій дійсної змінної, теорії спеціальних функцій, теорії математичної фізики, методи прикладного аналізу. Результати дослідження. Запроваджено нові форми узагальнених гамма-функцій, неповних гамма-функцій, дігамма-функцій. Досліджено основні властивості цих узагальнених спеціальних функцій, дано приклади застосування нових узагальнених гамма-функцій. Висновки. За допомогою r-узагальнених конфлюентних гіпергеометричних функцій запроваджено нове узагальнення гамма-функцій, неповних гамма-функцій, дігамма-функцій.Background. The article is dedicated to studies of the main properties of new generalized gamma-functions, generalized incomplete gamma-functions, generalized digamma-functions for their best applications in applied sciences, for calculations of integrals which are absent in scientific literature. Objective. Introduction and study of the basic properties of the new generalized gamma-functions, generalized incomplete gamma-functions, generalized digamma-functions and their applications. Methods. We apply the following methods: the methods of the theory of functions of the real variable, the theory of the special functions, the theory of the mathematical physics, the methods of applied analysis. Results. Some new forms of generalized gamma-functions, incomplete gamma-functions, digamma-functions are introduced. The main properties of these generalized special functions are explored. Examples of application of new generalized gamma-functions are given. Conclusions. With the help of the r-generalized confluent hypergeometric functions the new generalization of gamma-functions, incomplete gamma-functions, digamma-functions are introduced. The main properties of the new generalized special functions are explored, examples of application of these functions are given.Проблематика. Статья посвящена изучению основных свойств новых обобщенных гамма-функций, обобщенных неполных гамма-функций, обобщенных дигамма-функций для их лучшего применения в прикладных науках, для вычисления интегралов, отсутствующих в научной литературе. Цель исследования. Введение и исследование основных свойств новых обобщенных гамма-функций, обобщенных неполных гамма-функций, обобщенных дигамма-функций и их применения. Методика реализации. Применены следующие методы: методы теории функции действительного переменного, теории специальных функций, теории математической физики, методы прикладного анализа. Результаты исследования. Введены новые формы обобщенных гамма-функций, неполных гамма-функций, дигамма-функций. Исследованы основные свойства этих обобщенных специальных функций, приведены примеры применения новых обобщенных гамма-функций. Выводы. При помощи r-обобщенных конфлюэнтных гипергеометрических функций введены новые обобщения гамма-функций, неполных гамма-функций, дигамма-функций

Spaces of Random Sets in Rᵈ

The construction of the probabilistic space (Ω, B, P) of random sets X of a general form in the finite-dimensional immersion space Rᵈ which is based on the concept of its cellular comminution is described. Elementary random events in this space are equivalence classes of Xrealizationsthat have the same right closur

Интегральные преобразования с r-гипергеометрическими функциями

Розглянуто r-конфлюентну гіпергеометричну функцію r₁Φ₁^τβ(a; c; x) у такому вигляді: r₁Φ₁^τβ(a; c; x) = (1/B(a,c – a))∫₀¹(t^(a–1))((1 – t)^(c–a–1))(e^xt)r₁Φ₁^τβ(α; γ; –r/t(1 – t))dt, де ₁Φ₁^τβ(a; c; x) = (1/B(a, c – a))∫₀¹(t^(a–1))((1 – t)^(c–a–1)) ₁ψ₁[(a, τ); (c, β)|xt^τ]dt, ₁ψ₁[…] – узагальнена Fox-Wright функція. Досліджено її основні властивості. Одержано такі формули диференціювання: d/dx (r₁Φ₁^τβ(a; c; x)) = (a/c)r₁Φ₁^τβ(a + 1; c + 1; x), dⁿ/dxⁿ (r₁Φ₁^τβ(a; c; x)) = ((Γ(a)/Γ(c))(Γ(a + n)/Γ(c + n))r₁Φ₁^τβ(a + n; c + n; x). Отримано узагальнені інтегральні перетворення Лапласа: L{f(x); y} = ∫₀∞(e^(–xy))r₁Φ₁^τβ(a; c; –r(xy)^ω)f(x)dx, Lm{f(x); y} = ∫₀∞(x^(m–1))(e^(–(x^m)(y^m))r₁Φ₁^τβ(a; c; –r((x^m)(y^m))^ω)f(x)dx з функцією r₁Φ₁^τβ(a; c; x) в ядрі. Вивчено основні властивості цих інтегральних перетворень. Доведено рівність Парсеваля для нових узагальнених інтегральних перетворень. Отримано формули обернення для нових інтегральних перетворень.In the paper the r-hypergeometric function is considered in the form r₁Φ₁^τβ(a; c; x) = (1/B(a,c – a))∫₀¹(t^(a–1))((1 – t)^(c–a–1))(e^xt)r₁Φ₁^τβ(α; γ; –r/t(1 – t))dt, where ₁Φ₁^τβ(a; c; x) = (1/B(a, c – a))∫₀¹(t^(a–1))((1 – t)^(c–a–1)) ₁ψ₁[(a, τ); (c, β)|xt^τ]dt, ₁ψ₁[…] is the generalized Fox-Wright function. Its basic properties are investigated. The formulas of differentiation are valid: d/dx (r₁Φ₁^τβ(a; c; x)) = (a/c)r₁Φ₁^τβ(a + 1; c + 1; x), dⁿ/dxⁿ (r₁Φ₁^τβ(a; c; x)) = ((Γ(a)/Γ(c))(Γ(a + n)/Γ(c + n))r₁Φ₁^τβ(a + n; c + n; x). The generalized integral Laplace transforms L{f(x); y} = ∫₀∞(e^(–xy))r₁Φ₁^τβ(a; c; –r(xy)^ω)f(x)dx, Lm{f(x); y} = ∫₀∞(x^(m–1))(e^(–(x^m)(y^m))r₁Φ₁^τβ(a; c; –r((x^m)(y^m))^ω)f(x)dx with function r₁Φ₁^τβ(a; c; x) in the kernel are received. The main properties of these integral transforms are studied. The Parseval equality for the new generalized integral transforms are proved. The inverse formulas for these new integral transforms are received.Рассмотрена r-конфлюэнтная гипергеометрическая функция r₁Φ₁^τβ(a; c; x) в таком виде: r₁Φ₁^τβ(a; c; x) = (1/B(a,c – a))∫₀¹(t^(a–1))((1 – t)^(c–a–1))(e^xt)r₁Φ₁^τβ(α; γ; –r/t(1 – t))dt, де ₁Φ₁^τβ(a; c; x) = (1/B(a, c – a))∫₀¹(t^(a–1))((1 – t)^(c–a–1)) ₁ψ₁[(a, τ); (c, β)|xt^τ]dt, ₁ψ₁[…] – обобщенная Fox-Wright функция. Исследованы ее основные свойства. Получены такие формулы дифференцирования: d/dx (r₁Φ₁^τβ(a; c; x)) = (a/c)r₁Φ₁^τβ(a + 1; c + 1; x), dⁿ/dxⁿ (r₁Φ₁^τβ(a; c; x)) = ((Γ(a)/Γ(c))(Γ(a + n)/Γ(c + n))r₁Φ₁^τβ(a + n; c + n; x). Получены обобщенные интегральные преобразования Лапласа: L{f(x); y} = ∫₀∞(e^(–xy))r₁Φ₁^τβ(a; c; –r(xy)^ω)f(x)dx, Lm{f(x); y} = ∫₀∞(x^(m–1))(e^(–(x^m)(y^m))r₁Φ₁^τβ(a; c; –r((x^m)(y^m))^ω)f(x)dx с функцией r₁Φ₁^τβ(a; c; x) в ядре. Изучены основные свойства этих интегральных преобразований. Доказано равенство Парсеваля для новых обобщенных интегральных преобразований. Получены формулы обращения для этих интегральных преобразований

Применения обобщенных интегральных преобразований

Проблематика. Статтю присвячено дослідженню узагальнених інтегральних перетворень, а саме узагальненого інтегрального перетворення Лапласа, узагальненого інтегрального перетворення Стільтьєса. Мета дослідження. Дослідження застосувань нових узагальнень класичних інтегральних перетворень для розв’язання диференціальних, інтегральних рівнянь, обчислення інтегралів, які відсутні у відповідній науковій літературі. Методика реалізації. Для дослідження узагальнених інтегральних перетворень використовувалися методи теорії функціональної змінної, математичної фізики, теорії спеціальних функцій та методи прикладного аналізу. Результати дослідження. В роботі подано нові узагальнення інтегральних перетворень Лапласа. За допомогою r-узагальненої конфлюентної гіпергеометричної функції введено узагальнене інтегральне перетворення Стільтьєса. Доведено теорему обернення узагальненого інтегрального перетворення Стільтьєса. Отримано нові властивості r-узагальнених конфлюентних гіпергеометричних функцій. Висновки. Досліджено нові властивості r-узагальнених конфлюентних гіпергеометричних функцій, що виражаються через функції Фокса–Райта. Наведено деякі форми узагальненого інтегрального перетворення Лапласа. За допомогою r-узагальненої конфлюентної гіпергеометричної функції запроваджено узагальнене інтегральне перетворення Стільтьєса. Подано цікаві при­клади застосування нових узагальнених інтегральних перетворень у теорії диференціальних та інтегральних рівнянь для обчислення інтегралів, відсутніх у математичній літературі.Background. The article studies the generalized integral transforms, such as generalized Laplace’ integral transform, generalized Stieltjes’ integral transformation. Objective. Investigation some applications of the new generalized classical integral transforms for solving integral and differential equations, for calculation integrals which are absent in reference and scientific literature. Methods. We apply the methods the theory of functional variable, the theory of mathematical physics, the theory of special function and the methods the theory applied analysis. Results. Some new forms of generalized Laplace’ integral transform are given. With help of the r-generalized confluent hypergeometric function the generalized Stieltjes’ integral transform is introduced. The inverse theorem of the generalized Stieltjes’ integral transform is proved. New properties of the r-generalized confluent hypergeometric function are explored. Conclusions. New properties of the r-generalized confluent hypergeometric function are explored. These functions are expressing in the form by the Fox–Wright functions. Some forms of generalized Laplace’ integral transform are given. With help of the r-generalized confluent hypergeometric function the generalized Stieltjes’ integral transform is introduced. Interesting examples of applications of new generalized integral transforms in the theory of differential and integral equations, for calculation of integrals, which are absent in mathematical literature are given.Проблематика. В статье рассматриваются обобщенные интегральные преобразования, а именно обобщенное интегральное преобразование Лапласа, обобщенное интегральное преобразование Стильтьеса. Цель исследования. Исследование применений новых обобщенных классических интегральных преобразований для решений дифференциальных и интегральных уравнений, для вычисления интегралов, отсутствующих в математической литературе. Методика реализации. Для исследования обобщенных интегральных преобразований использовались методы теории комплексного переменного, математической физики, теория специальных функций, методы прикладного анализа. Результаты исследования. В работе представлено новое обобщенное интегральное преобразование Лапласа. С помощью, r-обобщенной конфлюэнтной гипергеометрической функции введено обобщенное интегральное преобразование Стильтьеса. Доказана теорема об обращении обобщенного интегрального преобразования Стильтьеса. Получены новые свойства r-обобщенных конфлюэнтных гипергеометрических функций. Выводы. Исследованы новые свойства r-обобщенных конфлюэнтных гипергеометрических функций. Эти функции выражаются через функции Фокса–Райта. Даны некоторые формы обобщенного интегрального преобразования Лапласа. С помощью r-обобщенной конфлюэнтной гипергеометрической функции введено обобщенное интегральное преобразование Стильтьеса. Даны интересные примеры применения новых обобщенных интегральных преобразований в теории дифференциальных и интегральных уравнений для вычисления интегралов, отсутствующих в математической литературе

r-гипергеометрическая функция и ее применение

У роботі за допомогою (τ,β)-узагальненої виродженої гіпергеометричної функції запроваджено r-гіпергеометричну функцію. Метою цього було вивчення основних властивостей r-гіпергеометричної функції. Зокрема, вивчено співвідношення типу Ердеї, перетворення Мелліна, композиційне співвідношення з оператором типу Ердеї-Кобера. У дослідженні використовувалися загальні методи теорії спеціальних функцій, теорії інтегральних перетворень та операторів дробового інтегрування. Також отримано зображення r-гіпергеометричної функції у вигляді дробового інтеграла. Подано деякі застосування r-гіпергеометричних функцій до розв’язання інтегральних рівнянь Вольтерра в замкнутій формі. Результати роботи можуть бути використані для подальшого розвитку теорії спеціальних функцій та їх застосування в різних науках.In this paper with the help of the (τ,β)-generalized confluent hypergeometric function the r-hypergeometric function is considered. The aim of it is to study the main properties of the r-hypergeometric function, in particular, to study the relation of Erdelyi’ types, the Mellin transform, the composite relation with integral operator of Erdelyi-Kober’ type. In the study used common methods of the theory of special functions, the theory of integral transforms and operators of fractional integration. We also obtained the representation of the r-hypergeometric function by the fractional integral. Some applications of the r-hypergeometric functions to the solving of integral Volterra’ equations in closed form are given. The results can be used for further development of the theory of special functions and their applications in different sciences.В работе с помощью (τ,β)-обобщенной вырожденной гипергеометрической функции введена r-гипергеометрическая функция. Целью этого было изучение основных свойств r-гипергеометрической функции. В частности, получены соотношение типа Эрдейи, преобразование Меллина, композиционное соотношение с оператором типа Эрдейи-Кобера. В исследовании использовались общие методы теории специальных функций, теории интегральных преобразований и операторов дробного интегрирования. Также получено представление r-гипергеометрической функции в виде дробного интеграла. Даны некоторые применения r-гипергеометрических функций к решению интегральных уравнений Вольтерра в замкнутой форме. Результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории специальных функций и их применения в различных науках

Обобщение эйлерового интеграла первого рода

Проблематика. У статті запроваджено нове узагальнення ейлерового інтегралу І-го роду (бета-функції), досліджено їх основні властивості. Такі узагальнені функції посідають особливе місце серед спеціальних функцій завдяки їх широкому застосуванню в численних розділах прикладної математики. Мета дослідження. Вивчення нового узагальнення бета-функції та його застосування до обчислення нових інтегралів. Методика реалізації. Для отримання результатів було використано загальні методи теорії спеціальних функцій. Результати дослідження. Запроваджено нове узагальнення ейлеревого інтегралу І-го роду. Для відповідних r-узагальнених бета-функцій було отримано важливі функціональні співвідношення та формули диференціювання. Для широкого застосування в теорії інтегральних і диференціальних рівнянь є суттєвими теореми про зв’язок нових бета-функцій із класичними гіпергеометричними функціями, функціями Макдональда та Віттекера. Висновки. Розглянуте у статті нове узагальнення ейлерового інтегралу І-го роду відкриває широкі можливості для використання ейлерових інтегралів у теорії спеціальних функцій, у прикладних математичних і фізичних задачах. Планується застосувати r-узагальнені бета-функції до розв’язання нових задач теорії ймовірностей, математичної статистики, теорії інтегральних рівнянь тощо.Background. The new generalization of Euler’ integral of the I-kind (beta-functions) is considered, its main properties are investigated. Such distributions have a special place among the special functions due to their widespread use in many areas of applied mathematics. Objective. The aim of the paper is to study the generalization of the new r-generalized beta-function and its application to the calculation of the new integrals. Methods. To obtain results the general methods of the theory of special functions have been used. Results. The article deals with new generalization of Euler’ integral of the I-kind. For the corresponding r-generalized beta functions were obtained important functional relations and differentiation formulas. For a wide application in the theory of integral and differential equations are important theorems on the connection of new beta functions with classical hypergeometric functions, Macdonald’ and Whittaker’ functions. Conclusions. Considered in the article new generalization of Euler’ integral of the I-kind opens up opportunities for the use of Euler’ integrals in the theory of special functions, in the application of mathematical and physical problems. In the future we plan to use r-generalized beta functions to solve the new problems of the theory of probability, mathematical statistics, the theory of integral equations, etc.Проблематика. В статье введено новое обобщение эйлерового интеграла I-го рода (бета-функции), исследованы их основные свойства. Такие обобщенные функции занимают особое место среди специальных функций благодаря их широкому применению в многочисленных разделах прикладной математики. Цель исследования. Изучение нового обобщения бета-функции и его применение к вычислению новых интегралов. Методика реализации. Для получения результатов были использованы общие методы теории специальных функций. Результаты исследования. Введено новое обобщение ейлеревого интеграла I-го рода. Для соответствующих r-обобщенных бета-функций были получены важные функциональные соотношения и формулы дифференцирования. Для широкого применения в теории интегральных и дифференциальных уравнений являются существенными теоремы о связи новых бета-функций с классическими гипергеометрическими функциями, функциями Макдональда и Уиттэкера. Выводы. Рассмотренное в статье новое обобщение эйлерового интеграла I-го рода открывает широкие возможности для использования эйлеровых интегралов в теории специальных функций, в прикладных математических и физических задачах. Планируется применить r-обобщенные бета-функции к решению новых задач теории вероятностей, математической статистики, теории интегральных уравнений и др

Оценка влияния схемы «винт в кольце» на взлетные характеристики летательного аппарата

Проаналізовано деякі аспекти розрахунку аеродинамічних характеристик літального апарата з поворотними гвинтами на кінцях крила. Проведено порівняння двох вибраних компонувальних схем. Приведено графічні залежності змін аеродинамічних коефіцієнтів, тягових характеристик гвинтів двох вибраних схем на всіх етапах зльоту літака.Air transport is the fastest means of transportation. However, for example, doubling cruising speed of flight increases its average ground speed only 10-15%. This is because a lot of time spent on such regimes as takeoff, landing, maneuvering on the ground, and so on. Since the bulk of air traffic is carried away from the 300 to 1000 km, take off and landing can be up to 50% of the length of the flight. So one of the ways to solve pressing tasks outlined is to build an aircraft that combines quality, speed horizontal flight aircraft and helicopters take off and landing. For the first time the technique of calculating aerodynamic characteristics of the aircraft vertical takeoff and landing small size for rational choice of its parameters in order to achieve the required performance testing. We consider a model airplane with rotary screws at the ends of the wings. This combination provides the benefits of a helicopter, namely the possibility of vertical takeoff and landing and hovering at a certain height in the air, with the benefits of the plane - much greater speed and flight range. The main problem of this aircraft is to ensure the stability and controllability during mode transition from vertical to horizontal flight and vice versa. To determine the required parameters propulsion Comparative calculations generated by aircraft with different layout schemes. Research of mass characteristics to determine the advantages and disadvantages of each scheme. The materials performed the study, the results of calculations of aerodynamic characteristics of the designed aircraft vertical takeoff and landing at different tilt angles of attack and thrust vector and at a speed of zero to switch to horizontal flight.Проанализированы некоторые аспекты расчета аэродинамических характеристик летательного аппарата с поворотными винтами на концах крыла. Проведено сравнение двух выбранных компоновочных схем. Приведены графические зависимости изменения аэродинамических коэффициентов, тяговых характеристик винтов двух выбранных схем на всех этапах взлета самолета

Интегральные уравнения с r-гипергеометрическими функциями

Досліджено деякі нові властивості r-гіпергеометричних функцій, зокрема, доведені диференціальні співвідношення для функції rFτβ(a, b; c; z), співвідношення типу Куммера. Отримано інтегральне перетворення Мелліна для r-гіпергеометричної функції rFτβ(a, b; c; z), з класичною гіпергеометричною функцією Гаусса ₂F₁(a, b; c; z). Доведено формулу зображення r-гіпергеометричної функції rFτβ(a, b; c; z) у вигляді дробового інтеграла Рімана-Ліувілля. Подано застосування r-гіпергеометричних функцій до теорії інтегральних рівнянь. Розв’язано інтегральні рівняння Вольтерра першого роду з r-гіпергеометричною функцією в ядрі. Розв’язки цих інтегральних рівнянь отримано в загальній формі за допомогою апарату теорії дробового інтегро-диференціювання.Some new properties of the r-hypergeometric functions are investigated, in partial, the differential relations for the function rFτβ(a, b; c; z) are proved, and also the relation of the Kummer type is proved. The Mellin’ integral transform for the r-hypergeometric function rFτβ(a, b; c; z), is received. The connection of the r-hypergeometric function with the classic Gauss’ hypergeometric function ₂F₁(a, b; c; z) is established. The formula of the representation of the r-hypergeometric function rFτβ(a, b; c; z), in the kind of the Riemann-Liouville’ fractional integral is proved. Applications of the r-hypergeometric functions in the theory of an integral equations are given. Volterra’ integral equations of the first kind with r-hypergeometric function in the kernel are solved. The solutions of these integral equations in closed form by help of apparat of the theory of the fractional integro-differention are received.Исследованы некоторые новые свойства r-гипергеометрических функций, в частности, доказаны дифференциальные соотношения для функции rFτβ(a, b; c; z), соотношения типа Куммера. Получены интегральные преобразования Меллина для r-гипергеометрической функции rFτβ(a, b; c; z). Показана связь r-гипергеометрической функции rFτβ(a, b; c; z) с классической гипергеометрической функцией Гаусса ₂F₁(a, b; c; z). Доказана формула изображения r-гипергеометрической функции rFτβ(a, b; c; z) в виде дробного интеграла Римана-Лиувилля. Представлено применение r-гипергеометрических функций в теории интегральных уравнений. Решены интегральные уравнения Вольтерра первого рода с r-гипергеометрическими функциями в ядре. Решение этих интегральных уравнений получено в замкнутой форме при помощи аппарата теории дробного интегро-дифференцирования

Mechanical properties during healing of Achilles tendon ruptures to predict final outcome: A pilot Roentgen stereophotogrammetric analysis in 10 patients

<p>Abstract</p> <p>Background</p> <p>There are presently few methods described for in vivo monitoring of the mechanics of healing human tendon ruptures, and no methods for prediction of clinical outcome. We tested if Roentgen stereophotogrammetric analysis (RSA) can be used to follow the restoration of mechanical properties during healing of ruptured Achilles tendons, and if early measurements can predict clinical results.</p> <p>Methods</p> <p>Achilles tendon repair was studied with RSA in 10 patients with a total rupture. Tantalum beads were implanted in conjunction with surgical repair. The patients were evaluated at 6, 12 and 18 weeks, and after 1 year. RSA was performed with two different mechanical loadings, and the strain induced by increasing load was measured. The transverse area was determined by ultrasound. CT scan at 12 weeks confirmed that the tantalum beads were located within the tendons. Functional testing was done after 1 year. A heel raise index was chosen as primary clinical outcome variable.</p> <p>Results</p> <p>The strain was median 0.90, 0.32 and 0.14 percent per 100 N tendon force at 6 weeks, 18 weeks and one year respectively. The error of measurement was 0.04 percent units at 18 weeks. There was a large variation between patients, which appears to reflect biological variation. From 6 to 18 weeks, there was a negative correlation between increase in transverse area and increase in material properties, suggesting that healing is regulated at the organ level, to maximize stiffness. Modulus of elasticity during this time correlated with a heel raise index at one year (Rho = 0.76; p = 0.02).</p> <p>Conclusion</p> <p>We conclude that the RSA method might have potential for comparing different treatments of Achilles tendon ruptures.</p

Pharmacological Correction of Stress-Induced Gastric Ulceration by Novel Small-Molecule Agents with Antioxidant Profile

This study was designed to determine novel small-molecule agents influencing the pathogenesis of gastric lesions induced by stress. To achieve this goal, four novel organic compounds containing structural fragments with known antioxidant activity were synthesized, characterized by physicochemical methods, and evaluated in vivo at water immersion restraint conditions. The levels of lipid peroxidation products and activities of antioxidative system enzymes were measured in gastric mucosa and correlated with the observed gastroprotective activity of the active compounds. Prophylactic single-dose 1 mg/kg treatment with (2-hydroxyphenyl)thioacetyl derivatives of L-lysine and L-proline efficiently decreases up to 86% stress-induced stomach ulceration in rats. Discovered small-molecule antiulcer agents modulate activities of gastric mucosa tissue superoxide dismutase, catalase, and xanthine oxidase in concerted directions. Gastroprotective effect of (2-hydroxyphenyl)thioacetyl derivatives of L-lysine and L-proline at least partially depends on the correction of gastric mucosa oxidative balance