Lyapunov exponents of probability distributions with non-compact support

A recent result of Bocker–Viana asserts that the Lyapunov exponents of compactly supported probability distributions in GL(2, R) depend continuously on the distribution. We investigate the general, possibly concompact case. We prove that the Lyapunov exponents are semi-continuous with respect to the Wasserstein topology, but not with respect to the weak* topology. Moreover, they are not continuous with respect to the Wasserstein topology.Consejo Nacional de Desarrollo Científico y Tecnológico//CNPq/BrazilFundación de Apoyo a la Investigación del Estado de São Paulo//FAPESP/BrazilFundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro//FAPERJ/BrazilUniversidad de Costa Rica//UCR/Costa RicaUCR::Vicerrectoría de Investigación::Unidades de Investigación::Ciencias Básicas::Centro de Investigaciones en Matemáticas Puras y Aplicadas (CIMPA)UCR::Vicerrectoría de Docencia::Ciencias Básicas::Facultad de Ciencias::Escuela de Matemátic

The set of fiber-bunched cocycles with nonvanishing Lyapunov exponents over a partially hyperbolic map is open

We prove that the set of fiber-bunched SL(2, R)-valued Hölder cocycles with nonvanishing Lyapunov exponents over a volume preserving, accessible and center-bunched partially hyperbolic diffeomorphism is open. Moreover, we present an example showing that this is no longer true if we do not assume accessibility in the base dynamics.Coordinación de la formación del personal de nivel superior/[88881.120218/2016-01]/CAPES/BrasilConsejo Nacional de Desarrollo Científico y Tecnológico/[]/CNPq/BrasilUniversité Paris 13/[]//FranciaUniversidad de Costa Rica/[]/UCR/Costa RicaUCR::Vicerrectoría de Docencia::Ciencias Básicas::Facultad de Ciencias::Escuela de Matemátic

Equilibrium states for maps isotopic to Anosov

In this work we address the problem of existence and uniqueness (finiteness) of ergodic equilibrium states for partially hyperbolic diffeomorphisms isotopic to Anosov on T4, with two-dimensional center foliation. To do so we propose to study the disintegration of measures along one-dimensional subfoliations of the center bundle. Moreover, we obtain a more general result characterizing the disintegration of ergodic measures in our context.Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo/[2018/18990-0]/FAPESP/BrasilCoordinación de la formación del personal de nivel superior/[2019/88882.329056-01]/CAPES/BrasilFundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo/[17/06463-3]/FAPESP/BrasilFundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo/[16/22475-9]/FAPESP/BrasilUniversidad de Costa Rica/[]/UCR/Costa RicaUCR::Vicerrectoría de Docencia::Ciencias Básicas::Facultad de Ciencias::Escuela de MatemáticaUCR::Vicerrectoría de Investigación::Unidades de Investigación::Ciencias Básicas::Centro de Investigaciones en Matemáticas Puras y Aplicadas (CIMPA

Actas del V Congreso ISUF-H Costa Rica 2021: Ciudades espontáneas versus ciudades planificadas: distintos retos, distintas realidades

En el año 2021 celebramos en Costa Rica la V edición del Congreso ISUF-H, los días 1, 2 y 3 de diciembre, con la Escuela de Arquitectura de la Universidad de Costa Rica como anfitriona del evento. El congreso “Ciudades espontáneas versus ciudades planificadas: distintos retos, distintas realidades” propuso como eje central una reflexión crítica sobre los procesos de urbanización planificada y urbanización espontánea, en el cual se fomente un abordaje de las ciudades como expresión de organización social, económica, ambiental y cultural, enfatizando el carácter ideológico de la urbanización y subrayando su continua construcción como resultado de construcciones complejas. La celebración de un nuevo congreso en América Latina, permitió reforzar la tradición crítica en el abordaje de las ciudades, y reforzar también la necesidad de plantear una perspectiva latinoamericana de los estudios urbanos, y por consiguiente de una teoría urbana latinoamericana. En esta ocasión el congreso se centró en ahondar en la temática de la forma urbana, desde perspectivas transversales que involucren las amplias disciplinas que asumen como objeto de discusión las problemáticas de la ciudad contemporánea y cuestionan la dicotomía planteada entre lo espontáneo y lo planificado. Para la Escuela de Arquitectura de la Universidad de Costa Rica y su Laboratorio de Ciudad y Territorio es un honor haber podido llevar a cabo esta nueva edición del congreso de la Asociación ISUF-H como segunda sede en un país latinoamericano. Relevante para fortalecer la temática de la forma urbana en la región, reforzando alianzas y estableciendo nuevas redes que permitan compartir conocimientos a partir de las experiencias de esas diversidades urbanas. Auspiciar el debate en torno a la morfología urbana y las diferencias entre esas ciudades espontáneas y las planificadas, fue una oportunidad para reunir a expertos de las distintas latitudes hispánicas.UCR::Vicerrectoría de Docencia::Ingeniería::Facultad de Ingeniería::Escuela de Arquitectur

Contributions to the continuity problem for Lyapunov exponents

O objetivo deste trabalho é estudar a continuidade e a semi-continuidade dos expoentes de Lyapunov em dois contextos diferentes. O primeiro diz respeito a cociclos lineares sobre dinâmicas parcialmente hiperbólicas. É sabido que os expoentes de Lyapunov podem ser muito sensíveis como funções do cociclo. Exemplo disto é o resultado de Bochi-Mañé que mostra que todo SL(2,R)-cociclo contínuo que não é uniformemente hiperbólico pode ser aproximado por outro com expoentes nulos. Mostrarei que o conjunto dos SL(2,R)-cociclos “fiber-bunched”; com expoente de Lyapunov não nulos, sobre um difeomorfismo parcialmente hiperbólico, é um aberto. Este é um trabalho conjunto com Lucas Backes e Mauricio Poletti. O segundo tipo de resultados trata de expoentes de Lyapunov de cociclos localmente constantes associados a distribuções de probabilidade com suporte não compacto emSL(2,R). Bocker-Viana provaram que, para distribuições com suporte compacto, os expoentes variam continuamente. Analizarei o comportamente dos expoentes de Lyapunov quando as medidas têm suporte não compacto, mostrando que neste caso tem-se semi-continuidade com a topologia de Wasserstein, mas não na topologia fraca*. Além disso, não há continuidade mesmo na topologia de Wasserstein.The aim of this work is to study the continuity and semi-continuity of the Lyapunov exponents in two different contexts. The first one concerns linear cocycles on partially hyperbolic dynamics. It is known that the Lyapunov exponents can be very sensitive as functions of the cocycle. Example of this is the result of Bochi-Mañé which shows that every SL(2,R)-cocycle that is not uniformly hyperbolic can be approximated by another with zero exponents. We prove that the set of fiber-bunched SL(2,R)-valued Hölder cocycles with nonvanishing Lyapunov exponents over a volume preserving, accessible and center-bunched partially hyperbolic diffeomorphism is open. Moreover, we present an example showing that this is no longer true if we do not assume accessibility in the base dynamics. This is a joint work with Lucas Backes and Mauricio Poletti. In the second part of this work we will restrict our attention to the study of llocally constant cocycles associated with probability distributions with non-compact support in SL(2,R). Bocker-Viana proved that for distributions with compact support, the exponents vary continuously. We analyze the behavior of the Lyapunov exponents when the measures are not compact, showing that in this case, the Lyapunov exponents, considered as functions of the measure, are semi-continuous with respect to the Wasserstein topology but not the weak* topology. Moreover, we prove that they are not continuous relative to the Wasserstein topology.El objetivo de este trabajo es estudiar la continuidad y la semi-continuidad de los exponentes de Lyapunov en dos contextos diferentes. El primero trata sobre los cociclos lineales con base dinámica parcialmente hiperólica. Es conocido que los exponentes de Lyapunov pueden ser muy sensibles como funciones de los cociclos. Ejemplo de esto es el resultado de Bochi-Mañé que muestra que todo cociclo SL(2,R) contínuo que no es uniformemente hiperbólico puede ser aproximado por otros con exponentes nulos. Mostraremos que el conjunto de los cociclos “fiberbunched”; con exponente de Lyapunov no nulos, sobre un difeomorfismo parcialmente hiperbólico, es un abierto. Este es un trabajo conjunto con Lucas Backes y Mauricio Poletti. El segundo tipo de resultado trata de exponentes de Lyapunov de cociclos localmente constantes asociados a distribuciones de probabilidad con soporte no compacto en SL(2,R). Bocker-Viana probaron que, para distribuciones con soporte compacto, los exponentes varían continuamente. Analizaremos el comportamiento de los exponentes de Lyapunov cuando las medidas tienen soporte no compacto, mostraremos que en este caso se tiene semi-continuidad con la topología de Wasserstein, pero no respecto a la topología débil*. Además, no hay semi-continuidad aún con la topología de Wasserstein.Universidad de Costa Rica/[]/UCR/Costa RicaConsejo Nacional de Desarrollo Científico y Tecnológico/[]/CNPq/BrasilInstituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada/[]/IMPA/BrasilUCR::Vicerrectoría de Docencia::Ciencias Básicas::Facultad de Ciencias::Escuela de Matemátic

Analiticity of the Lyapunov exponents of random products of quasi-periodic cocycles

We show that the top Lyapunov exponent LE(p) associated with a random product of quasi-periodic cocycles depends real analytically on the transition probabilities p whenever LE(p) is simple. Moreover if the spectrum at p is simple (all Lyapunov exponents having multiplicity one ) then all Lyapunov exponents depend real analytically on p.Universidad de Costa Rica/[]/UCR/Costa RicaFundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo/[#18/07797-5]/FAPESP/BrasilUCR::Vicerrectoría de Investigación::Unidades de Investigación::Ciencias Básicas::Centro de Investigaciones en Matemáticas Puras y Aplicadas (CIMPA