Picard group of unipotent groups, restricted Picard functor

Let k be a field. In this article, we study the Picard group of the smooth connected unipotent k-algebraic groups, and more generally the Picard group of the forms of the affine n-space.To study the Picard group of a form of the affine n-space with geometric methods, we define a restricted Picard functor. First, we prove that if a form of the affine n-space X admits a regular completion, then the restricted Picard functor of X is representable by a smooth unipotent k-algebraic group. Then, we generalise a result of B. Totaro: if k is separably closed and if the Picard group of a smooth connected unipotent k-algebraic group is nontrivial then it admits a nontrivial extension by the multiplicative group. Moreover, we obtain that the Picard group of a unirational form of the affine n-space is finite.Soit k un corps quelconque. Dans cet article, on étudie le groupe de Picard des k-groupes algébriques unipotents (lisses et connexes), et plus généralement le groupe de Picard des formes de l'espace affine de dimension n.Afin d'étudier le groupe de Picard d'une forme X de l'espace affine de dimension n avec des méthodes géométrique, on définit un foncteur de Picard"restreint". On montre que si X admet une complétion réguliére, alors le foncteur de Picard "restreint" est représentable par un k-groupe unipotent lisse. Ensuite, on généralise un résultat dû à  B. Totaro : si k est séparablement clos, et si le groupe de Picard d'un k-groupe algébrique unipotent connexe est non trivial, alors il admet une extension non triviale par le groupe multiplicatif. De plus, on obtient que le groupe de Picard d'une forme unirationnelle de l'espace affine de dimension n est fini

Groupes algébriques unirationels

It is well know that any linear smooth connected algebraic group defined over a perfect field is unirational. Over a nonperfect field k, there arenon-unirational linear algebraic groups. In this article, we study the geometry of the unirational k-groups with a focus on the unipotent case.We obtain that for a commutative groups the property of being unirational is invariant by separable field extension. We describe any commutative unirational unipotent k-group as the quotient of some particular unipotent k-group obtain by purely inseparable Weil restriction of the multiplicative group. A consequence is that the Picard group of an unirational solvable k-group is finite, and that the restricted Picard functor of an unirational unipotent k-group is representable by an étale k-algebraic group. Finally, we give examples of unipotent unirational k-group that have only two unirational k-subgroups: themselves and the zero group.Il est bien connu qu’un groupe linéaire lisse connexe sur un corps parfait est unirationel. Sur un corps k non parfait, il y a des groupes algébriques linéaires non unirationel. Dans cet article, nous étudions la géométrie des k-groupes unirational en mettant l’accent sur le cas unipotent.Nous obtenons que pour tout groupe commutatif, la propriété d'être unirationel est invariante par extension séparable. Nous décrivons un k-groupe unipotent unirationel commutatif comme le quotient d’un groupe k unipotent particulier obtenu par une restriction de Weil purement inséparable du groupe multiplicatif. En conséquence, le groupe de Picard d'un groupe de résoluble unirationel est fini et le foncteur de Picard d'un groupe unipotent unirationel est représentée par un k-groupe algébrique étale. Enfin, nous donnons des exemples de k-groupes unipotents unirationel qui ne comportent que deux sous-groupes unirationel: eux-mêmes et le groupe trivial

Groupe de Picard des groupes unipotents sur un corps quelconque

Let k be any field. In this Ph.D. dissertation we study the Picard group of the (smooth connected) unipotent k-algebraic groups.As every unipotent algebraic group is an iterated extension of forms of the additive group, we will study the Picard group of the forms of the additive group. In fact we study the Picard group of forms of the additive group and the affine line simultaneously using a geometric method. We obtain anexplicit upper bound on the torsion of the Picard group of the forms of the affine line and their regular completion, and a sufficient condition for the Picard group of a form of the affine line to be nontrivial. We also give examples of nontrivial forms of the affine line with trivial Picard groups.In general, a unipotent k-algebraic group is a form of the affine n-space. In order to study the Picard group of a form X of the affine n-space with a geometric method, we define a "restricted" Picard functor; we show that if X admits a regular completion then the "restricted" Picard functor is representable by a unipotent k-algebraic group (smooth, not necessarly connected). With this "restricted" Picard functor and geometric arguments we show that the Picard group of a unirational form of the affine n-space is finite. Moreover we generalise a result of B. Totaro: if k is separablyclosed and if the Picard group of a unipotent k-algebraic group is nontrivial then it admits a nontrivial extension by the multiplicative group.Soit k un corps quelconque. Dans cette th±se, on étudie le groupe de Picard des k-groupes algébriques unipotents (lisses et connexes).Tout k-groupe algébrique unipotent est extension itérée de formes du groupe additif; on va donc d'abord s'intéresser au groupe de Picard des formes du groupe additif. L'étude de ce groupe est faite avec une méthode géométrique qui permet de traiter le cas plus général des formes de la droite affine. On obtient ainsi une borne explicite sur la torsion du groupe de Picard desformes de la droite affine et sur la torsion de la composante neutre du foncteur de Picard de leur complétion régulière. De plus, on trouve une condition suffisante pour que le groupe de Picard d'une forme de la droite affinesoit non trivial et on construit des exemples de formes non triviales de la droite affine dont le groupe de Picard est trivial.Un k-groupe algébrique unipotent est une forme de l'espace affine. Afin d'étudier le groupe de Picard d'une forme X de l'espace affine avec une méthode géométrique, on définit un foncteur de Picard "restreint". On montre que si X admet une complétion régulière, alors le foncteur de Picard "restreint" est représentable par un k-groupe unipotent (lisse, non nécessairement connexe).Avec ce foncteur de Picard "restreint" et des raisonnements purement géométriques, on obtient que le groupe de Picard d'une forme unirationnelle de l'espace affine est fini. De plus, on généralise un résultat dû à B. Totaro: si k est séparablement clos, et si le groupe de Picard d'un k-groupe algébrique unipotent commutatif est non trivial, alors il admet une extension non triviale par le groupe multiplicatif

Groupe de Picard des formes de la droite affine et du groupe additif

International audienceWe obtain an explicit upper bound on the torsion of the Picard group of the forms of the affine line and their regular completions. We also obtain a sufficient condition for the Picard group of the forms of the affine line to be non trivial and we give examples of non trivial forms of the affine line with trivial Picard groups