A nonintrusive method to approximate linear systems with nonlinear parameter dependence

We consider a family of linear systems $A_\mu \alpha=C$ with system matrix $A_\mu$ depending on a parameter $\mu$ and for simplicity parameter-independent right-hand side $C$. These linear systems typically result from the finite-dimensional approximation of a parameter-dependent boundary-value problem. We derive a procedure based on the Empirical Interpolation Method to obtain a separated representation of the system matrix in the form $A_\mu\approx\sum_{m}\beta_m(\mu)A_{\mu_m}$ for some selected values of the parameter. Such a separated representation is in particular useful in the Reduced Basis Method. The procedure is called nonintrusive since it only requires to access the matrices $A_{\mu_m}$. As such, it offers a crucial advantage over existing approaches that instead derive separated representations requiring to enter the code at the level of assembly. Numerical examples illustrate the performance of our new procedure on a simple one-dimensional boundary-value problem and on three-dimensional acoustic scattering problems solved by a boundary element method.Comment: 17 pages, 9 figure

H-Matrix Solver Applied to Coupled FEM-BEM Aeroacoustics Simulations

International audienc

Équation des Ondes en Acoustique : Accélération des Potentiels Retardés par la Méthode Multipôle Temporelle

Dans ce rapport, nous présentons l'extension au domaine temporel de la méthode multipôle rapide largement utilisée dans le domaine fréquentiel pour les équations intégrales. On cherche à résoudre l'équation des ondes en acoustique dans le domaine temporel à l'aide d'une formulation intégrale s'appuyant sur un maillage surfacique de l'objet diffractant. On utilise la méthode dite des potentiels retardés qui est connue pour être précise, inconditionnellement stable, mais assez coûteuse. La méthode multipôle rapide temporelle se propose d'accélérer cette formulation par des techniques s'inspirant de la FMM fréquentielle

Time-Domain BEM for the Wave Equation on Distributed-Heterogenous Architectures : a Blocking Approach

The problem of time-domain BEM for the wave equation in acoustics and electromagnetism can be expressed as a sparse linear system composed of multiple interaction/convolution matrices. It can be solved using sparse matrix-vector products which are inefficient to achieve high Flop-rate whether on CPU or GPU. In this paper we extend the approach proposed in a previous work~\cite{bib:bramas} in which we re-order the computation to get a special matrices structure with one dense vector per row. This new structure is called a slice matrix and is computed with a custom matrix/vector product operator. In this study we present an optimized implementations of this operator on Nvidia GPU based on two blocking strategies. We explain how we can obtain multiple block-values from a slice and how these ones can be computed efficiently on GPU. We target heterogeneous nodes composed of CPU and GPU. In order to deal with the different efficiencies of the processing units we use a greedy heuristic that dynamically balances the work among the workers. We demonstrate the performance of our system by studying the quality of the balancing heuristic and the sequential Flop-rate of the blocked implementations. Finally, we validate our implementation with an industrial test case on 8 heterogeneous nodes each composed of 12 CPU and 3 GPU

Une comparaison de solveurs choisis pour la résolution de systèmes linéaires couplés FEM/BEM résultant de la discrétisation de problèmes aéroacoustiques: un environnement expérimental reproductible par programmation lettrée

This is an accompanying technical report for the A comparison of selected solvers for coupled FEM/BEM linear systems arising from discretization of aeroacoustic problems Inria research report N° 9412. Based on the principles of literate programming, this technical report aims at providing detailed guidelines for reproducing the experiments of that research report. We use Org mode for literate programming and GNU Guix for software environment reproducibility. Note that part of the software involved is proprietary.Ce document représente un rapport technique complémentaire au rapport de recherche Inria Une comparaison de solveurs choisis pour la résolution de systèmes linéaires couplés FEM/BEM résultant de la discrétisation de problèmes aéroacoustiques portant le numéro 9412. Basé sur les principes de la programmation lettrée, ce rapport technique vise à fournir des indications détaillées pour reproduire les expérimentations du rapport de recherche. Nous utilisons Org mode pour faire de la programmation lettrée et GNU Guix pour assurer la reproducibilité de l'environement logiciel expérimental. Notons que certains logiciels sont propriétaires

Une comparaison de solveurs choisis pour la résolution de systèmes linéaires couplés FEM/BEM résultant de la discrétisation de problèmes aéroacoustiques

When discretization of an aeroacoustic physical model is based on the application of both the Finite Elements Method (FEM) and the Boundary Elements Method (BEM), this leads to coupled FEM/BEM linear systems combining sparse and dense parts. In this preliminary study, we compare a set of sparse and dense solvers applied on the solution of such type of linear systems with the aim to identify the best performing configurations of existing solvers.Lorsque la discrétisation d'un modèle aéroacoustique repose sur l'application d'à la fois la méthodes des éléments fini (FEM) et de la méthode des éléments finis de frontière (BEM), celle-ci conduit à des systèmes linéaires couplés FEM/BEM ayant des parties creuses ainsi que des parties denses. Dans cette étude préliminaire, nous faisons la comparaison d'un ensemble de solveurs creux et denses appliqués à la résolution de ce type de systèmes linéaires dans le but d'identifier les configurations les plus performantes des solveurs existants

Comparison of coupled solvers for FEM/BEM linear systems arising from discretization of aeroacoustic problems

National audienceWhen discretization of an aeroacoustic physical model is based on the application of both the Finite Elements Method (FEM) and the Boundary Elements Method (BEM), this leads to coupled FEM/BEM linear systems combining sparse and dense parts. In this work, we propose and compare a set of implementation schemes relying on the coupling of the open-source sparse direct solver MUMPS with the proprietary direct solvers from Airbus Central R&T, i.e. the scalapack-like dense solver SPIDO and the hierarchical H-matrix compressed solver HMAT. For this preliminary study, we limit ourselves to a single 24-core computational node

Application de la compression de rang faible à la solution directe de grands systèmes linéaires couplés creux et denses sur un nœud de calcul multi-cœur dans un contexte industriel

While hierarchically low-rank compression methods are now commonly available in both dense and sparse direct solvers, their usage for the direct solution of coupled sparse/dense linear systems has been little investigated. The solution of such systems is though central for the simulation of many important physics problems such as the simulation of the propagation of acoustic waves around aircrafts. Indeed, the heterogeneity of the jet flow created by reactors often requires a Finite Element Method (FEM) discretization, leading to a sparse linear system, while it may be reasonable to assume as homogeneous the rest of the space and hence model it with a Boundary Element Method (BEM) discretization, leading to a dense system. In an industrial context, these simulations are often operated on modern multicore workstations with fully-featured linear solvers. Exploiting their low-rank compression techniques is thus very appealing for solving larger coupled sparse/dense systems (hence ensuring a finer solution) on a given multicore workstation, and – of course – possibly do it fast. The standard method performing an efficient coupling of sparse and dense direct solvers is to rely on the Schur complement functionality of the sparse direct solver. However, to the best of our knowledge, modern fully-featured sparse direct solvers offering this functionality return the Schur complement as a non compressed matrix. In this paper, we study the opportunity to process larger systems in spite of this constraint. For that we propose two classes of algorithms, namely multi-solve and multi-factorization, consisting in composing existing parallel sparse and dense methods on well chosen submatrices. An experimental study conducted on a 24 cores machine equipped with 128 GiB of RAM shows that these algorithms, implemented on top of state-of-the-art sparse and dense direct solvers, together with proper low-rank assembly schemes, can respectively process systems of 9 million and 2.5 million total unknowns instead of 1.3 million unknowns with a standard coupling of compressed sparse and dense solvers.Bien que des méthodes basées sur la compression de rang faible hiérarchique soient de nos jours généralement fournies dans des solveurs direct denses et creux, leur utilisation pour la solution directe des systèmes linéaires couplés creux/denses n'a été que peu explorée. Résoudre ce type de systèmes est pourtant une étape centrale dans la simulation de nombreux problèmes en physique tels que la propagation des ondes acoustiques autour des avions. En effet, la hétérogénéité du flux d'air généré par des réacteurs nécessite souvent une discrétisation avec la méthode des éléments finis (FEM) conduisant à un système linéaire creux tandis que le reste de l'espace peut être raisonnablement considéré comme homogène et donc modélisé avec la méthode des éléments finis de frontière (BEM) conduisant à un système dense. Dans un contexte industriel, ces simulations sont souvent effectuées sur des machines modernes multi-cœurs en utilisant des solveurs avancés. Il y a donc une forte motivation pour exploiter leurs techniques de compression de rang faible pour la solution des systèmes couplés creux/denses plus grands (conduisant à des modèles plus précis) sur une machine multi-cœur donnée et - bien sûr - le faire de façon efficace. La méthode standard pour effectuer un couplage d'un solveur direct creux avec un solveur direct dense est de se baser sur la fonctionnalité de complément de Schur du solveur direct creux. Cependant, à notre connaissance, les solveurs modernes avancés proposant cette fonctionnalité retournent le complément de Schur dans une matrice dense non compressée. Dans cet article, nous étudions la possibilité de traiter des systèmes plus grands en dépit de cette contrainte. Pour cela, nous proposons deux classes d'algorithmes, c'est-à-dire « multi-solve » et « multi-factorization », qui consistent en la combinaison des méthodes parallèles creuses et denses existantes sur des matrices bien choisies. Une étude expérimentale, conduite sur une machine à 24 cœurs équipée de 128 Go de RAM, montre que ces algorithmes, implémentés par-dessus des solveurs directs creux et denses de l'état de l'art et grâce à un bon assemblage de schémas de compression de rang faible, peuvent traiter des systèmes avec respectivement 9 millions et 2,5 millions d'inconnues au total au lieu de 1,3 millions d'inconnues avec un couplage standard de solveurs creux et denses compressés

Factorisation symbolique hiérarchique pour des matrices creuses

International audienc