Способы нахождения точного числа предельных циклов автономных систем на цилиндре

For real autonomous systems of differential equations with continuously differentiable right-hand sides, the problem of detecting the exact number and localization of the second-kind limit cycles on the cylinder is considered. To solve this problem in the absence of equilibria of the system on the cylinder, we have developed our previously proposed ways consisting in a sequential two-step application of the Dulac – Cherkas test or the Dulac test. Additionally, a new way has been worked out using the generalization of the Dulac – Cherkas or Dulac test at the second step, where the requirement of constant sign for divergence is replaced by the transversality condition of the curves on which the divergence vanishes. With the help of the developed ways, closed transversal curves are found that divide the cylinder into subdomains surrounding it, in each of which the system has exactly one second-kind limit cycle.The practical efficiency of the mentioned ways is demonstrated by the example of a pendulum-type system, for which, in the absence of equilibria, the existence of exactly three second-kind limit cycles on the entire phase cylinder is proved.Для вещественных автономных систем дифференциальных уравнений с непрерывно дифференцируемыми правыми частями рассматривается задача нахождения точного числа и локализации предельных циклов второго рода на цилиндре. В случае отсутствия точек покоя системы на цилиндре для решения указанной задачи развиваются ранее предложенные нами способы, состоящие в последовательном двухшаговом применении признака Дюлака – Черкаса или признака Дюлака. Разработан также новый способ, использующий на втором шаге обобщение признака Дюлака – Черкаса или признака Дюлака, где требование знакопостоянности дивергенции заменяется условием трансверсальности кривых, на которых дивергенция обращается в нуль. С помощью разработанных способов находятся замкнутые трансверсальные кривые, разбивающие цилиндр на подобласти, окружающие его, в каждой из которых система имеет точно один предельный цикл второго рода.Практическая эффективность разработанного способа продемонстрирована на примере системы маятникового типа, для которой в случае отсутствия точек покоя доказано существование точно трех предельных циклов второго рода на всем фазовом цилиндре

Manganese Diffusion In Monocrystalline Germanium

The diffusion of a half monolayer of Mn deposited by molecular beam epitaxy on a Ge(0 0 1) substrate was studied via secondary ion mass spectrometry. Mn diffused in Ge under extrinsic conditions, exhibiting a solubility of 0.7-0.9%. All the Mn atoms were activated, occupying Ge substitutional sites and exhibiting a negative charge, in agreement with semiconductor doping theory. The diffusion mechanism being vacancy (V)-mediated, the formation of Mn-V pairs is suggested. Mn surface desorption occurred for temperatures \u3e600 °C. © 2012 Acta Materialia Inc. Published by Elsevier Ltd. All rights reserved

Manganese diffusion in monocrystalline germanium

International audienc