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Estudio de las transformadas integrales como metodo de resoluci贸n de ecuaciones diferenciales fraccionarias y sus aplicaciones
En este trabajo se estudi贸 las transformadas integrales de Laplace, Fourier y Mellin como m茅todo de
resoluci贸n de ecuaciones diferenciales fraccionarias. Las t茅cnicas implementadas tienen como bases
las definiciones dadas en 2.13, 5 y 2.2.7 mediante las cuales fue posible extender las transformadas
integrales definidas en el an麓alisis cl麓asicos a su versi贸n fraccionaria. Mediante las transformadas
integrales fue posible extender problemas de condici麓on inicial primeramente definidos para ordenes
de derivaci贸n e integraci贸n enteros a ordenes arbitrarios. Este hecho resulta de gran inter茅s y谩
permite obtener una perspectiva global de la evoluci麓on de las soluciones hasta alcanzar los valores
dados en el an谩lisis cl谩sicos.In this work we studied the integral transformations of Laplace, Fourier and Mellin as a method of
solving fractional differential equations. The implemented techniques are based on the definitions
given in 2.13, 5 and 2.2.7, by which it was possible to extend the integral transformations defined
in the classical analysis to their fractional version. Through integral transformations it was possible
to extend initial condition problems initially defined for integer derivation and integration orders
to arbitrary orders. This fact is of great interest since it allows to obtain a global perspective of
the evolution of the solutions until reaching the values given in the classical analysis.Maestr铆aMag铆ster en Ense帽anza de las Matem谩ticas脥ndice general
1. Introducci贸n 7
1.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Justificaci贸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1. General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2. Espec铆ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Marco te贸rico y Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Metodolog铆a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. Generalidades del C谩lculo Fraccionario 12
2.1. Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1. El Factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2. Funci贸n Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3. Funci贸n Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.4. Funci贸n de Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Integral y derivada Fraccionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1. Funciones Medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2. Integral Fraccionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3. Integral de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.4. Integral de Riemann-Liouville en el semieje R
+ . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.5. Derivada de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5
2.2.6. Derivada de Riemann-Liouville en el semieje R
+ . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.7. Derivada de Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.8. Ecuaci贸n Diferencial Ordinaria Fraccionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3. Transformadas de Laplace, Fourier, Mellin y su relaci贸n con el an谩lisis
fraccionario. 47
3.0.1. Transformada de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.0.2. Transformada de Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.0.3. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4. Aplicaciones de los operadores fraccionarios 68
4.0.1. Reacci贸n Qu麓谋mica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.0.2. Velocidad de Reacci贸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.0.3. Ecuaciones, ordenes y constantes de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.0.4. Ecuaciones qu铆micas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.0.5. Tiempo de vida media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.0.6. Ecuaciones qu铆micas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.0.7. Ley de la Din谩mica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.0.8. Ecuaci贸n de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.0.9. Ecuaci贸n de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5. Conclusiones 83
5.1. Sugerencias y recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8