Correlated Brownian Motions as an Approximation to Deterministic Mean-Field Dynamics

We analyze the transition from deterministic mean-field dynamics of several large particles and infinitely many small particles to a stochastic motion of the large particles. In this transition the small particles become the random medium for the large particles, and the motion of the large particles becomes stochastic. Under the assumption that the empirical velocity distribution of the small particles is governed by a probability density F, the mean-field force can be represented as the negative gradient of a scaled version of F. The stochastic motion is described by a system of stochastic ordinary differential equations driven by Gaussian space-time white noise and the mean-field force as a shift-invariant integral kernel. The scaling preserves a small parameter in the transition, the so-called correlation length. In this set-up, the separate motion of each particle is a classical Brownian motion (Wiener process), but the joint motion is correlated through the mean-field force and the noise. Therefore, it is not Gaussian. The motion of two particles is analyzed in detail and a diffusion equation is deduced for the difference in the positions of the two particles. The diffusion coefficient in the latter equation is spatially dependent, which allows us to determine regions of attraction and repulsion of the two particles by computing the probability fluxes. The result is consistent with observations in the applied sciences, namely that Brownian particles get attracted to one another if the distance between them is smaller than a critical small parameter. In our case, this parameter is shown to be proportional to the aforementioned correlation length.Проаналізовано перехід від детерміністської динаміки середнього поля декількох великих частинок та нескінченної кількості малих частинок до стохастичного руху великих частинок. Під час цього переходу маленькі частинки перетворюються у випадкове середовище для великих частинок, а рух великих частинок стає стохастичним. Якщо припустити, що розподіл емпіричної швидкості малих частинок визначається щільністю розподілу F, то силу середнього поля можна подати як від'ємний градієнт масштабного перетворення F. Стохастичний рух описано системою стохастичних звичайних диференціальних рівнянь, керованих гауссовим просторово-часовим білим шумом та силою середнього поля як інтегральним ядром, інваріантним відносно зсуву. Масштабування зберігає малий параметр при переході (так звану довжину кореляції). У даній постановці окремий рух кожної частинки є класичним броунівським рухом (вінерівським процесом), але спільний рух корелюється силою середнього поля і шумом. Тому він не є гауссівським. Детально проаналізовано рух двох частинок і виведено рівняння дифузії для різниці положень двох частинок. Коефіцієнт дифузії в останньому рівнянні є просторово залежним, що дозволяє визначити області притягання та відштовхування двох частинок шляхом розрахунку течій імовірностей. Результат узгоджується із спостереженнями у прикладних науках, а саме, з фактом, що броунівські частинки притягуються одна до одної, якщо відстань між ними менша за критичний малий параметр. У випадку, що вивчається, показано, що цей параметр пропорціональний згаданій вище довжині кореляції

A particle system with explosions: law of large numbers for the density of particles and the blow-up time

Consider a system of independent random walks in the discrete torus with creation-annihilation of particles and possible explosion of the total number of particles in finite time. Rescaling space and rates for diffusion/creation/annihilation of particles, we obtain a stong law of large numbers for the density of particles in the supremum norm. The limiting object is a classical solution to the semilinear heat equation u_t =u_{xx} + f(u). If f(u)=u^p, 1<p \le 3, we also obtain a law of large numbers for the explosion time

Systemic Risk and Default Clustering for Large Financial Systems

As it is known in the finance risk and macroeconomics literature, risk-sharing in large portfolios may increase the probability of creation of default clusters and of systemic risk. We review recent developments on mathematical and computational tools for the quantification of such phenomena. Limiting analysis such as law of large numbers and central limit theorems allow to approximate the distribution in large systems and study quantities such as the loss distribution in large portfolios. Large deviations analysis allow us to study the tail of the loss distribution and to identify pathways to default clustering. Sensitivity analysis allows to understand the most likely ways in which different effects, such as contagion and systematic risks, combine to lead to large default rates. Such results could give useful insights into how to optimally safeguard against such events.Comment: in Large Deviations and Asymptotic Methods in Finance, (Editors: P. Friz, J. Gatheral, A. Gulisashvili, A. Jacqier, J. Teichmann) , Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, Vol. 110 2015

Microscopic Models for Chemical Thermodynamics

We introduce an infinite particle system dynamics, which includes stochastic chemical kinetics models, the classical Kac model and free space movement. We study energy redistribution between two energy types (kinetic and chemical) in different time scales, similar to energy redistribution in the living cell. One example is considered in great detail, where the model provides main formulas of chemical thermodynamics

Stochastic Reaction-diffusion Equations Driven by Jump Processes

We establish the existence of weak martingale solutions to a class of second order parabolic stochastic partial differential equations. The equations are driven by multiplicative jump type noise, with a non-Lipschitz multiplicative functional. The drift in the equations contains a dissipative nonlinearity of polynomial growth.Comment: See journal reference for teh final published versio

Stochastic models for uncertain flexible systems

If a spectral operator is perturbed by an infinite-dimensional white noise process, it generates a stochastic evolution operator which has well defined second order properties. This type of stochastic bilinear spectral evolution equation may be used to model uncertainty of the higher modes in flexible systems. Three typical examples of flexible beams with bilinear white noise perturbations are analysed in detail and conditions are given for the existence of a steady state covariance operator