Self-gravity in thin discs and edge effects: an extension of Paczynski's approximation

As hydrostatic equilibrium of gaseous discs is partly governed by the gravity field, we have estimated the component caused by a vertically homogeneous disc, with a special attention for the outer regions where self-gravity classically appears. The accuracy of the integral formula is better than 1%, whatever the disc thickness, radial extension and radial density profile. At order zero, the field is even algebraic for thin discs and writes $- 4 \pi G \Sigma(R) f_{edge} (R)$ at disc surface, thereby correcting Paczynski's formula by a multiplying factor $f_{edge} \gtrsim 1/2$, which depends on the relative distance to the edges and the local disc thickness. For very centrally condensed discs however, this local contribution can be surpassed by action of mass stored in the inner regions, possibly resulting in $f_{edge} \gg 1$. A criterion setting the limit between these two regimes is derived. These result are robust in the sense that the details of vertical stratification are not critical. We briefly discuss how hydrostatic equilibrium is impacted. In particular, the disc flaring should not reverse in the self-gravitating region, which contradicts what is usually obtained from Paczynski's formula. This suggests that i) these outer regions are probably not fully shadowed by the inner ones (important when illuminated by a central star), and ii) the flared shape of discs does not firmly prove the absence or weakness of self-gravity.Comment: Accepted for publication in A&

Magnetized tori in the background of a deformed compact object

This paper studied the relativistic accretion thick disc model raised by a deformed compact object that slightly deviated from spherical up to the quadrupole moment by utilising $\rm q$-metric. This metric is the simplest asymptotically flat solution of Einstein's equation with quadrupole moment. This work aims to study the effects of quadrupole moments in combination with the parameters of the thick magnetised disc model via studying the properties of these equilibrium sequences of magnetised, non-self-gravitating discs in this space-time. We employed different angular momentum distributions and discussed the procedure of building this toroidal disc model based on a combination of approaches previously considered in the literature. We have shown the properties of this relativistic accretion disc model and its dependence on the initial parameters. Besides, this theoretical model can be served as the initial data for numerical simulations

Quasi-periodic oscillatory motion of particles orbiting a distorted deformed compact object

This work explores the dynamic properties of test particles surrounding a distorted, deformed compact object. The astrophysical motivation was to choose such background, which could constitute a more reasonable model of a real situation that arises in the vicinity of compact objects with the possibility of having parameters as the extra physical degrees of freedom. This can facilitate associating observational data with astrophysical systems. This work's main goal is to study the dynamic regime of motion and quasi-periodic oscillation in this background, depending on different parameters of the system. Also, we exercise the resonant phenomena of the radial and vertical oscillations at their observed quasi-periodic oscillations frequency ratio of 3:2

Gravité des systèmes verticalement homogènes : applications aux disques astrophysiques

Gravitation plays an important role in many fields in astrophysics: it appears in the cohesion and stability of bodies such as planets, stars, disks and galaxies. In the Universe, the formation of most astrophysical objects involves disk-like configurations by a main process: the gravitational collapse. The structure and the evolution of these disks (protoplanetary disks, circumplanetary disks...), are an important stage in the process of the formation of stars, planets or satellites. It is therefore fundamental to understand their physics and develop appropriate tools. I devoted my Ph.D. to the computation of the gravitational potential and field of astrophysical disks. Although Newton's force is known for long, the determination of self-gravitating interactions inside bodies remains a difficult task. Strong deviations to sphericity require more efforts. The main difficulty is to manage properly the hyperbolic divergence of the Green kernel 1/(r'-r). In this purpose, the theoretical approach is interesting as it can provide powerful formulae and new tools, which can also help to produce reference solutions. So, I have investigated new methods able to treat this question as rigorously as possible.In a first part, chapter 1 is devoted to the scientifc context and motivations. In the chapter 2 we derive the well known multipole expansion in spherical and cylindrical coordinates from the Poisson equation and Newton's equation. We show the limits of these two developments in the context of astrophysical disks. In chapter 3, we discuss the formalism based on elliptic integrals, its advantages and drawbacks, and we describe two methods which use this approach in the special case of axisymmetrical disks.In the second part, chapter 4 is about the discovery of an alternate formula for the Green kernel, which involves regilar function. To obtain this result, we assume that the disk is vertically homogeneous (i.e., the density varies only with the radius), and that it is axially symetric. In chapter 5, by using this new expression, we build an approximation for the potential in the special case of geometrically thin disks and rings, and another one for systems which are radially confined.In the third part, chapter 6 is devoted to the study of edge effects on the vertical component of the gravitational field caused by a thin disk. According to Paczynski's approximation, the field is a linear function of the surface density pacz78. This approximation is strictly valid only in the infinite slab model, while we are interested in a realistic disk. Close to the outer edges, where gravity decreases, Paczynski's approximation fails and must be corrected. By assuming again a density varying with the radius only, we have derived a new expression for the vertical component of gravitational field, which properly accounts of the presence of the edge of the disk. This is the main subject of the chapter 7. In the last part (chapter 8), we generalize the work by ansorg03, valid under axial symmetry only. Using a similar approach, we built an expression for the self-gravitating potential of cylindrical cells, which is not known in closed form yet. This expression is made of a single integral over the boundary of the cell. This result can be applied in hydrodynamical simulations, where disks are usually discretised into homogeneous cylindrical cells, each cell having its own density.A conclusion and a few perspectives end the thesis.La gravitation joue un rôle important dans de nombreux domaines de l'astrophysique : elle assure notamment la cohésion et la stabilité des planètes, des étoiles et des disques. Elle est aussi motrice dans le processus d'effondrement de structure et conduit, dès lors qu'un moment cinétique initial est significatif, à la formation d'un disque.Ma thèse est consacrée à l'étude des disques de gaz, et plus particulièrement à la description du potentiel et du champ de gravité qu'ils génèrent dans l'espace et sur eux-mêmes (l'auto-gravitation). Bien que la force de Newton soit connue depuis longtemps, la détermination des interactions auto-gravitantes reste difficile, en particulier lorsque l'on s'écarte significativement de la sphéricité. La principale difficulté tient dans la divergence hyperbolique du Noyau de Green 1/(r'-r) et nécessite un traitement propre. L'approche théorique est intéressante car elle fournit de nouveaux outils (techniques numériques, formules approchées, etc...) qui peuvent aider à produire des solutions de référence et à améliorer les simulations numériques.Dans une première partie, nous introduisons le sujet, les notions et les bases essentielles. Le chapitre 1 est consacré à une présentation succinte du contexte scientifique et aux motivations de notre travail. Dans le chapitre 2, nous reproduisons dans ces grandes lignes le cheminement conduisant au développement multipolaire, à partir de l'équation de Poisson et de la formule intégrale de Newton. Il s'agit de l'une des méthodes les plus classiques permettant d'obtenir le potentiel gravitationnel d'un corps. Les deux systèmes de coordonnées les plus utilisées sont mis en avant : sphériques et cylindriques. A travers quelques exemples, nous montrons les limites de cette approche, en particulier dans le cas de l'auto-gravité des disques.Dans une deuxième partie, nous abordons le vif du sujet. Le chapitre 3 présente l'approche basée sur les intégrales elliptiques que nous retrouverons dans l'ensemble du manuscrit (cas général d'abord, puis cas axi-symétrique). Dans le chapitre 4, nous établissons un premier résultat concernant le noyau de Green dans des systèmes axi-symétriques et verticalement homogènes : une forme alternative et régulière du noyau, quelque soit le point de l'espace. Nous avons exploité cette nouvelle formule pour déduire une bonne approximation du potentiel des disques géométriquement minces, des anneaux et des systèmes faiblement étendus en rayon. Ceci fait l'objet du chapitre 5.Dans une troisième partie, nous étudions les effets de bords sur la composante verticale du champ de gravité, gz, causés par un disque mince axi-symétrique. Le chapitre 6 est dédié à l'approximation de Paczynski pacz78, qui permet traditionnellement d'exprimer le champ comme une fonction linéaire de la densité de surface locale. Cette approximation n'est en fait strictement valide que dans le cas du modèle du "plan infini", loin d'un disque réaliste. Près du bord externe des disques où la gravité décroit, l'approximation de Paczynski s'avère assez imprécise (facteur 2 typiquement), et ne donne pas de bons résultats et doit être corrigée. Toujours dans l'hypothèse d'une homogénéité verticale de la densité, nous avons construit une expression pour gz qui tient compte de ces effets de bords. Le chapitre 7 est consacré à ce résultat.Dans une dernière partie, nous relâchons l'hypothèse de symétrie axiale (le disque est discrétisé en cellules cylindriques homogènes). Nous nous sommes inspirés du travail d'ansorg03 afin d'exprimer, via le théorème de Green, le potentiel d'une cellule cylindrique homogène par une intégrale de contour. Ce résultat s'applique directement aux simulations de disques, où ceux-ci sont découpés en cellules cylindriques, chacune ayant sa propre densité.Une conclusion et quelques perspectives sont données en fin de manuscrit

Relativistic and Newtonian fluid tori with electric charge

We discuss the effects of electric charging on the equilibrium configurations of magnetized, rotating fluid tori around black holes of different mass. In the context of gaseous/dusty tori in galactic nuclei, the central black hole dominates the gravitational field and it remains electrically neutral, while the surrounding material acquires some electric charge and exhibits non-negligible self-gravitational effect on the torus structure. The structure of the torus is influenced by the balance between the gravitational and electromagnetic forces. A cusp may develop even in Newtonian tori due to the charge distribution.Comment: 5 pages, 1 figure; to appear in Proceedings of the 15th Marcel Grossman Meeting on General Relativity - the session AC3 on "Accretion Discs and Jets" by Eva Hackmann & Audrey Trova (Rome, 1-7 July 2018), edited by Elia Battistelli, Robert T. Jantzen, and Remo Ruffini, in preparatio

Gravity of vertically homogeneous systems : application to astrophysical disks

La gravitation joue un rôle important dans de nombreux domaines de l'astrophysique : elle assure notamment la cohésion et la stabilité des planètes, des étoiles et des disques. Elle est aussi motrice dans le processus d'effondrement de structure et conduit, dès lors qu'un moment cinétique initial est significatif, à la formation d'un disque.Ma thèse est consacrée à l'étude des disques de gaz, et plus particulièrement à la description du potentiel et du champ de gravité qu'ils génèrent dans l'espace et sur eux-mêmes (l'auto-gravitation). Bien que la force de Newton soit connue depuis longtemps, la détermination des interactions auto-gravitantes reste difficile, en particulier lorsque l'on s'écarte significativement de la sphéricité. La principale difficulté tient dans la divergence hyperbolique du Noyau de Green 1/(r'-r) et nécessite un traitement propre. L'approche théorique est intéressante car elle fournit de nouveaux outils (techniques numériques, formules approchées, etc...) qui peuvent aider à produire des solutions de référence et à améliorer les simulations numériques.Dans une première partie, nous introduisons le sujet, les notions et les bases essentielles. Le chapitre 1 est consacré à une présentation succinte du contexte scientifique et aux motivations de notre travail. Dans le chapitre 2, nous reproduisons dans ces grandes lignes le cheminement conduisant au développement multipolaire, à partir de l'équation de Poisson et de la formule intégrale de Newton. Il s'agit de l'une des méthodes les plus classiques permettant d'obtenir le potentiel gravitationnel d'un corps. Les deux systèmes de coordonnées les plus utilisées sont mis en avant : sphériques et cylindriques. A travers quelques exemples, nous montrons les limites de cette approche, en particulier dans le cas de l'auto-gravité des disques.Dans une deuxième partie, nous abordons le vif du sujet. Le chapitre 3 présente l'approche basée sur les intégrales elliptiques que nous retrouverons dans l'ensemble du manuscrit (cas général d'abord, puis cas axi-symétrique). Dans le chapitre 4, nous établissons un premier résultat concernant le noyau de Green dans des systèmes axi-symétriques et verticalement homogènes : une forme alternative et régulière du noyau, quelque soit le point de l'espace. Nous avons exploité cette nouvelle formule pour déduire une bonne approximation du potentiel des disques géométriquement minces, des anneaux et des systèmes faiblement étendus en rayon. Ceci fait l'objet du chapitre 5.Dans une troisième partie, nous étudions les effets de bords sur la composante verticale du champ de gravité, gz, causés par un disque mince axi-symétrique. Le chapitre 6 est dédié à l'approximation de Paczynski pacz78, qui permet traditionnellement d'exprimer le champ comme une fonction linéaire de la densité de surface locale. Cette approximation n'est en fait strictement valide que dans le cas du modèle du "plan infini", loin d'un disque réaliste. Près du bord externe des disques où la gravité décroit, l'approximation de Paczynski s'avère assez imprécise (facteur 2 typiquement), et ne donne pas de bons résultats et doit être corrigée. Toujours dans l'hypothèse d'une homogénéité verticale de la densité, nous avons construit une expression pour gz qui tient compte de ces effets de bords. Le chapitre 7 est consacré à ce résultat.Dans une dernière partie, nous relâchons l'hypothèse de symétrie axiale (le disque est discrétisé en cellules cylindriques homogènes). Nous nous sommes inspirés du travail d'ansorg03 afin d'exprimer, via le théorème de Green, le potentiel d'une cellule cylindrique homogène par une intégrale de contour. Ce résultat s'applique directement aux simulations de disques, où ceux-ci sont découpés en cellules cylindriques, chacune ayant sa propre densité.Une conclusion et quelques perspectives sont données en fin de manuscrit.Gravitation plays an important role in many fields in astrophysics: it appears in the cohesion and stability of bodies such as planets, stars, disks and galaxies. In the Universe, the formation of most astrophysical objects involves disk-like configurations by a main process: the gravitational collapse. The structure and the evolution of these disks (protoplanetary disks, circumplanetary disks...), are an important stage in the process of the formation of stars, planets or satellites. It is therefore fundamental to understand their physics and develop appropriate tools. I devoted my Ph.D. to the computation of the gravitational potential and field of astrophysical disks. Although Newton's force is known for long, the determination of self-gravitating interactions inside bodies remains a difficult task. Strong deviations to sphericity require more efforts. The main difficulty is to manage properly the hyperbolic divergence of the Green kernel 1/(r'-r). In this purpose, the theoretical approach is interesting as it can provide powerful formulae and new tools, which can also help to produce reference solutions. So, I have investigated new methods able to treat this question as rigorously as possible.In a first part, chapter 1 is devoted to the scientifc context and motivations. In the chapter 2 we derive the well known multipole expansion in spherical and cylindrical coordinates from the Poisson equation and Newton's equation. We show the limits of these two developments in the context of astrophysical disks. In chapter 3, we discuss the formalism based on elliptic integrals, its advantages and drawbacks, and we describe two methods which use this approach in the special case of axisymmetrical disks.In the second part, chapter 4 is about the discovery of an alternate formula for the Green kernel, which involves regilar function. To obtain this result, we assume that the disk is vertically homogeneous (i.e., the density varies only with the radius), and that it is axially symetric. In chapter 5, by using this new expression, we build an approximation for the potential in the special case of geometrically thin disks and rings, and another one for systems which are radially confined.In the third part, chapter 6 is devoted to the study of edge effects on the vertical component of the gravitational field caused by a thin disk. According to Paczynski's approximation, the field is a linear function of the surface density pacz78. This approximation is strictly valid only in the infinite slab model, while we are interested in a realistic disk. Close to the outer edges, where gravity decreases, Paczynski's approximation fails and must be corrected. By assuming again a density varying with the radius only, we have derived a new expression for the vertical component of gravitational field, which properly accounts of the presence of the edge of the disk. This is the main subject of the chapter 7. In the last part (chapter 8), we generalize the work by ansorg03, valid under axial symmetry only. Using a similar approach, we built an expression for the self-gravitating potential of cylindrical cells, which is not known in closed form yet. This expression is made of a single integral over the boundary of the cell. This result can be applied in hydrodynamical simulations, where disks are usually discretised into homogeneous cylindrical cells, each cell having its own density.A conclusion and a few perspectives end the thesis

Gravity of vertically homogeneous systems : application to astrophysical disks

La gravitation joue un rôle important dans de nombreux domaines de l'astrophysique : elle assure notamment la cohésion et la stabilité des planètes, des étoiles et des disques. Elle est aussi motrice dans le processus d'effondrement de structure et conduit, dès lors qu'un moment cinétique initial est significatif, à la formation d'un disque.Ma thèse est consacrée à l'étude des disques de gaz, et plus particulièrement à la description du potentiel et du champ de gravité qu'ils génèrent dans l'espace et sur eux-mêmes (l'auto-gravitation). Bien que la force de Newton soit connue depuis longtemps, la détermination des interactions auto-gravitantes reste difficile, en particulier lorsque l'on s'écarte significativement de la sphéricité. La principale difficulté tient dans la divergence hyperbolique du Noyau de Green 1/(r'-r) et nécessite un traitement propre. L'approche théorique est intéressante car elle fournit de nouveaux outils (techniques numériques, formules approchées, etc...) qui peuvent aider à produire des solutions de référence et à améliorer les simulations numériques.Dans une première partie, nous introduisons le sujet, les notions et les bases essentielles. Le chapitre 1 est consacré à une présentation succinte du contexte scientifique et aux motivations de notre travail. Dans le chapitre 2, nous reproduisons dans ces grandes lignes le cheminement conduisant au développement multipolaire, à partir de l'équation de Poisson et de la formule intégrale de Newton. Il s'agit de l'une des méthodes les plus classiques permettant d'obtenir le potentiel gravitationnel d'un corps. Les deux systèmes de coordonnées les plus utilisées sont mis en avant : sphériques et cylindriques. A travers quelques exemples, nous montrons les limites de cette approche, en particulier dans le cas de l'auto-gravité des disques.Dans une deuxième partie, nous abordons le vif du sujet. Le chapitre 3 présente l'approche basée sur les intégrales elliptiques que nous retrouverons dans l'ensemble du manuscrit (cas général d'abord, puis cas axi-symétrique). Dans le chapitre 4, nous établissons un premier résultat concernant le noyau de Green dans des systèmes axi-symétriques et verticalement homogènes : une forme alternative et régulière du noyau, quelque soit le point de l'espace. Nous avons exploité cette nouvelle formule pour déduire une bonne approximation du potentiel des disques géométriquement minces, des anneaux et des systèmes faiblement étendus en rayon. Ceci fait l'objet du chapitre 5.Dans une troisième partie, nous étudions les effets de bords sur la composante verticale du champ de gravité, gz, causés par un disque mince axi-symétrique. Le chapitre 6 est dédié à l'approximation de Paczynski pacz78, qui permet traditionnellement d'exprimer le champ comme une fonction linéaire de la densité de surface locale. Cette approximation n'est en fait strictement valide que dans le cas du modèle du "plan infini", loin d'un disque réaliste. Près du bord externe des disques où la gravité décroit, l'approximation de Paczynski s'avère assez imprécise (facteur 2 typiquement), et ne donne pas de bons résultats et doit être corrigée. Toujours dans l'hypothèse d'une homogénéité verticale de la densité, nous avons construit une expression pour gz qui tient compte de ces effets de bords. Le chapitre 7 est consacré à ce résultat.Dans une dernière partie, nous relâchons l'hypothèse de symétrie axiale (le disque est discrétisé en cellules cylindriques homogènes). Nous nous sommes inspirés du travail d'ansorg03 afin d'exprimer, via le théorème de Green, le potentiel d'une cellule cylindrique homogène par une intégrale de contour. Ce résultat s'applique directement aux simulations de disques, où ceux-ci sont découpés en cellules cylindriques, chacune ayant sa propre densité.Une conclusion et quelques perspectives sont données en fin de manuscrit.Gravitation plays an important role in many fields in astrophysics: it appears in the cohesion and stability of bodies such as planets, stars, disks and galaxies. In the Universe, the formation of most astrophysical objects involves disk-like configurations by a main process: the gravitational collapse. The structure and the evolution of these disks (protoplanetary disks, circumplanetary disks...), are an important stage in the process of the formation of stars, planets or satellites. It is therefore fundamental to understand their physics and develop appropriate tools. I devoted my Ph.D. to the computation of the gravitational potential and field of astrophysical disks. Although Newton's force is known for long, the determination of self-gravitating interactions inside bodies remains a difficult task. Strong deviations to sphericity require more efforts. The main difficulty is to manage properly the hyperbolic divergence of the Green kernel 1/(r'-r). In this purpose, the theoretical approach is interesting as it can provide powerful formulae and new tools, which can also help to produce reference solutions. So, I have investigated new methods able to treat this question as rigorously as possible.In a first part, chapter 1 is devoted to the scientifc context and motivations. In the chapter 2 we derive the well known multipole expansion in spherical and cylindrical coordinates from the Poisson equation and Newton's equation. We show the limits of these two developments in the context of astrophysical disks. In chapter 3, we discuss the formalism based on elliptic integrals, its advantages and drawbacks, and we describe two methods which use this approach in the special case of axisymmetrical disks.In the second part, chapter 4 is about the discovery of an alternate formula for the Green kernel, which involves regilar function. To obtain this result, we assume that the disk is vertically homogeneous (i.e., the density varies only with the radius), and that it is axially symetric. In chapter 5, by using this new expression, we build an approximation for the potential in the special case of geometrically thin disks and rings, and another one for systems which are radially confined.In the third part, chapter 6 is devoted to the study of edge effects on the vertical component of the gravitational field caused by a thin disk. According to Paczynski's approximation, the field is a linear function of the surface density pacz78. This approximation is strictly valid only in the infinite slab model, while we are interested in a realistic disk. Close to the outer edges, where gravity decreases, Paczynski's approximation fails and must be corrected. By assuming again a density varying with the radius only, we have derived a new expression for the vertical component of gravitational field, which properly accounts of the presence of the edge of the disk. This is the main subject of the chapter 7. In the last part (chapter 8), we generalize the work by ansorg03, valid under axial symmetry only. Using a similar approach, we built an expression for the self-gravitating potential of cylindrical cells, which is not known in closed form yet. This expression is made of a single integral over the boundary of the cell. This result can be applied in hydrodynamical simulations, where disks are usually discretised into homogeneous cylindrical cells, each cell having its own density.A conclusion and a few perspectives end the thesis