Global solutions for the critical, higher-degree corotational harmonic map heat flow to S^2

We study m-corotational solutions to the Harmonic Map Heat Flow from R2 to S2. We first consider maps of zero topological degree, with initial energy below the threshold given by twice the energy of the harmonic map solutions. For m≥2, we establish the smooth global existence and decay of such solutions via the concentration-compactness approach of Kenig-Merle, recovering classical results of Struwe by this alternate method. The proof relies on a profile decomposition, and the energy dissipation relation. We then consider maps of degree m and initial energy above the harmonic map threshold energy, but below three times this energy. For m≥4, we establish the smooth global existence of such solutions, and their decay to a harmonic map (stability), extending results of Gustafson-Nakanishi-Tsai to higher energies. The proof rests on a stability-type argument used to rule out finite-time bubbling

Long-time dynamics for the energy-critical harmonic map heat flow and nonlinear heat equation

The main focus of this thesis is on critical parabolic problems, in particular, the harmonic map heat from the plane to S2, and nonlinear focusing heat equations with an algebraic nonlinearity. The focus of this work has been on long-time dynamics, stability and singularity formation, and the investigation of the role of special, soliton-like, solutions to the asymptotic behaviour of solutions. Harmonic Map Heat Flow: Flow: we consider m-corotational solutions to the harmonic map heat flow from R2 to S2. We first work in a class of maps with trivial topology and energy of the initial data below two times the energy of the stationary harmonic map solutions. We give a new proof of global existence and decay. The proof is based on the "concentration-compactness plus rigidity" approach of Kenig and Merle and relies on the dissipation of the energy and a profile decomposition. We also treat m-corotational maps (m greater than 3) with non-trivial topology and energy of the initial data less than three times the energy of the stationary harmonic map solutions. Through a new stability argument we rule out finite-time blow-up and show that the global solution asymptotically converges to a harmonic map. Nonlinear Heat Equation: we also study solutions of the focusing energy-critical nonlinear heat equation. We show that solutions emanating from initial data with energy and kinetic energy below those of the stationary solutions are global and decay to zero. To prove that global solutions dissipate to zero we rely on a refined small data theory, L2-dissipation and an approximation argument. We then follow the "concentration-compactness plus rigidity" roadmap of Kenig and Merle (and in particular the approach taken by Kenig and Koch for Navier-Stokes) to exclude finite-time blow-up.Science, Faculty ofMathematics, Department ofGraduat

Renal replacement therapy associated with lithium nephrotoxicity in Australia: In reply

Milton Roxanas, Blair S Grace, Charles R P Georg

Eigenvalues and Bifurcations for the p-Laplacian with indefinite weight in all of R^N

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο--Μεταπτυχιακή εργασία. Διεπιστημονικό-Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Δ.Π.Μ.Σ.)"Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες"Μελετάμε μια ημιγραμμική ελλειπτική ΜΔΕ που περιλαμβάνει την p-Laplacian και ένα αόριστο βάρος σε όλο τον R^N. Η εργασία χωρίζεται σε τρία μέρη. Στο πρώτο μέρος, μετασχηματίζουμε τη ΜΔΕ σε ολοκληρωτική τελεστική μορφή και τη μελετάμε σαν πρόβλημα ιδιοτιμών για τον τελεστή που αντιστοιχεί στην p-Laplacian, σε ένα χώρο Sobolev με βάρος. Οι ασθενείς λύσεις που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές μπορούν να χαρακτηριστούν με μεταβολικό τρόπο (χρησιμοποιώντας την "min-max" Ljusternik-Schnirelman θεωρία ) , σαν κρίσιμα σημεία κατάλληλου συναρτησιακού σε συγκεκριμένες πολλαπλότητες περιορισμών. Η ύπαρξη εξασφαλίζεται από μια συνθήκη συμπάγειας μέσω τοπολογικών μεθόδων. Στο δεύτερο μέρος, αποδεικνύουμε ότι η κυρίαρχη ιδιοτιμή (όπως και στην περίπτωση του κλασικού προβλήματος Dirichlet για τη Laplacian) είναι θετική, απλή, απομονωμένη και μελετάμε ιδιότητες της αντίστοιχης ιδιοσυνάρτησης. Το ότι δουλεύουμε σε όλο τον R^N, η ισχυρή μη-γραμμικότητα της p-Laplacian και ότι το βάρος μπορεί να αλλάζει πρόσημο, είναι μερικοί από τους λόγους για τους οποίους δεν μπορούμε ευθέως να εφαρμόσουμε την min-max αρχή του Courant για το χαρακτηρισμό των ιδιοτιμών. Στο τρίτο μέρος μελετάμε το λεγόμενο >. Όχι αυστηρά μιλώντας, αν θεωρήσουμε το σύνολο των λύσεων (λ,u) του τελεστικού προβλήματος σαν μια συνεχή καμπύλη στο χώρο γινόμενο και αν (λ,0) είναι η τετριμμένη λύση, θα θέλαμε να ξέρουμε αν υπάρχει κάποια κρίσιμη τιμή της παραμέτρου λ, ας πούμε η λ*,τέτοια ώστε (λ*, u* 0 )να είναι λύση, δηλαδή, ένας κλάδος λύσεων > από τον οριζόντιο άξονα, (και αν αυτό θα ξανασυμβεί αργότερα). Για τη μελέτη αυτού του προβλήματος κάνουμε χρήση της θεωρίας Τοπολογικού Βαθμού -μια τοπολογική γενίκευση της έννοιας του αριθμού περιστροφής από τη Μιγαδική Ανάλυση ' ουσιαστικά, δίνει το τοπολογικό ανάλογο στην ερώτηση >. Στη συνέχεια βρίσκουμε τον τύπο της διακλάδωσης και μελετάμε ιδιότητες της λύσης πάνω στους κλάδους διακλάδωσης (πχ πρόσημο και ομαλότητα) και τέλος δίνουμε παραδείγματα για την οπτικοποίηση των αποτελεσμάτων.We deal with a quasilinear elliptic PDE involving the p-Laplacian and an indefinite weight in all of R^N. The thesis is divided in three parts. In the first part we transform the PDE into an integral operators formulation, and we study it as an eigenvalue problem for the associated p-Laplacian operator in a weighted Sobolev space. The weak solutions that correspond to the eigenvalues are derived by a variational methodology (making use of the "min-max" Ljusternik-Schnirelman theory ) , as critical points of appropriate functionals on certain constraint manifolds. The existence is assured by a compactness argument and through a topological interpretation of the underlying structure. In the second part we prove that the principal eigenvalue (as in the case of the standard Dirichlet problem for the Laplacian) is positive, simple and isolated and we study properties of the associated eigenfunction. That we work in all of R^N; the strong nonlinearity of the p-Laplacian and that the weight function changes sign, are the reasons why we cannot directly apply Courant's min-max principle for the characterization of the eigenvalues. The thirdd part deals with the so-called " bifurcation problem ". Informally speaking, if we consider the set of solutions (λ,u) of the operator problem as a continuous curve in the product space and if (λ,0) is the trivial solution, we would like to know if there is a critical value of the parameterλ, say λ*,such that (λ*,u* 0) is a solution, i.e.a solution branch from the horizontal axis " departs " (and whether this is going to happen again later). We deal with the problem by using Topological Degree Theory -a topological generalization of the winding number from Complex Analysis; basically it provides the topological analogue to the question >. Next we study the type of the bifurcation as well as some properties of the solution (e.g. sign and regularity ) when on the bifurcation branches, and we present some examples in order to visualize the result.Δημήτριος Ε. Ρωξάνα