On the stability structure for lattice Boltzmann schemes

AbstractThe stability structure for lattice Boltzmann schemes has been introduced in Banda et al. (2006) [16], Junk and Yong (2007) [14] to analyze the stability of numerical algorithms. The first purpose of this paper is to discuss the stability structure from the perspective of matrix analysis. Its second goal is to illustrate and apply the results to different classes of lattice Boltzmann collision operators. In particular we formulate an equivalence condition–just recently also reported in Yong (2008) [18]–that guarantees the existence of a pre-stability structure. It is then illustrated by several examples, how this equivalence condition can be effectively employed for the systematic verification and construction of stable collision operators. Finally, we point out some shortcomings of the stability structure approach arising in certain cases

Stochastic exponentials and logarithms on stochastic intervals: a survey

Stochastic exponentials are defined for semimartingales on stochastic intervals, and stochastic logarithms are defined for semimartingales, up to the first time the semimartingale hits zero continuously. In the case of (nonnegative) local supermartingales, these two stochastic transformations are inverse to each other. The reciprocal of a stochastic exponential on a stochastic interval is again a stochastic exponential on a stochastic interval

Stochastic exponentials and logarithms on stochastic intervals: a survey

Stochastic exponentials are defined for semimartingales on stochastic intervals, and stochastic logarithms are defined for semimartingales, up to the first time the semimartingale hits zero continuously. In the case of (nonnegative) local supermartingales, these two stochastic transformations are inverse to each other. The reciprocal of a stochastic exponential on a stochastic interval is again a stochastic exponential on a stochastic interval

Stability and multiscale analysis of an advective lattice Boltzmann scheme

In this paper we consider a two-population lattice Boltzmann algorithm to approximate the advection equation. First, the stability of this model algorithm is examined. The analysis is based on the analytic computation of the spectrum pertaining to the evolution matrix. After proving a necessary stability condition, the stability of the evolution matrix is shown, which is related to the CFL-condition. We use the model algorithm to demonstrate that formal stability criteria based on a multiscale expansion may fail to predict instability

Analyse von Gitter-Boltzmann Methoden. Asymptotische und Numerische Untersuchung eines singulär gestörten Systems

Gitter-Boltzmann Methoden stellen eine verhältnismäßig neue Klasse numerischer Verfahren dar zur Lösung evolutionsartiger partieller Differentialgleichungen. Im Gegensatz zu Standardmethoden aus dem Bereich der finiten Differenzen bzw. finiten Elemente realisieren Gitter-Boltzmann Verfahren einen mesoskopischen (kinetischen) Ansatz. Die Kernidee besteht darin, eine gitterbasierten Pseudo-Teilchendynamik zu formulieren. Es stellt sich dabei heraus, daß gewisse gemittelte Größen die Lösungen bestimmter Differentialgleichungen approximieren, welche vor allem einem strömungsmechanischen Hintergrund entstammen. Allerdings ist die Konsistenz der Gitter-Boltzmann Verfahren keineswegs offensichtlich, nicht zuletzt weil sie in enger Beziehung zu singulär skalierten Boltzmanngleichungen mit endlichen Geschwindigkeitsmodellen stehen.Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Analyse von Gitter-Boltzmann Verfahren. Besonderes Augenmerk gilt dabei einigen 'numerischen Phänomenen' wie dem Auftreten von Anfangsschichten, der Existenz mehrerer Zeitskalen und dem Zustandekommen von Randschichten. Beim Konsistenznachweis dienen reguläre asymptotische Entwicklungen (Hilbert Entwicklungen)als zentrales Hilfsmittel. Beispielhaft werden Gitter-Boltzmann Algorithmen in einer Raumdimension mit zwei und drei Populationen untersucht. Dabei wird zunächst gezeigt, wie sich diese Modellalgorithmen zur Diskretisierung der Advektions-Diffusions Gleichung auszweidimensionalen Algorithmen unter Ausnutzung spezieller Symmetrieeigenschaften ergeben.Der Analyse der eigentlichen Schemata vorangestellt ist eine Untersuchung des singulären Grenzwerts bei einer Boltzmanngleichungen mit zwei bzw. drei Geschwindigkeiten. Alternativ lassen sich hier Konvergenzbeweise mittels einer Fourier-Entwicklung bzw. einer allgemeinen regulären Entwicklung kombiniert mit einer Energieabschätzung erzielen. Anfangsschichten werden mittels irregulärer Entwicklungen bzw. Multiskalen-Entwicklungen aufgelöst. Unter anderem stößt man dabei auf eine Hierarchie von Gleichungen, welche Aufschluß über die interne Kopplung der Anfangsschicht mit dem regulären Teil der Lösung geben.Anschließend wird die Konsistenz der Modellalgorithmen betrachtet, gefolgt von einer Stabilitätsanalyse. Neben etlichen Stabilitätsbeweisen (woraus Konvergenz der jeweiligen Verfahren gefolgert werden kann) wird das Spektrum des diskreten Evolutionsoperators einer genauen Untersuchung unterzogen. Darauf aufbauend läßt sich zeigen, daß sich die CFL-Bedingung sowie Stabilität im Falle eines Zwei-Populationen Algorithmus für die Advektionsgleichung gegenseitig bedingen. Au\ss erdem wird die Möglichkeit erörtert, inwieweit verläßliche Stabilitätsaussagen auch anhand einer formalen Analyse gewonnen werden können.Um Erfahrung mit numerischen Randschichten für zukünftige Untersuchungen zu sammeln, wird abschließend eine finite Differenzen Diskretisierung für die eindimensionale Poisson Gleichung betrachtet, welche eine Randschicht erzeugt

On L²-Projections on a Space of Stochastic Integrals

: Let X be an IR d -valued continuous semimartingale, T a fixed time horizon and # the space of all IR d -valued predictable X-integrable processes such that the stochastic integral G(#) = R #dX is a square-integrable semimartingale. A recent paper of Delbaen/Monat/Schachermayer/Schweizer/Stricker (1996) gives necessary and su#cient conditions on X for G T (#) to be closed in L 2 (P ). In this paper, we describe the structure of the L 2 -projection mapping an F T - measurable random variable H # L 2 (P ) on G T (#) and provide the resulting integrand # H # # in feedback form. This is related to variance-optimal hedging strategies in financial mathematics and generalizes previous results imposing very restrictive assumptions on X. Our proofs use the variance-optimal martingale measure e P for X and weighted norm inequalities relating e P to the original measure P . Key words: semimartingales, stochastic integrals, L 2 -projection, variance-optimal martingale mea..

Mean-variance hedging for continuous processes: New proofs and examples

Let $X$ be a special semimartingale of the form $X=X_0+M+\int d\langle M\rangle\,\widehat\lambda$ and denote by $\widehat K=\int \widehat\lambda^{\rm tr}\,d\langle M\rangle\,\widehat\lambda$ the mean-variance tradeoff process of $X$. Let $\Theta$ be the space of predictable processes $\theta$ for which the stochastic integral $G(\theta)=\int\theta\,dX$ is a square-integrable semimartingale. For a given constant $c\in{\Bbb R}$ and a given square-integrable random variable $H$, the mean-variance optimal hedging strategy $\xi^{(c)}$ by definition minimizes the distance in ${\cal L}^2(P)$ between $H-c$ and the space $G_T(\Theta)$. In financial terms, $\xi^{(c)}$ provides an approximation of the contingent claim $H$ by means of a self-financing trading strategy with minimal global risk. Assuming that $\widehat K$ is bounded and continuous, we first give a simple new proof of the closedness of $G_T(\Theta)$ in ${\cal L}^2(P)$ and of the existence of the FÃllmer-Schweizer decomposition. If moreover $X$ is continuous and satisfies an additional condition, we can describe the mean-variance optimal strategy in feedback form, and we provide several examples where it can be computed explicitly. The additional condition states that the minimal and the variance-optimal martingale measures for $X$ should coincide. We provide examples where this assumption is satisfied, but we also show that it will typically fail if $\widehat K_T$ is not deterministic and includes exogenous randomness which is not induced by $X$.Mean-variance hedging, stochastic integrals, minimal martingale measure, FÃllmer-Schweizer decomposition, variance-optimal martingale measure