Estudio de las transformadas integrales como metodo de resolución de ecuaciones diferenciales fraccionarias y sus aplicaciones

Abstract

En este trabajo se estudió las transformadas integrales de Laplace, Fourier y Mellin como método de resolución de ecuaciones diferenciales fraccionarias. Las técnicas implementadas tienen como bases las definiciones dadas en 2.13, 5 y 2.2.7 mediante las cuales fue posible extender las transformadas integrales definidas en el an´alisis cl´asicos a su versión fraccionaria. Mediante las transformadas integrales fue posible extender problemas de condici´on inicial primeramente definidos para ordenes de derivación e integración enteros a ordenes arbitrarios. Este hecho resulta de gran interés yá permite obtener una perspectiva global de la evoluci´on de las soluciones hasta alcanzar los valores dados en el análisis clásicos.In this work we studied the integral transformations of Laplace, Fourier and Mellin as a method of solving fractional differential equations. The implemented techniques are based on the definitions given in 2.13, 5 and 2.2.7, by which it was possible to extend the integral transformations defined in the classical analysis to their fractional version. Through integral transformations it was possible to extend initial condition problems initially defined for integer derivation and integration orders to arbitrary orders. This fact is of great interest since it allows to obtain a global perspective of the evolution of the solutions until reaching the values given in the classical analysis.MaestríaMagíster en Enseñanza de las MatemáticasÍndice general 1. Introducción 7 1.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1. General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2. Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Marco teórico y Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2. Generalidades del Cálculo Fraccionario 12 2.1. Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.1. El Factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.2. Función Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.3. Función Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.4. Función de Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Integral y derivada Fraccionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1. Funciones Medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.2. Integral Fraccionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.3. Integral de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.4. Integral de Riemann-Liouville en el semieje R + . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.5. Derivada de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5 2.2.6. Derivada de Riemann-Liouville en el semieje R + . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.7. Derivada de Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.8. Ecuación Diferencial Ordinaria Fraccionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3. Transformadas de Laplace, Fourier, Mellin y su relación con el análisis fraccionario. 47 3.0.1. Transformada de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.0.2. Transformada de Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.0.3. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4. Aplicaciones de los operadores fraccionarios 68 4.0.1. Reacción Qu´ımica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.0.2. Velocidad de Reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.0.3. Ecuaciones, ordenes y constantes de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.0.4. Ecuaciones químicas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.0.5. Tiempo de vida media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.0.6. Ecuaciones químicas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.0.7. Ley de la Dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.0.8. Ecuación de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.0.9. Ecuación de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5. Conclusiones 83 5.1. Sugerencias y recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8