Досліджено деякі нові властивості r-гіпергеометричних функцій, зокрема, доведені диференціальні співвідношення для функції rFτβ(a, b; c; z), співвідношення типу Куммера. Отримано інтегральне перетворення Мелліна для r-гіпергеометричної функції rFτβ(a, b; c; z), з класичною гіпергеометричною функцією Гаусса ₂F₁(a, b; c; z). Доведено формулу зображення r-гіпергеометричної функції rFτβ(a, b; c; z) у вигляді дробового інтеграла Рімана-Ліувілля. Подано застосування r-гіпергеометричних функцій до теорії інтегральних рівнянь. Розв’язано інтегральні рівняння Вольтерра першого роду з r-гіпергеометричною функцією в ядрі. Розв’язки цих інтегральних рівнянь отримано в загальній формі за допомогою апарату теорії дробового інтегро-диференціювання.Some new properties of the r-hypergeometric functions are investigated, in partial, the differential relations for the function rFτβ(a, b; c; z) are proved, and also the relation of the Kummer type is proved. The Mellin’ integral transform for the r-hypergeometric function rFτβ(a, b; c; z), is received. The connection of the r-hypergeometric function with the classic Gauss’ hypergeometric function ₂F₁(a, b; c; z) is established. The formula of the representation of the r-hypergeometric function rFτβ(a, b; c; z), in the kind of the Riemann-Liouville’ fractional integral is proved. Applications of the r-hypergeometric functions in the theory of an integral equations are given. Volterra’ integral equations of the first kind with r-hypergeometric function in the kernel are solved. The solutions of these integral equations in closed form by help of apparat of the theory of the fractional integro-differention are received.Исследованы некоторые новые свойства r-гипергеометрических функций, в частности, доказаны дифференциальные соотношения для функции rFτβ(a, b; c; z), соотношения типа Куммера. Получены интегральные преобразования Меллина для r-гипергеометрической функции rFτβ(a, b; c; z). Показана связь r-гипергеометрической функции rFτβ(a, b; c; z) с классической гипергеометрической функцией Гаусса ₂F₁(a, b; c; z). Доказана формула изображения r-гипергеометрической функции rFτβ(a, b; c; z) в виде дробного интеграла Римана-Лиувилля. Представлено применение r-гипергеометрических функций в теории интегральных уравнений. Решены интегральные уравнения Вольтерра первого рода с r-гипергеометрическими функциями в ядре. Решение этих интегральных уравнений получено в замкнутой форме при помощи аппарата теории дробного интегро-дифференцирования
