Implementación del método LDG para mallas no estructuradas en 3D

This paper describes an implementation of the Local Discontinuous Galerkin method (LDG) applied to elliptic problems in 3D. The implementation of the major operators is discussed. In particular the use of higher-order approximations and unstructured meshes. Efficient data structures that allow fast assembly of the linear system in the mixed formulation are described in detail.Keywords: Discontinuous finite element methods, high-order approximations, unstructured meshes, object-oriented programming.Mathematics Subject Classification: 65K05, 65N30, 65N55.En este artículo se describe una implementación del método "Local Discontinuous Galerkin" (LDG) aplicado a problemas elípticos en 3D. Se discute la implementación de los principales operadores. En particular el uso de aproximaciones de alto orden y de mallas no estructuradas. Estructuras de datos eficientes que permiten un rápido ensamblado del sistema lineal en su formulación mixta son descritas en detalle.Palabras clave: Métodos de elemento finito discontinuos, aproximaciones de alto orden, mallas no estructuradas, programación orientada a objetos.Mathematics Subject Classification: 65K05, 65N30, 65N55

A Priori and a Posteriori Error Analyses of an Augmented HDG Method for a Class of Quasi-Newtonian Stokes Flows

In a recent work we developed a new hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) method for a class of nonlinear Stokes models arising in quasi-Newtonian fluids. The approach there uses the incompressibility condition to eliminate the pressure, sets the gradient of the velocity as an auxiliary unknown, and enriches the original formulation with convenient redundant equations, thus giving rise to an augmented scheme. However, the corresponding analysis, which makes use of a fixed point strategy that depends on a suitably chosen parameter, yields optimal rates of convergence for only two of the six resulting unknowns, whereas the reported numerical results, showing higher orders than predicted, support the conjecture that the a priori error estimates are not sharp. In the present paper, the main features of the aforementioned augmented formulation are maintained, but after introducing slight modifications of the finite element subspaces for the pseudostress and velocity, we are able to significantly improve our previous analyses and results. More precisely, on one hand we realize here that it suffices to choose the stabilization tensor as the identity times the meshsize, and hence neither fixed-point arguments nor related parameters are needed anymore to establish the well-posedness of the discrete scheme, and on the other hand we now prove optimally convergent approximations for all the unknowns. Furthermore, we develop a reliable and efficient residual-based a posteriori error estimator, and propose the associated adaptive algorithm for our HDG approximation of the nonlinear model problem. Finally, several numerical results illustrating the performance of the method, confirming the theoretical properties of the estimator, and showing the expected behaviour of the adaptive refinements, are presented. © 2016, Springer Science+Business Media New YorkEn un trabajo reciente, desarrollamos un nuevo método de Galerkin discontinuo hibridable (HDG) para una clase de modelos de Stokes no lineales que surgen en fluidos cuasi-newtonianos. El enfoque allí usa la condición de incompresibilidad para eliminar la presión, establece el gradiente de la velocidad como una incógnita auxiliar y enriquece la formulación original con ecuaciones redundantes convenientes, lo que da lugar a un esquema aumentado. Sin embargo, el análisis correspondiente, que hace uso de una estrategia de punto fijo que depende de un parámetro elegido adecuadamente, arroja tasas óptimas de convergencia para solo dos de las seis incógnitas resultantes, mientras que los resultados numéricos informados, que muestran órdenes más altos que los previstos, respaldan la conjetura que las estimaciones de error a priori no son nítidas. En el presente trabajo, se mantienen las características principales de la formulación aumentada antes mencionada, pero después de introducir ligeras modificaciones de los subespacios de elementos finitos para el pseudoesfuerzo y la velocidad, podemos mejorar significativamente nuestros análisis y resultados anteriores. Más precisamente, por un lado, nos damos cuenta aquí de que es suficiente elegir el tensor de estabilización como la identidad multiplicada por el tamaño de la malla y, por lo tanto, ya no se necesitan argumentos de punto fijo ni parámetros relacionados para establecer la buena postura del esquema discreto, y por otro lado por otro lado, ahora demostramos aproximaciones óptimamente convergentes para todas las incógnitas. Además, desarrollamos un estimador de error a posteriori confiable y eficiente basado en residuos, y proponemos el algoritmo adaptativo asociado para nuestra aproximación HDG del problema del modelo no lineal. Finalmente, se presentan varios resultados numéricos que ilustran el desempeño del método, confirman las propiedades teóricas del estimador y muestran el comportamiento esperado de los refinamientos adaptativos. © 2016, Springer Science+Business Media Nueva York.Universidad Nacional, Costa RicaEscuela de Matemática

A posteriori error analysis of a mixed virtual element method for a nonlinear Brinkman model of porous media flow

In this paper we present an a posteriori error analysis of a mixed-VEM discretization for a nonlinear Brinkman model of porous media flow, which has been proposed by the authors in a previous work. Therein, the system is formulated in terms of a pseudostress tensor and the velocity gradient, whereas the velocity and the pressure of the fluid are computed via postprocessing formulas. Furthermore, the well-posedness of the associated augmented formulation along with a priori error bounds for the discrete scheme also were established. We now propose reliable and efficient residualbased a posteriori error estimates for a computable approximation of the virtual solution associated to the aforementioned problem. The resulting error estimator is fully computable from the degrees of freedom of the solutions and applies on very general polygonal meshes. For the analysis we make use of a global inf–sup condition, Helmholtz decomposition, local approximation properties of interpolation operators and inverse inequalities together with localization arguments based on bubble functions. Finally, we provide some numerical results confirming the properties of our estimator and illustrating the good performance of the associated adaptive algorithmEn este artículo presentamos un análisis de error a posteriori de una discretización VEM mixta para un modelo de Brinkman no lineal de flujo de medios porosos, que ha sido propuesto por los autores en un trabajo anterior. Allí, el sistema se formula en términos de un tensor de pseudoesfuerzo y el gradiente de velocidad, mientras que la velocidad y la presión del fluido se calculan mediante fórmulas de posprocesamiento. Además, también se estableció la buena posición de la formulación aumentada asociada junto con los límites de error a priori para el esquema discreto. Proponemos ahora estimaciones de error a posteriori basadas en residuales confiables y eficientes para una aproximación computable de la solución virtual asociada al problema mencionado. El estimador de error resultante es totalmente calculable a partir de los grados de libertad de las soluciones y se aplica a mallas poligonales muy generales. Para el análisis utilizamos una condición inf-sup global, descomposición de Helmholtz, propiedades de aproximación local de operadores de interpolación y desigualdades inversas junto con argumentos de localización basados ​​en funciones de burbuja. Finalmente, proporcionamos algunos resultados numéricos que confirman las propiedades de nuestro estimador e ilustran el buen desempeño del algoritmo adaptativo asociado.Universidad de Concepción, ChileUniversidad Nacional, Costa RicaEscuela de Matemátic

A computational implementation of the Mixed-Vem method for the Brinkman problem in 2D

En este artículo se describen algunos aspectos específicos sobre una implementación computacional para la formulación mixta de elementos virtuales (mixed-VEM, por sus siglas en inglés) del problema lineal de Brinkman en dos dimensiones, con condiciones de frontera de Dirichlet no homogéneas. La formulación empleada fue originalmente propuesta y analizada en [18]. La implementación planteada aquí considera cualquier grado polinomial k ≥ 0 de manera natural al construir diversas matrices locales de bajo tamaño. Además, se propone un algoritmo para el ensamblaje del sistema lineal global asociado, que garantiza la continuidad de la componente normal en la solución discreta.In this paper we describe some specific aspects on the computational implementation of the a mixed virtual element method (mixed-VEM) for the two-dimensional linear Brinkman model with non-homogeneous Dirichlet boundary conditions. The formulation used below was originally proposed and analysed in [18]. The implementation presented here consider any polynomial degree k ≥ 0 in a natural way by building several local matrices of small size. In addition, an algorithm is proposed for the assembly of the associated global linear system, which guarantees the continuity of the normal component in the discrete solution.Universidad Nacional, Costa RicaEscuela de Matemátic

Aspectos computacionais do método de diferenças finitas para a equação de calor dependente do tempo

Escuela de Matemátic

A mixed virtual element method for the Brinkman problem

In this paper, we introduce and analyze a mixed virtual element method (mixed-VEM) for the two-dimensional Brinkman model of porous media flow with non-homogeneous Dirichlet boundary conditions. More precisely, we employ a dual-mixed formulation in which the only unknown is given by the pseudostress, whereas the velocity and pressure are computed via postprocessing formulae. We first recall the corresponding variational formulation, and then summarize the main mixed-VEM ingredients that are required for our discrete analysis. In particular, in order to define a calculable discrete bilinear form, whose continuous version involves deviatoric tensors, we propose two well-known alternatives for the local projector onto a suitable polynomial subspace, which allows the explicit integration of these terms. Next, we show that the global discrete bilinear form satisfies the hypotheses required by the Lax–Milgram lemma. In this way, we conclude the well-posedness of our mixed-VEM scheme and derive the associated a priori error estimates for the virtual solution as well as for the fully computable projection of it. Furthermore, we also introduce a second element-by-element postprocessing formula for the pseudostress, which yields an optimally convergent approximation of this unknown with respect to the broken ℍ(div)-norm. Finally, several numerical results illustrating the good performance of the method and confirming the theoretical rates of convergence are presented.En este artículo, presentamos y analizamos un método de elemento virtual mixto (VEM mixto) para el modelo bidimensional Brinkman de flujo de medios porosos con condiciones de contorno de Dirichlet no homogéneas. Más precisamente, empleamos una formulación de doble mezcla en la que el pseudoesfuerzo da lo único desconocido, mientras que la velocidad y la presión se calculan mediante fórmulas de postprocesamiento. Primero recordamos la formulación variacional correspondiente y luego resumimos los principales ingredientes mixtos de VEM que se requieren para nuestro análisis discreto. En particular, para definir una forma bilineal discreta calculable, cuya versión continua involucra tensores desviadores, proponemos dos alternativas bien conocidas para el proyector local en un subespacio polinomial adecuado, que permite la integración explícita de estos términos. A continuación, mostramos que la forma bilineal discreta global satisface las hipótesis requeridas por el lema de Lax-Milgram. De esta manera, concluimos la buena posición de nuestro esquema de VEM mixto y derivamos las estimaciones de error a priori asociadas para la solución virtual, así como para la proyección totalmente computable de la misma. Además, también presentamos una segunda fórmula de posprocesamiento elemento por elemento para el pseudoesfuerzo, que produce una aproximación óptimamente convergente de esta incógnita con respecto a la forma broken (div) rota. Finalmente, se presentan varios resultados numéricos que ilustran el buen desempeño del método y confirman las tasas teóricas de convergencia.Universidad Nacional, Costa RicaEscuela de Matemátic

A mixed virtual element method for quasi-Newtonian stokes flows

In this paper we introduce and analyze a virtual element method (VEM) for an augmented mixed variational formulation of a class of nonlinear Stokes models arising in quasi-Newtonian fluids. While the original unknowns are given by the pseudostress, the velocity, and the pressure, the latter is eliminated by using the incompressibility condition, and in order to handle the nonlinearity involved, the velocity gradient is set as an auxiliary one. In this way, and adding a redundant term arising from the constitutive equation relating the psdeudostress and the velocity, an augmented formulation showing a saddle point structure is obtained, whose well-posedness has been established previously by using known results from nonlinear functional analysis. Then, following the basic principles and ideas of the mixed- VEM approach, we introduce a Galerkin scheme employing generic virtual element subspaces and projectors satisfying suitable abstract conditions and derive the corresponding solvability analysis, along with the associated a priori error estimates for the virtual element solution as well as for the fully computable projection of it. Next, we provide two specific choices of subspaces and local projectors verifying the required hypotheses, one of them yielding an optimally convergent mixed- VEM for the fully nonlinear problem studied here, and the other one providing a new approach for the linear version of it, that is, for the Stokes problem. In addition, we are able to apply a second element-by-element postprocessing formula for the pseudostress, which yields an optimally convergent approximation of it with respect to the broken H(div)-norm. Finally, several numerical results illustrating the good performance of the method and confirming the theoretical rates of convergence are reported. © 2018 Society for Industrial and Applied Mathematics.En este artículo presentamos y analizamos un método de elemento virtual (VEM) para una formulación variacional mixta aumentada de una clase de modelos de Stokes no lineales que surgen en fluidos cuasi-newtonianos. Mientras que las incógnitas originales están dadas por el pseudoesfuerzo, la velocidad y la presión, esta última se elimina usando la condición de incompresibilidad, y para manejar la no linealidad involucrada, el gradiente de velocidad se establece como auxiliar. De esta forma, y ​​añadiendo un término redundante que surge de la ecuación constitutiva que relaciona el psdeudoesfuerzo y la velocidad, se obtiene una formulación aumentada que muestra una estructura de punto de silla, cuya buena posición se ha establecido previamente utilizando resultados conocidos del análisis funcional no lineal. Luego, siguiendo los principios e ideas básicos del enfoque VEM mixto, presentamos un esquema de Galerkin que emplea subespacios de elementos virtuales genéricos y proyectores que satisfacen condiciones abstractas adecuadas y derivamos el análisis de solución correspondiente, junto con las estimaciones de error a priori asociadas para el elemento virtual. solución así como para la proyección totalmente computable de la misma. A continuación, proporcionamos dos opciones específicas de subespacios y proyectores locales que verifican las hipótesis requeridas, una de las cuales produce un VEM mixto óptimamente convergente para el problema totalmente no lineal estudiado aquí, y la otra proporciona un nuevo enfoque para la versión lineal del mismo. es decir, para el problema de Stokes. Además, podemos aplicar una segunda fórmula de posprocesamiento elemento por elemento para la pseudotensión, que produce una aproximación convergente óptima de la misma con respecto a la norma H(div) rota. Finalmente, se reportan varios resultados numéricos que ilustran el buen desempeño del método y confirman las tasas teóricas de convergencia. © 2018 Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas.Universidad Nacional, Costa RicaEscuela de Matemátic

Analysis of an augmented pseudostress-based mixed formulation for a nonlinear Brinkman model of porous media flow

In this paper we introduce and analyze an augmented mixed finite element method for the two-dimensional nonlinear Brinkman model of porous media flow with mixed boundary conditions. More precisely, we extend a previous approach for the respective linear model to the present nonlinear case, and employ a dual-mixed formulation in which the main unknowns are given by the gradient of the velocity and the pseudostress. In this way, and similarly as before, the original velocity and pressure unknowns are easily recovered through a simple postprocessing. In addition, since the Neumann boundary condition becomes essential, we impose it in a weak sense, which yields the introduction of the trace of the fluid velocity over the Neumann boundary as the associated Lagrange multiplier. We apply known results from nonlinear functional analysis to prove that the corresponding continuous and discrete schemes are well-posed. In particular, a feasible choice of finite element subspaces is given by Raviart-Thomas elements of order k >= 0 for the pseudostress, piecewise polynomials of degree = 0 para la pseudotensión, polinomios por partes de grado <= k para el gradiente de la velocidad y polinomios por partes continuos de grado <= k + 1 para el multiplicador de Lagrange. También derivamos un estimador de error a posteriori confiable y eficiente basado en residuos para este problema. Finalmente, se proporcionan varios resultados numéricos que ilustran el rendimiento y la robustez del método, confirmando las propiedades teóricas del estimador y mostrando el comportamiento del algoritmo adaptativo asociado. (C) 2015 Elsevier B.V. Todos los derechos reservados.Universidad Nacional, Costa RicaEscuela de Matemátic

Análisis del método local discontinuo Galerkin para la ecuación de Fokker-Planck

In this paper we introduce and analyze the Local Discontinuous Galerkin (LDG) method for the Fokker-Planck equation with homogeneous boundary conditions. In particular, we employ a mixed formulation in which the main unknowns are given by the probability current and the probability density function. We apply known results from functional analysis, to establish that the discrete scheme is well-posed. In addition, error estimates are proved for the fully-discrete method using backward Euler time stepping. Finally, we provide numerical examples exhibiting the good performance of the proposed scheme.En este artículo se introduce y se analiza el método “Local Discontinuous Galerkin” (LDG) para la ecuación de Fokker-Planck concondiciones de contorno homogéneas. En particular, se emplea una formulación mixta en la cual las principales incógnitas corresponden al flujo de probabilidad y la función de densidad de probabilidad. Se aplican resultados conocidos provenientes del análisis funcional para establecer que el esquema discreto está bien puesto. Además, se proveen estimaciones de error para el método completamente-discreto, usando la iteración de Euler hacia atrás. Finalmente, se presentan ejemplos numéricos que exhiben el buen comportamiento del esquema propuesto

A mixed virtual element method for a pseudostress-based formulation of linear elasticity

In this paper we introduce and analyze a mixed virtual element method (mixed-VEM) for a pseudostress-displacement formulation of the linear elasticity problem with non homogeneous Dirichlet boundary conditions. We follow a previous work by some of the authors, and employ a mixed formulation that does not require symmetric tensor spaces in the finite element discretization. More precisely, the main unknowns here are given by the pseudostress and the displacement, whereas other physical quantities such as the stress, the strain tensor of small deformations, and the rotation, are computed through simple postprocessing formulae in terms of the pseudostress variable. We first recall the corresponding variational formulation, and then summarize the main mixed-VEM ingredients that are required for our discrete analysis. In particular, we utilize a well known local projector onto a suitable polynomial subspace to define a calculable version of our discrete bilinear form, whose continuous version requires information of the variables on the interior of each element. Next, we show that the global discrete bilinear form satisfies the hypotheses required by the Babuška–Brezzi theory. In this way, we conclude the well-posedness of our mixed-VEM scheme and derive the associated a priori error estimates for the virtual solutions as well as for the fully computable projections of them. Furthermore, we also introduce a second element-by-element postprocessing formula for the pseudostress, which yields an optimally convergent approximation of this unknown with respect to the broken H(div)-norm. In addition, this postprocessing formula can also be applied to the postprocessed stress tensor. Finally, several numerical results illustrating the good performance of the method and confirming the theoretical rates of convergence are presented.En este artículo presentamos y analizamos un método de elementos virtuales mixtos (VEM mixto) para una formulación de pseudoesfuerzo-desplazamiento del problema de elasticidad lineal con condiciones de frontera de Dirichlet no homogéneas. Seguimos un trabajo previo de algunos de los autores y empleamos una formulación mixta que no requiere espacios tensoriales simétricos en la discretización de elementos finitos. Más precisamente, las principales incógnitas aquí vienen dadas por la pseudoesfuerzo y el desplazamiento, mientras que otras magnitudes físicas como la tensión, el tensor de deformación de pequeñas deformaciones y la rotación, se calculan mediante fórmulas simples de posprocesamiento en términos de la variable de pseudoesfuerzo. Primero recordamos la formulación variacional correspondiente y luego resumimos los principales ingredientes mixtos de VEM que se requieren para nuestro análisis discreto. En particular, utilizamos un proyector local bien conocido en un subespacio polinómico adecuado para definir una versión calculable de nuestra forma bilineal discreta, cuya versión continua requiere información de las variables en el interior de cada elemento. A continuación, mostramos que la forma bilineal discreta global satisface las hipótesis requeridas por la teoría de Babuška-Brezzi. De esta manera, concluimos la buena posición de nuestro esquema VEM mixto y derivamos las estimaciones de error a priori asociadas para las soluciones virtuales, así como para las proyecciones totalmente computables de las mismas. Además, también introducimos una segunda fórmula de posprocesamiento elemento por elemento para el pseudoesfuerzo, que produce una aproximación óptimamente convergente de esta incógnita con respecto a la norma H (div) rota. Además, esta fórmula de posprocesamiento también se puede aplicar al tensor de tensión posprocesado. Finalmente, se presentan varios resultados numéricos que ilustran el buen desempeño del método y que confirman las tasas teóricas de convergencia.Universidad de Concepción, ChileUniversidad Nacional, Costa RicaEscuela de Matemátic