Geometrization in geometry

So far, the most magnificent breakthrough in mathematics in the 21st century is the Geometrization Theorem, a bold conjecture by William Thurston (generalizing Poincaré’s Conjecture) and proved by Grigory Perelman, based on the program suggested by Richard Hamilton. In this survey article, we will explain the statement of this result, also presenting some examples of how it can be used to obtain interesting results in differential geometry

Detection of SARS-CoV-2 lineage P.1 in patients from a region with exponentially increasing hospitalisation rate, February 2021, Rio Grande do Sul, Southern Brazil

The emergence of SARS-CoV-2 P.1 lineage coincided with a surge in hospitalisations in the North region of Brazil. In the South region’s Rio Grande do Sul state, severe COVID-19 case numbers rose 3.8 fold in February 2021. During that month, at a COVID-19 referral hospital in this state, whole-genome sequencing of a subset of cases’ specimens (n = 27) revealed P.1 lineage SARS-CoV-2 in most (n = 24). Findings raise concerns regarding a possible association between lineage P.1 and rapid case and hospitalisation increases

Constant mean curvature hypersurfaces on symmetric spaces, minimal graphs on semidirect products and properly embedded surfaces in hyperbolic 3-manifolds

Provamos resultados sobre a geometria de hipersuperfícies em diferentes espaços ambiente. Primeiro, definimos uma aplicação de Gauss generalizada para uma hipersuperfície Mn-1 c/ Nn, onde N é um espaço simétrico de dimensão n ≥ 3. Em particular, generalizamos um resultado de Ruh-Vilms e apresentamos aplicações. Em seguida, estudamos superfícies em espaços de dimensão 3: estudamos a equação da curvatura média em um produto semidireto R2oAR e obtemos estimativas da altura e a existência de gráficos mínimos do tipo Scherk. Finalmente, no espaço ambiente de uma variedade hiperbólica de dimensão 3: nós apresentamos condições suficientes para que um mergulho completo de uma superfície ∑ de topologia finita em N com curvatura média |H∑| ≤ 1 seja próprio.  We prove results concerning the geometry of hypersurfaces on di erent ambient spaces. First, we de ne a generalized Gauss map for a hypersurface Mn-1 c/ Nn, where N is a symmetric space of dimension n ≥ 3. In particular, we generalize a result due to Ruh-Vilms and make some applications. Then, we focus on surfaces on spaces of dimension 3: we study the mean curvature equation of a semidirect product R2 oA R to obtain height estimates and the existence of a Scherk-like minimal graph. Finally, on the ambient space of a hyperbolic manifold N of dimension 3 we give su cient conditions for a complete embedding of a nite topology surface ∑ on N with mean curvature |H∑| ≤ 1 to be proper

Constant mean curvature hypersurfaces on symmetric spaces, minimal graphs on semidirect products and properly embedded surfaces in hyperbolic 3-manifolds

Provamos resultados sobre a geometria de hipersuperfícies em diferentes espaços ambiente. Primeiro, definimos uma aplicação de Gauss generalizada para uma hipersuperfície Mn-1 c/ Nn, onde N é um espaço simétrico de dimensão n ≥ 3. Em particular, generalizamos um resultado de Ruh-Vilms e apresentamos aplicações. Em seguida, estudamos superfícies em espaços de dimensão 3: estudamos a equação da curvatura média em um produto semidireto R2oAR e obtemos estimativas da altura e a existência de gráficos mínimos do tipo Scherk. Finalmente, no espaço ambiente de uma variedade hiperbólica de dimensão 3: nós apresentamos condições suficientes para que um mergulho completo de uma superfície ∑ de topologia finita em N com curvatura média |H∑| ≤ 1 seja próprio.  We prove results concerning the geometry of hypersurfaces on di erent ambient spaces. First, we de ne a generalized Gauss map for a hypersurface Mn-1 c/ Nn, where N is a symmetric space of dimension n ≥ 3. In particular, we generalize a result due to Ruh-Vilms and make some applications. Then, we focus on surfaces on spaces of dimension 3: we study the mean curvature equation of a semidirect product R2 oA R to obtain height estimates and the existence of a Scherk-like minimal graph. Finally, on the ambient space of a hyperbolic manifold N of dimension 3 we give su cient conditions for a complete embedding of a nite topology surface ∑ on N with mean curvature |H∑| ≤ 1 to be proper

O Laplaciano da aplicação de Gauss de uma hipersuperfície imersa em uma variedade homogênea

Um resultado bem conhecido para variedades diferenciáveis imersas no Rn+1 é que elas têm curvatura média constante se, e somente se, a aplicação de Gauss é harmônica (Teorema de Ruh-Vilms). Tal resultado é uma consequência direta da fórmula: O objetivo desse trabalho é estender tal fórmula para um contexto mais geral, a saber uma hipersuperfície M imersa em um quociente de um grupo de Lie G por um subgrupo H compacto, de tal forma que o resultado obtido por Ruh- Vilms ainda seja válido. Assumiremos como hipótese que G terá uma métrica pseudo-Riemanniana bi-invariante e que exista um campo de vetores n normal a M satisfazendo /n,n/ = 1 em M. Os resultados obtidos nesta dissertação são baseados em dois trabalhos: Constant mean curvature hypersurfaces in a Lie group with a bi-invariant metric e Gauss Map Harmonicity and Mean Curvature of a Hypersurface in a Homogeneous Manifold, aqui denotados por [1] e [2]. Nosso resultado principal (Teorema 2) vem a generalizar o Teorema 4.3 de [2], substituindo a hipótese da métrica Riemanniana por uma métrica pseudo-Riemanniana.A well known result for immersed manifolds in Rn+1 is the Ruh-Vilms Theorem, which states that a manifold has constant mean curvature if and only if its Gauss map is harmonic. This result is an immediate consequence of the formula: This work intends to extend this formula for the more general case of an immersed hypersurface M in a quotient of a Lie Group G by a compact Lie subgroup H, in order to generalize Ruh-Vilms Theorem for such ambient space. We will assume that G has a semi-Riemannian bi-invariant metric, and that there exists a vector eld normal to M which satis es /n,n/ = 1 in M. The results obtained on this work are based in two papers: Constant mean curvature hypersurfaces in a Lie group with a bi-invariant metric and Gauss Map Harmonicity and Mean Curvature of a Hypersurface in a Homogeneous Manifold, cited in this work as [1] and [2]. Our main result (Theorem 2) generalizes Theorem 4.3 of [2], replacing the Riemannian metric in the hypothesis with a semi-Riemannian metric