Metastability in Loss Networks with Dynamic Alternative Routing

Consider $N$ stations interconnected with links, each of capacity $K$, forming a complete graph. Calls arrive to each link at rate $\lambda$ and depart at rate $1$. If a call arrives to a link $x y$, connecting stations $x$ and $y$, which is at capacity, then a third station $z$ is chosen uniformly at random and the call is attempted to be routed via $z$: if both links $x z$ and $z y$ have spare capacity, then the call is held simultaneously on these two; otherwise the call is lost. We analyse an approximation of this model. We show rigorously that there are three phases according to the traffic intensity $\alpha := \lambda/K$: for $\alpha \in (0,\alpha_c) \cup (1,\infty)$, the system has mixing time logarithmic in the number of links $n := \binom N2$; for $\alpha \in (\alpha_c,1)$ the system has mixing time exponential in $n$, the number of links. Here $\alpha_c := \tfrac13 (5 \sqrt{10} - 13) \approx 0.937$ is an explicit critical threshold with a simple interpretation. We also consider allowing multiple rerouting attempts. This has little effect on the overall behaviour; it does not remove the metastability phase. Finally, we add trunk reservation: in this, some number $\sigma$ of circuits are reserved; a rerouting attempt is only accepted if at least $\sigma+1$ circuits are available. We show that if $\sigma$ is chosen sufficiently large, depending only on $\alpha$, not $K$ or $n$, then the metastability phase is removed.Comment: v2. Improved description of the path coupling. Title updated. Second author's name updated from "Thomas" to "Olesker-Taylor". To appear in AA

Geometric Bounds on the Fastest Mixing Markov Chain

In the Fastest Mixing Markov Chain problem, we are given a graph $G = (V, E)$ and desire the discrete-time Markov chain with smallest mixing time $\tau$ subject to having equilibrium distribution uniform on $V$ and non-zero transition probabilities only across edges of the graph. It is well-known that the mixing time $\tau_\textsf{RW}$ of the lazy random walk on $G$ is characterised by the edge conductance $\Phi$ of $G$ via Cheeger's inequality: $\Phi^{-1} \lesssim \tau_\textsf{RW} \lesssim \Phi^{-2} \log |V|$. Analogously, we characterise the fastest mixing time $\tau^\star$ via a Cheeger-type inequality but for a different geometric quantity, namely the vertex conductance $\Psi$ of $G$: $\Psi^{-1} \lesssim \tau^\star \lesssim \Psi^{-2} (\log |V|)^2$. This characterisation forbids fast mixing for graphs with small vertex conductance. To bypass this fundamental barrier, we consider Markov chains on $G$ with equilibrium distribution which need not be uniform, but rather only $\varepsilon$-close to uniform in total variation. We show that it is always possible to construct such a chain with mixing time $\tau \lesssim \varepsilon^{-1} (\operatorname{diam} G)^2 \log |V|$. Finally, we discuss analogous questions for continuous-time and time-inhomogeneous chains.Comment: 31 page

Simulación: desafíos y oportunidades para la enseñanza de la probabilidad

El desarrollo de la informática y la aparición de los software de simulación de experiencias aleatorias nos llevan a interesarnos sobre la enseñanza de la probabilidad desde su acepción frecuencial. En particular, este trabajo tiene el objeto de mostrar la enorme potencialidad que puede tener esta herramienta para la enseñanza de la probabilidad en la enseñanza media. La simulación brindará a los estudiantes la oportunidad de vivenciar experiencias aleatorias y resolver problemas de probabilidad que de otra manera no se podrían resolver a este nivel. Por lo tanto, estamos convencidos que a través de la simulación el pensamiento aleatorio de los estudiantes evolucionará favorablemente, además de darles la oportunidad de enfrentarse y superar algunas ideas erróneas sobre el azar y la probabilidad. Ahora bien, la simulación en el aula tiene sus dificultades, y como docentes debemos estar atentos a ellas y tenerlas en cuenta a la hora de planificar actividades de simulación. Es por esto que, afirmamos que el docente tiene un rol fundamental en las actividades de simulación en el aula. Finalmente presentamos en este trabajo algunas ideas concretas de secuencias didácticas usando simuladores para la enseñanza media

Significado dado a los fenómenos aleatorios en el contexto de la enseñanza media uruguaya

Se presenta un avance de investigación acerca del significado que los estudiantes de enseñanza secundaria asignan a los fenómenos aleatorios, y cómo manejan éstos las ideas vinculadas a la probabilidad frecuencial. Existen ciertos conceptos vinculados al azar y a la probabilidad que son bastante contraintuitivos, por lo que muchas veces los significados que los estudiantes atribuyen a ellos no son matemáticamente correctos. Ello pudiera ser un obstáculo a la hora del aprendizaje de la probabilidad. Se elaboró un cuestionario y se aplico en grupos de tercer y sexto año de enseñanza media en Montevideo. De esta manera determinaremos el significado personal que los estudiantes dan al azar y a sus características. Es también intención de este trabajo acercarse al significado de probabilidad vigente en la institución escolar del Uruguay y cuál es el tratamiento didáctico dado al tema. Esto se realizará a través del análisis de los currículos vigentes, libros de texto y trabajos elaborados por docentes de la enseñanza media del Uruguay

Geometry of random Cayley graphs of Abelian groups

Consider the random Cayley graph of a finite Abelian group G with respect to k generators chosen uniformly at random, with 1≪logk≪log|G|. Draw a vertex U∼Unif(G). We show that the graph distance dist(id,U) from the identity to U concentrates at a particular value M, which is the minimal radius of a ball in Zk of cardinality at least |G|, under mild conditions. In other words, the distance from the identity for all but o(|G|) of the elements of G lies in the interval [M−o(M),M+o(M)]. In the regime k≳log|G|, we show that the diameter of the graph is also asymptotically M. In the spirit of a conjecture of Aldous and Diaconis (Technical Report 231 (1985)), this M depends only on k and |G|, not on the algebraic structure of G.Write d(G) for the minimal size of a generating subset of G. We prove that the order of the spectral gap is |G|−2/k when k−d(G)≍k and |G| lies in a density-1 subset of N or when k−2d(G)≍k. This extends, for Abelian groups, a celebrated result of Alon and Roichman (Random Structures Algorithms 5 (1994) 271–284). The aforementioned results all hold with high probability over the random Cayley graph

El cine como herramienta didáctica para aprender matemática

En el ámbito educativo, en general, se prioriza el lenguaje escrito sobre el visual. Sin embargo, los materiales audiovisuales vienen tomando una importancia superlativa en el ámbito educativo. Consideramos que el lenguaje escrito es muy importante, pues es fundamental para que el estudiante acceda a la cultura en general y al mundo académico en particular. Sin desmedro de ello, lo visual tiene una importancia creciente en el mundo que nos rodea, y esto tiene que hacer eco en el aula. La educación es parte de esta sociedad que está cada vez más influida por el lenguaje visual, y debe preparar al estudiante para que éste pueda vivir críticamente en ella. Consideramos que ver una película tiene mucho valor y vigencia, nos enriquece como personas, nos hace más críticos, nos ofrece vivencias y puntos de vista diferentes. Esto es lo que queremos llevar al aula. Evidentemente trasciende a la clase de matemática, pero no queremos que nos sea ajeno, por eso desde hace algunos años nos hemos propuesto trabajar con películas en el aula. En esta charla presentaremos dos actividades basadas en escenas de películas comerciales, con el objetivo de compartir nuestra experiencia con el cine en la clase de matemática