Multiple point spaces of finite holomorphic maps

Esta tesis trata sobre espacios múltiples de aplicaciones holomorfas finitas entre variedades complejas. Nuestro enfoque es el de la teoría de singularidades, y las aplicaciones serán consideradas bajo la relación de A-equivalencia, es decir, salvo cambios de coordenadas en partida y llegada. Nos centramos en relacionar propiedades de los espacios de puntos múltiples con propiedades como la A-estabilidad y la A-determinación finita. En generaEl trabajo está organizado de la siguiente manera: El Capítulo 1 contiene los fundamentos básicos necesarios para el resto del trabajo. En el Capítulo 2 definimos los espacios de puntos múltiples de una aplicación. Demostramos que solo hay una manera de definir estos espacios de forma que satisfagan ciertas propiedades. En trabajos anteriores, T. Gaffney introduce un método para calcular estos espacios de puntos múltiples. Este método, aunque teóricamente realizable, es habitualmente impracticable. En la Sección las siguiente introducimos los ideales de Mond, que nos permiten obtener fácilmente los puntos múltiples de gérmenes de corrango 1. En las secciones subsiguientes introducimos otros tipos de espacios de puntos múltiples, definidos en espacios ambientes diferentes del habitual. Por último, obtendremos un diagrama que relaciona estos espacios. El capítulo 3 está dedicado enteramente a los puntos dobles. Primero introducimos el haz de ideales de Mond de una aplicación con puntos de cualquier corrango. Veremos que esta estructura también define los puntos múltiples introducidos en el capítulo 2. También describiremos el conjunto singular del espacio de puntos dobles de una aplicación estable. En la última sección probamos que una estructura alternativa para los puntos múltiples, no satisface las condiciones del capítulo anterior. En el Capítulo 4 introducimos otro espacio de puntos dobles, esta vez definido en el blowing-up del producto cartesiano del dominio consigo mismo a lo largo de su diagonal. Este espacio, que ya habían sido estudiado por F. Ronga, Kleiman y otros, resulta muy interesante en el caso de corrango mayor o igual a 2. En el Capítulo 5 estudiamos gérmenes de aplicaciones del plano en el 3-espacio, extendiendo a corrango 2 algunos resultados ya conocidos en corrango 1

Image Milnor Number Formulas for Weighted-Homogeneous Map-Germs

We give formulas for the image Milnor number of a weighted-homogeneous map-germ $(\mathbb{C}^n,0)\to(\mathbb{C}^{n+1},0)$, for $n=4$ and $5$, in terms of weights and degrees. Our expressions are obtained by a purely interpolative method, applied to a result by Ohmoto. We use our approach to recover the formulas for $n=2$ and $3$ due to Mond and Ohmoto, respectively. For $n\geq 6$, the method is valid as long as certain multi-singularity conjecture holds.BERC.2014-2017, MINECO.Severo Ochoa.SEV-2013-0323

TOPOLOGICAL INVARIANTS AND MILNOR FIBER FOR A-FINITE GERMS C^2 → C^3

This note is the observation that a simple combination of known results shows that the usual analytic invariants of a finitely determined multi-germ f : (C^2 , S) → (C^3 , 0) —namely, the image Milnor number , the number of cross-caps and triple points, C and T, and the Milnor number μ(Σ) of the curve of double points in the target—depend only on the embedded topological type of the image of f. As a consequence, one obtains the topological invariance of the sign-refined Smale invariant for immersions j : S^3 → S^5 associated to finitely determined map germs (C^2 , 0) → (C^3 , 0)