Solving kk-SUM using few linear queries

The $k$-SUM problem is given $n$ input real numbers to determine whether any $k$ of them sum to zero. The problem is of tremendous importance in the emerging field of complexity theory within $P$, and it is in particular open whether it admits an algorithm of complexity $O(n^c)$ with $c<\lceil \frac{k}{2} \rceil$. Inspired by an algorithm due to Meiser (1993), we show that there exist linear decision trees and algebraic computation trees of depth $O(n^3\log^3 n)$ solving $k$-SUM. Furthermore, we show that there exists a randomized algorithm that runs in $\tilde{O}(n^{\lceil \frac{k}{2} \rceil+8})$ time, and performs $O(n^3\log^3 n)$ linear queries on the input. Thus, we show that it is possible to have an algorithm with a runtime almost identical (up to the $+8$) to the best known algorithm but for the first time also with the number of queries on the input a polynomial that is independent of $k$. The $O(n^3\log^3 n)$ bound on the number of linear queries is also a tighter bound than any known algorithm solving $k$-SUM, even allowing unlimited total time outside of the queries. By simultaneously achieving few queries to the input without significantly sacrificing runtime vis-\`{a}-vis known algorithms, we deepen the understanding of this canonical problem which is a cornerstone of complexity-within-$P$. We also consider a range of tradeoffs between the number of terms involved in the queries and the depth of the decision tree. In particular, we prove that there exist $o(n)$-linear decision trees of depth $o(n^4)$

La représentation du genre féminin et de la sexualité féminine dans les fictions télévisuelles québécoises de 1960 à 2005

Depuis l'arrivée de Radio-Canada en 1952, la télévision fait partie intégrante de la vie des Québécois. L'impact de ce médium, et particulièrement celui des téléromans, dans l'établissement de nouvelles normes sociales a été maintes fois traité et démontré. Dans cette recherche, nous voulons comprendre comment évoluent les rapports de pouvoir genrés entre les hommes et les femmes à travers la sexualité représentée dans les fictions télévisées de 1960 à 2005. Ces années sont marquées par une remise en question majeure du rôle des femmes dans la société québécoise et par une plus grande prévalence de la sexualité dans les médias. À travers un échantillon de personnages féminins issus d'une dizaine de fictions ayant connu une grande popularité, nous analyserons les manifestations de la sexualité féminine qui y sont véhiculées. Nous entendons par représentation de la sexualité féminine, les manifestations du désir sexuel chez la femme ou toutes les scènes présentant une relation sexuelle (explicite ou sous-entendue) ou encore y faisant référence. Cette problématique générale se décline en deux volets : d'une part, nous examinerons la représentation de la sexualité féminine comme phénomène culturel; d'autre part, nous dégagerons les rapports de pouvoir, implicitement ou explicitement illustrés à travers cette même sexualité exposée à l'écran. Trois grandes périodes se dégagent à la lumière de notre analyse, chacune faisant l'objet d'un chapitre. De 1960 à 1985, la sexualité féminine demeure plutôt suggérée à l'écran et sa représentation, parfois en décalage avec les mouvements féministes de l'heure, oscille entre convenance et remise en question. Les années 1985-1995 marquent la reconnaissance du plaisir féminin, à un moment où la réappropriation du corps des femmes s'impose comme un enjeu majeur de la scène féministe. La décennie suivante est caractérisée par des questionnements sur la représentation du corps des femmes et par la diversité de leur expérience sexuelle. Cette recherche, en plus de générer des connaissances nouvelles sur la représentation des femmes à la télévision au Québec, vise à susciter une réflexion sur la sexualité comme lieu de pouvoir et de contrôle du corps. -- Mot(s) clé(s) en français : Genre, femmes, médias, télévision

Rectilinear Link Diameter and Radius in a Rectilinear Polygonal Domain

We study the computation of the diameter and radius under the rectilinear link distance within a rectilinear polygonal domain of $n$ vertices and $h$ holes. We introduce a \emph{graph of oriented distances} to encode the distance between pairs of points of the domain. This helps us transform the problem so that we can search through the candidates more efficiently. Our algorithm computes both the diameter and the radius in $\min \{\,O(n^\omega), O(n^2 + nh \log h + \chi^2)\,\}$ time, where $\omega<2.373$ denotes the matrix multiplication exponent and $\chi\in \Omega(n)\cap O(n^2)$ is the number of edges of the graph of oriented distances. We also provide a faster algorithm for computing the diameter that runs in $O(n^2 \log n)$ time

Subquadratic Encodings for Point Configurations

For many algorithms dealing with sets of points in the plane, the only relevant information carried by the input is the combinatorial configuration of the points: the orientation of each triple of points in the set (clockwise, counterclockwise, or collinear). This information is called the order type of the point set. In the dual, realizable order types and abstract order types are combinatorial analogues of line arrangements and pseudoline arrangements. Too often in the literature we analyze algorithms in the real-RAM model for simplicity, putting aside the fact that computers as we know them cannot handle arbitrary real numbers without some sort of encoding. Encoding an order type by the integer coordinates of a realizing point set is known to yield doubly exponential coordinates in some cases. Other known encodings can achieve quadratic space or fast orientation queries, but not both. In this contribution, we give a compact encoding for abstract order types that allows efficient query of the orientation of any triple: the encoding uses O(n^2) bits and an orientation query takes O(log n) time in the word-RAM model with word size w >= log n. This encoding is space-optimal for abstract order types. We show how to shorten the encoding to O(n^2 {(log log n)}^2 / log n) bits for realizable order types, giving the first subquadratic encoding for those order types with fast orientation queries. We further refine our encoding to attain O(log n/log log n) query time at the expense of a negligibly larger space requirement. In the realizable case, we show that all those encodings can be computed efficiently. Finally, we generalize our results to the encoding of point configurations in higher dimension

Encoding 3SUM

We consider the following problem: given three sets of real numbers, output a word-RAM data structure from which we can efficiently recover the sign of the sum of any triple of numbers, one in each set. This is similar to a previous work by some of the authors to encode the order type of a finite set of points. While this previous work showed that it was possible to achieve slightly subquadratic space and logarithmic query time, we show here that for the simpler 3SUM problem, one can achieve an encoding that takes $\tilde{O}(N^{\frac 32})$ space for inputs sets of size $N$ and allows constant time queries in the word-RAM

Algorithms and Data Structures for 3SUM and Friends

Les problèmes 3SUM, k-SUM, et GPT sont considérés comme des problèmes clés de la classe de complexité P en ce qu'ils capturent la complexité de nombreux autres problèmes de cette classe.Malgré leur ancienneté dans le paysage de la géométrie algorithmique, de nombreuses questions au sujet de ces problèmes clés restent encore non résolues.Dans cette thèse nous developpons de nouveaux algorithmes et structures dedonnées pour ces problèmes: A) Nous donnons le premier algorithme efficace pour k-SUM utilisant peu de requêtes pour résoudre le problème. B) Nous définissons un problème intermediaire à 3SUM et GPT, 3POL, et montrons que les techniques existantes pour 3SUM peuvent être généralisées pour obtenir des algorithmes sous-quadratiques pour 3POL. C) Nous montrons que l'information combinatoire contenue dans une instance du problème GPT peut être encodée en un nombre sous-quadratique de bits tout en permettant l'accès efficace à cette information. D) Nous montrons que le nombre de bits d'un tel encodage peut être encore réduit significativement pour les instances obtenues à partir de la réduction du problème 3SUM.Ces nouveaux résultats nous permettent de mieux comprendre la nature fondamentale de ces problèmes. Par exemple, le point B) nous permet de résoudre certaines instances de GPT en temps sous-quadratique en exploitant leur structure.Malgré nos efforts, certaines questions restent encore ouvertes. On ne sait par exemple toujours pas si GPT admet un algorithme en temps sous-quadratique, uniforme ou non, dans les modèles de calculs habituellement étudiés.Nous espérons que les résultats développés dans cette thèse amènerons un jour, directement ou indirectement, à la résolution d'une ou plusieurs de ces questions ouvertes.This thesis is a compilation of the contributions from four papers: A) Solving k-SUM Using Few Linear Queries with Jean Cardinal and John Iacono. B) Subquadratic Algorithms for Algebraic 3SUM with Luis Barba, Jean Cardinal, John Iacono, Stefan Langerman, and Noam Solomon. C) Subquadratic Encodings for Point Configurations with Jean Cardinal, Timothy Chan, John Iacono, and Stefan Langerman. D) Encoding 3SUM with Sergio Cabello, Jean Cardinal, John Iacono, Stefan Langerman, and Pat Morin.Option Informatique du Doctorat en Sciencesinfo:eu-repo/semantics/nonPublishe

Subquadratic-Space Query-Efficient Data Structures for Realizable Order Types

info:eu-repo/semantics/publishe

Subquadratic Encodings for Point Configurations

For most algorithms dealing with sets of points in the plane, the only relevant information carried by the input is the combinatorial configuration of the points: the orientation of each triple of points in the set (clockwise, counterclockwise, or collinear). This information is called the order type of the point set. In the dual, realizable order types and abstract order types are combinatorial analogues of line arrangements and pseudoline arrangements. Too often in the literature we analyze algorithms in the real-RAM model for simplicity, putting aside the fact that computers as we know them cannot handle arbitrary real numbers without some sort of encoding. Encoding an order type by the integer coordinates of some realizing point set is known to yield doubly exponential coordinates in some cases. Other known encodings can achieve quadratic space or fast orientation queries, but not both. In this contribution, we give a compact encoding for abstract order types that allows efficient query of the orientation of any triple: the encoding uses O(n^2) bits and an orientation query takes O(log n) time in the word-RAM model. This encoding is space-optimal for abstract order types. We show how to shorten the encoding to O(n^2 (loglog n)^2 / log n) bits for realizable order types, giving the first subquadratic encoding for those order types with fast orientation queries. We further refine our encoding to attain O(log n/loglog n) query time without blowing up the space requirement. In the realizable case, we show that all those encodings can be computed efficiently. Finally, we generalize our results to the encoding of point configurations in higher dimension.info:eu-repo/semantics/publishe

Subquadratic Algorithms for Algebraic Generalizations of 3SUM

info:eu-repo/semantics/publishe