3 research outputs found
First passage times as a measure of hysteresis in stochastic gene regulatory circuits
GAIN Oportunius Grant from Xunta de Galicia.[Abstract]: In the context of phenotype switching and cell fate determination, numerousexperimental studies report hysteresis, despite the fact that the (forward) Chemical Master Equation governing the inherently stochastic underlying gene regulatory networks has a unique steady state (precluding memory effects and hysteresis). In previous works, we demonstrate thathysteresis is a transient phenomenon in systems far from the thermodynamic limit, using the convergence rates of the partial integro-differential equation associated to the forward master equation governing the stochastic process. Here, we make use of the backward master equationto quantify hysteresis and irreversibility based on First Passage Times. First, we derive the backward master equation for a gene regulatory network with protein production in bursts. Solving this equation, we obtain the probability distributions of the first times to reach some fixed final state from one starting state. The mean first passage time provides a measure to quantify how hysteresis and irreversibility in gene regulation at the singlecell level are transient effects that vanish at steady state. In addition, we provide a theoretical basis that reconciles phenotype coexistence and prevalence far from the thermodynamic limit. In fact, we substitute the notion of pseudo-potential (the so-called Waddington landscape) by a time evolving landscape built upon the Chemical Master Equation (CME) in which phenotypes,rather than prevail, persist with different intensities.Ministerio de Ciencia e Innovación/Agencia Estatal de Investigación; FJC2019-041397-
Feedback control of stochastic gene switches using PIDE models
[Abstract]: Achieving control of gene regulatory circuits is one of the goals of synthetic biology, as a way to regulate cellular functions for useful purposes (in biomedical, environmental or industrial applications). The inherent stochastic nature of gene expression makes it challenging to control the behavior of gene regulatory networks, and increasing efforts are being devoted in the field to address different control problems. In this work, we combine the efficient modeling of stochastic gene regulatory networks by means of Partial Integro-Differential Equations with feedback control, in order to keep protein levels at the target (pre-defined) stationary probability distribution. In particular, we achieve the closedloop stabilization of bi-modal toggle-switches in the stochastic regime within the region of low probability (around the minimum located between the two modes of the uncontrolled system).GAIN Oportunius Grant Xunta de Galici
Modelado, análise matemática e simulación numérica para unha clase xeral de redes de regulación xenética
The research work developed in this thesis is mainly oriented to the mathematical
modelling of biological systems, the behaviour of which is inherently stochastic, as it
is the case of gene regulatory networks. Their relevance emerges from the fact that
all necessary information for life cycle is encoded in the DNA. Consequently, the
study of DNA expression, transcription into messenger RNA and translation into
proteins, together with their regulation becomes essential to predict cells response
to environmental signals.
The inherent stochastic nature of gene expression makes these systems to be far
away from the classical kinetic limit where the (macroscopic) deterministic methods
are valid. In modelling these systems, we need to employ microscopic methods which
incorporate the underlying stochastic behaviour. The Chemical Master Equation
(CME) remains at the basis for the modelling of these phenomena. However, a
closed form solution of the CME is unavailable in general, due to the large number
(eventually infinity) of coupled equations. A widespread technique to approximate
the CME solution is the Stochastic Simulation Algorithm (SSA), a computationally
involved Monte Carlo type method.
Although many numerical approximations emerge to reduce the complexity of
the CME, we will focus on the Partial Integro-Differential Equation (PIDE) or Friedman
model, which represents a continuous approximation of the CME. For the one
dimensional version (self-regulation), the PIDE model has an analytic solution for
its steady state. This fact will allow us to characterize the regions in the space of
parameters in which the system changes its behaviour (unimodal, bimodal). Also
we have carried out an stability analysis by means of entropy methods.
Moreover, we obtain a multidimensional version of the Friedman model to handle more complex gene regulatory networks with more than one gene. The mathematical
properties of the corresponding equation will be exhaustively analyzed, also with
special emphasis on stability of the solution using entropy methods.
In addition, we propose two semi-Lagrangian methods for the numerical solution
of the multidimensional model. The first method results very efficient and scalable
to higher dimensions, as the numerical results illustrate, although in practice exhibits
first order convergence in time and space. Solutions provided by the proposed
method are compared with those obtained by SSA to assess efficiency, accuracy
and computational costs. For the second semi-Lagrangian method we develop the
theoretical numerical analysis, thus proving second order convergence in time and
space. This is clearly illustrated by a numerical example. However, the computational
cost of this second approach results much higher, so that the scalability to
higher dimensions seems a difficult task.
All the numerical techniques have been implemented on a user friendly toolbox
(SELANSI) which is detailed in the Appendix.El trabajo de investigación se orienta al modelado matemático de sistemas biológicos
que debido a su naturaleza presentan un carácter estocástico, entre los que se
encuentran las redes de regulación genética. La importancia de estas radica en que
toda la información para las funciones vitales de los seres vivos está codificada en
el ADN. Por tanto, el estudio de la expresión del ADN, transcripción en ARN mensajero
y traducción en proteinas, junto con su regulación, se convierte en esencial
para predecir las respuestas de las células a se˜nales ambientales.
La estocasticidad de los sistemas de regulación genética les hace estar lejos del
clásico límite cinético para el cual los métodos deterministas (macroscópicos) tienen
validez. En el modelado de estos sistemas surge la necesidad de emplear modelos
microscópicos que incorporen el carácter estocástico subyacente. La Chemical Master
Equation (CME) está en la base para el modelado de estos fenómenos. Sin embargo,
no es posible obtener una solución de las CME en la mayoría de casos debido al
gran número, incluso infinito, de ecuaciones acopladas. Una de las técnicas más
extendidas para obtener esta solución es el empleo de métodos de Montecarlo, como
el Stochastic Simulation Algoritm (SSA), aunque es numéricamente costoso.
A pesar de la existencia de muchas aproximaciones para reducir la complejidad
de la CME, nos centramos en las ecuaciones integro-diferenciales parciales o modelos
de Friedman. Son una aproximación continua de las CME, que en su versión
unidimensional (autorregulación) tienen una solución analítica para el estado estacionario.
Este hecho nos permitirá caracterizar las regiones del espacio de parámetros
en las cuales el sistema cambia su comportamiento (unimodal, bimodal). Además,
hemos realizado un análisis de su estabilidad usando métodos de entropía.
También se ha desarrollado una versión multidimensional del modelo de Friedman para poder manejar redes de regulación genética más complejas con más de
un gen. Las propiedades matemáticas de este modelo serán analizadas en profundidad,
haciendo especial hincapié en la estabilidad de la solución usando métodos de
entropía.
Además, se han propuesto dos métodos semi-Lagrangianos para la resolución
numérica del modelo multidimensional desarrollado. El primer método resulta ser
muy eficiente y escalable para dimensiones altas, como muestran los resultados
numéricos, a pesar de tener orden uno de convergencia en espacio y tiempo. Las
soluciones obtenidas con el método propuesto se comparan con aquellas obtenidas
usando el SSA para evaluar su eficiencia, precisión y costes computacionales. Para
el segundo método semi-Lagrangiano realizamos un análisis numérico teórico, probando
orden de convergencia dos tanto en tiempo como en espacio. Esto se ilustrada
claramente en un ejemplo numérico. Sin embargo, el coste computacional de este segundo
método es mucho más alto, provocando que la escalabilidad para dimensiones
altas sea una tarea difícil.
Todas estas técnicas de resolución numérica han sido programadas e incluidas
en una herramienta informática de fácil uso (SELANSI), que se detalla en el
Apéndice.O traballo de investigación oriéntase ó modelado matemático de sistemas biolóxicos
que debido a súa natureza presentan un carácter estocástico, entre os que se
atopan as redes de regulación xenética. A importancia destas radica en que toda
a información para as funcións vitais dos seres vivos está codificada no ADN. Polo
tanto, o estudo da expresión do ADN, transcrición en ARN mensaxeiro e tradución
en proteinas, xunto coa súa regulación, convértese esencial para predicir as respostas
das células a sinais ambientais.
A estocasticidade dos sistemas de regulación xenética fainos estar lonxe do clásico
límite cinético para o cal os métodos deterministas (macroscópicos) te˜nen validez.
No modelado destes sistemas xurde a necesidade de empregar modelos microscópicos
que incorporen o carácter estocástico subxacente. A Chemical Master Equation
(CME) está na base para o modelado destes fenómenos. Sen embargo, non é posible
obter unha solución das CME na maioría de casos debido ó gran número, incluso
infinito, de ecuacións acopladas. Unha das técnicas máis estendidas para obter esta
solución é o uso de métodos de Monte Carlo, como o Stochastic Simulation Algoritm
(SSA) aínda que é numéricamente custoso.
A pesar da existencia de moitas aproximacións para reducir a complexidade da
CME, centrámonos nas ecuacións integro-diferenciais parciais ou modelos de Friedman.
Son unha aproximación continua das CME que na súa versión unidimensional
(autorregulación) te˜nen unha solución analítica para o estado estacionario. Este feito
permitiranos caracterizar as rexións no espazo de parámetros nas que o sistema
cambia o seu comportamento (unimodal, bimodal). Ademais levouse a cabo unha
análise da súa estabilidade usando métodos de entropía.
Desenvolveuse unha versión multidimensional do modelo de Friedman para poder manexar redes de regulación xenética máis complexas con máis dun xene. As
propiedades matemáticas deste modelo serán analizadas en profundidade, facendo
especial fincapé na estabilidade da solución usando métodos de entropía.
Ademais, propuxéronse dous métodos semi-Lagranxianos para a resolución numérica
do modelo multidimensional desenvolto. O primeiro método resulta ser moi eficiente e escalable para dimensións altas, como mostran os resultados numéricos, a
pesares de ter orde un de converxencia en espazo e tempo. As solucións obtidas
co método proposto compáranse con aquelas obtidas usando o SSA para avaliar
a súa eficiencia, precisión e custes de computación. Para o segundo método semiLagranxiano
realizamos unha análise numérica teórica, probando orde dúas de converxencia
en tempo e espazo. Isto é claramente ilustrado nun exemplo numérico.
Sen embargo, o custe de computación deste segundo método é moito máis alto provocando
que a escalabilidade para dimensións altas sexa unha tarefa difícil.
Todas estas técnicas de resolución numérica foron programadas e incluidas nunha
ferramenta informática de fácil uso (SELANSI), que é detallada no Apéndice.Ministerio de Economía y Competitividad de España (BES-2013-063112)Ministerio de Economía y Competitividad de España (EEBB-I-16-10540)Ministerio de Economía y Competitividad de España (EEBB-I-17-12182)Ministerio de Economía y Competitividad de España (AGL2012-29951-C02-01)Ministerio de Economía y Competitividad de España (MTM 2016-76497-R