Fraktálok és valószínűségszámítás = Fractals and probability

Az OTKA pályázatunk keretében folytatott kutatásaink eddig 13 cikkben jelentek meg. További eredményeink publikálása folyamatban van. Legfontosabb eredményeink a következő cím szavakban írhatók le: 1. Determinisztikus iterált függvényrendszerek (IFS) véletlen perturbációi. 2. Véletlen Cantor halmazok algebrai különbsége. 3. Sztochasztikus integrálás véletlen sétával. 4. Átlagosan összehúzó IFS-ek. 5. Hausdorff dimenzió hiperbolikus attraktorokra. 6. Véletlen összegek eloszlásának abszolút folytonossága. 7. Különböző valószínűséggel megkonstruált Bernoulli konvolúciók abszolút folytonossága. 8. Internet forgalom modellezése multifractal analízissel. | The results we have accomplisehed during our project have been published in 13 research papers. The publication of some of our further results are in process. Our most important achievments are related to the following fields: 1. Random perturbation of deterministic IFS (iterated function systems). 2. Algebraic difference of random Cantor sets. 3. Stochastic integrals Stochastic Integration Based on Simple, Symmetric RandomWalks. 4. IFS that are contracting on average. 5. Hausdorff dimension for hyperbolic attractors. 6. Absolute continuity of the distribution of random sums. 7. Absolute continuity of Bernoulli convolutions with different probabilities. 8. A random multifractal model with a given spectrum for modelling internet trafic

Hiperbolikus dinamikai rendszerek: attraktorok és korreláció lecsengés. = Hyperbolic dynamical systems: attractors and correlation decay.

A team kivételesen eredményes munkát végzett a periódus során. Young (Annals of Mathematics, 1998) síkbeli szóró biliárdokra vonatkozó torony konstrukciójának többdimenzióra való kiterjesztésével már 1998-tól foglalkoztunk. Bálint és Tóth friss és gondolatgazdag eredménye az első áttörés. Szász és Varjú a síkbeli konstrukciót alkalmazzák a Brown mozgás dinamikai elméletének modelljeire, nevezetesen a Lorentz folyamat sztochasztikájára. Véges, sőt végtelen horizont esetén is igazoltak lokális határeloszlástételeket, és rekurrenciát. Utóbbi esetben már globális határeloszlástételük is Bleher nevezetes, 1992-es sejtésének első szigorú bizonyítása. Dolgopyattal közös eredményeik Erdős-Taylor ill. Darling-Kac bolyongásokra vonatkozó tételeinek kiterjesztései periódikus Lorentz folyamatra, ezekkel Sinai 1981-es mély sejtésére szellemes és technikás bizonyítást adnak. Solomyak (Annals of Mathematics, 1995) végtelen Bernoulli konvolúciók abszolút folytonosságára vonatkozó, áttörést jelentő cikkét általánosította Tóth és Simon, majd Tóth. Solomyak eredménye olyan mértékek egy paraméteres családjára bizonyított abszolút folytonosságot, melyek stacionáriusak az egyenesen értelmezett IFS-ek egy paraméteres családjára. Ezen IFS-ek két lineáris -1/2-nél nagyobb - rátájú kontrakcióból állnak és azonos valószínűséggel alkalmazzuk mind két függvényt. Simon és Tóth ezt a tételt kiterjesztette tetszőlegesen sok függvényre és Tóth részeredményeket ért el a különböző kontrakciók esetén. | The team had an exceptionally successfull research period. We started the work on the multidimensional extension of Young's tower construction for planar dispersing billiards, published in 1998 in Annals of Mathematics. The fresh result of Bálint and Tóth, rich in ideas, is the first breakthrough here. Szász and Varjú applied the planar construction to dynamical models of Brownian motion: to stochastic properties of the planar Lorentz process. They obtained local limit theorems, and recurrence as well, in case of finite and even infinite horizon. In the latter case their - weaker - global limit theorem in itself provides the first rigorous verification of Bleher's 1992 conjecture. Their results, joint with Dolgopyat, extend classical results for random walks of Erdős-Taylor and of Darling-Kac to the periodic Lorentz process, which made it possible for them to give a technical and witty proof for Sinai's 1981 deep conjecture. Simon and Tóth (2006) and Tóth (2008) generalized a breakthrough result of Solomyak (Annals of Mathematics 1995). Solomyak considered a one parameter family of Iterated Function System (IFS) that consists of two linear contractions with the same (> 1/2) ratio of contraction which are applied with the same probability. Simon and Tóth generalized this result for arbitrary (but finite) number of contractions. Tóth obtained partial results about the generalization of the Solomyak's theorem for different probabilities