Stability of the inverse resonance problem on the line

In the absence of a half-bound state, a compactly supported potential of a Schr\"odinger operator on the line is determined up to a translation by the zeros and poles of the meropmorphically continued left (or right) reflection coefficient. The poles are the eigenvalues and resonances, while the zeros also are physically relevant. We prove that all compactly supported potentials (without half-bound states) that have reflection coefficients whose zeros and poles are \eps-close in some disk centered at the origin are also close (in a suitable sense). In addition, we prove stability of small perturbations of the zero potential (which has a half-bound state) from only the eigenvalues and resonances of the perturbation.Comment: 21 page

Relativistic Motion of the Test Body in Photogravitational Field of Star: Application to the Solar System

The regularities of the motion for every test body in photogravitational field of a star, which can significantly di˙er from the regularities of motion of a body in gravitational field, have been obtained. The following e˙ects of STR and GTR to the terms of order v2/c2 have been considered: the light pressure, the Poynting-Robertson e˙ect, the longitudinal and transverse Doppler e˙ect, the increase in mass of the moving test body, the e˙ects of the space-time curvature which arise due to the gravitational fields of the star and gas-dust ball surrounding the star. We have showed that the longitudinal Doppler e˙ect and the aberration of light (the e˙ects of order v/c) lead to the spiral motion of the test body around the star. Taking into account other e˙ects of order v2/c2 accelerates approximately by factor two the body fall on the spiral onto the star. The spiral can be seen as the decreasing in size ellipse with decreasing eccentricity and periastron, which can shift against the motion in orbit due to the influence of the gravitational field of gas-dust ball

Analyticity and uniform stability in the inverse spectral problem for Dirac operators

We prove that the inverse spectral mapping reconstructing the square integrable potentials on [0,1] of Dirac operators in the AKNS form from their spectral data (two spectra or one spectrum and the corresponding norming constants) is analytic and uniformly stable in a certain sense.Comment: 19 page

Движение системы двух тел и их центра масс в неоднородной среде

In this paper, a material system consisting of two spherically symmetric bodies of comparable masses located inside a gas-dust ball with a spherically symmetric distribution of the density of the medium in it is considered. After choosing the corresponding energy-momentum tensor from the Einstein field equations using the Einstein-Infeld approximation procedure, the metric of the corresponding space-time, the gravitational field created by the «two-body – medium» system are found, and then the equations of motion of the bodies and their center of mass are obtained in Newton’s and post-Newtonian approximations of the general theory of relativity. It is proved that in the case of the indicated density of the medium, the following effect should exist already in the Newtonian approximation. The center of mass of two bodies shifts at a variable speed, although it was at rest in the void. This situation is a consequence of the fact that the two-body-medium system is not closed. For the first time, formulas for calculating the displacement value, which is proportional to the density of the medium in the center of the gas-dust ball and the 5th degree of the distance between the bodies, are derived. Therefore, at large distances between bodies, their center of mass has large displacements (it can reach several million kilometers per revolution of bodies around their center of mass). If the masses of the bodies are equal, their center of mass is at rest if it is at rest in the void.Рассмотрена материальная система, состоящая из двух сферически симметричных тел сравнимых масс, расположенных внутри газопылевого шара со сферически симметричным распределением плотности среды в нем. После выбора соответствующего тензора энергии-импульса из полевых уравнений Эйнштейна с помощью аппроксимационной процедуры Эйнштейна – Инфельда найдены метрика соответствующего пространства-времени и гравитационное поле, создаваемое системой «два тела – среда», а затем получены уравнения движения тел и их центра масс в ньютоновском и постньютоновском приближениях общей теории относительности. Доказано, что в случае указанной плотности среды уже в ньютоновском приближении должен существовать эффект: центр масс двух тел смещается с переменной скоростью, хотя в пустоте он покоился. Данная ситуация является следствием того, что система «два тела – среда» не является замкнутой. Впервые выведены формулы для вычисления величины смещения, которое пропорционально плотности среды в центре газопылевого шара и 5-й степени расстояния между телами. Поэтому при больших расстояниях между телами их центр масс имеет большие смещения (может достигать нескольких миллионов километров за один оборот тел вокруг их центра масс). В случае равенства масс тел их центр масс покоится, если он покоился в пустоте. Указывается, что полученные результаты и предсказываемые эффекты следует учитывать при обработке наблюдательных данных в астрономии и астрофизике, в вопросах космогонии и космологии

Движение релятивистского центра масс системы двух тел в среде

The motion equations for a system of two bodies moving in a medium are derived in the Cartesian coordinate system in the Newtonian theory. The coordinate system is barycentric, that is, the center of mass of the two-body system is immobile. Using the Einstein – Infeld approximation procedure, the gravitational field created by the “two bodies – medium” system was found from the Einstein field equations, and then the equations of motion of the bodies in this field were obtained.It is shown that in the post-Newtonian approximation of the general theory of relativity, the center of mass of two bodies moving in a gas – dust rarefied medium of constant density, determined by analogy with the Newtonian center of mass, is displaced along the cycloid, although in the Newtonian approximation it is stationary, i.e. the movement along the cycloid occurs with respect to the barycentric Newtonian fixed reference frame. Numerical estimates are given for the magnitude of this displacement. Given a popular value of the medium density ρ = 10–21 g·cm–3 its order can reach 106 km per one rotation of two bodies around their center of mass. In the case of the equality of masses of the bodies, their relativistic center of mass, like their Newtonian center of mass, is immobile.It has been hypothesized that for any elliptical orbits of two bodies and an inhomogeneous distribution of the gas – dust medium the qualitative picture of motion of the relativistic center of mass of the two bodies will not change.Выведены в декартовой системе координат в ньютоновской теории тяготения уравнения движения системы из двух тел, движущихся в среде. Система координат барицентрическая, т. е. в ней центр масс двух тел неподвижен. С помощью аппроксимационной процедуры Эйнштейна – Инфельда из полевых уравнений Эйнштейна найдено гравитационное поле, создаваемое системой «два тела – среда», а затем получены уравнения движения тел в этом поле. Показано, что в постньютоновском приближении общей теории тносительности центр масс двух тел, движущихся в газопылевой разреженной среде постоянной плотности, определенный по аналогии с ньютоновским центром масс, смещается по циклоиде, хотя в ньютоновском приближении он неподвижен, т. е. движение по циклоиде происходит относительно барицентрической ньютоновской неподвижной системы отсчета. Даны численные оценки для величины этого смещения, которое при популярном значении плотности среды ρ = 10–21 г·см–3 может достигать порядка 106 км за один оборот двух тел вокруг их смещающегося центра масс. В случае равенства масс тел их релятивистский центр масс, как и их ньютоновский центр масс, неподвижен. Выдвинута гипотеза о том, что для любых эллиптических орбит двух тел и неоднородного распределения газопылевой среды качественная картина движения релятивистского центра масс двух тел не изменится

О СУЩЕСТВОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНЫХ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В ФОТОГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ

We see that taking into account direct solar pressure lagrangian triangular points of libration L4 and L5 do not exist, but for each of the trial body there exist two points of photolibration L4* and L5*which, together with the heavy bodies are the vertices of scalene triangles with constant sides. The existence of trial bodies with different «windage» leads to the existence of photolibration lines.Показано, что при учете солнечного давления лагранжевы треугольные точки либрации L4 и L5 не существуют, но существуют для каждого пробного тела две точки фотолибрации L4* и L5*, которые вместе с тяжелыми телами являются вершинами разносторонних треугольников с постоянными сторонами. Существование пробных тел с разной «парусностью» приводит к существованию линий фотолибрации

ТОЧКИ ФОТОЛИБРАЦИИ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ

Taking into account the star light pressure it is proved that for a star-dark body-test body system in the bounded planar circular problem of three bodies there exist a countless number of photolibtation points filling up three segments of the straight line passing through the star and the dark body (collinear case) or those points filling up the two circular arcs passing through the Lagrangian libration points L4, L5 (triangular case).Доказано, что для системы звезда-темное тело-пробное тело в ограниченной плоской круговой задаче трех тел при учете светового давления звезды существует бесчисленное количество точек фотолибрации, заполняющих три отрезка на прямой, проходящей через звезду и темное тело (коллинеарный случай), или заполняющие две дуги окружности, проходящие через лагранжевы точки либрации L4, L5 (треугольный случай)

Relativistic Motion of the Test Body in Photogravitational Field of Star: Application to the Solar System

The regularities of the motion for every test body in photogravitational field of a star, which can significantly di˙er from the regularities of motion of a body in gravitational field, have been obtained. The following e˙ects of STR and GTR to the terms of order v2/c2 have been considered: the light pressure, the Poynting-Robertson e˙ect, the longitudinal and transverse Doppler e˙ect, the increase in mass of the moving test body, the e˙ects of the space-time curvature which arise due to the gravitational fields of the star and gas-dust ball surrounding the star. We have showed that the longitudinal Doppler e˙ect and the aberration of light (the e˙ects of order v/c) lead to the spiral motion of the test body around the star. Taking into account other e˙ects of order v2/c2 accelerates approximately by factor two the body fall on the spiral onto the star. The spiral can be seen as the decreasing in size ellipse with decreasing eccentricity and periastron, which can shift against the motion in orbit due to the influence of the gravitational field of gas-dust ball