17 research outputs found
Attractors in spacetimes and time functions
We develop a new approach to the existence of time functions on Lorentzian
manifolds, based on Conley's work regarding Lyapunov functions for dynamical
systems. We recover Hawking's result that a stably causal admits a time
function through a more general result giving the existence of a continuous
function that is non decreasing along all future directed causal curves, and
increasing along such curves that lie outside a special region of the
spacetime, called the chain recurrent set, which is empty for stably causal
spacetimes. The construction is based on a notion of attractive sets in
spacetimes.Comment: 26 pages, 2 figure
Convergence groups and semi conjugacy
We study a simple problem that arises from the study of Lorentz surfaces and
Anosov flows. For a non decreasing map of degree one , we are interested in groups of circle diffeomorphisms that act
on the complement of the graph of in by
preserving a volume form. We show that such groups are semi conjugate to
subgroups of , and that when , we have a topological conjugacy. We also
construct examples, where is not continuous, for which there is no such
conjugacy.Comment: 27 pages, 7 figures. arXiv admin note: text overlap with
arXiv:1402.042
Regularity of limit sets of AdS quasi-Fuchsian groups
Limit sets of -quasi-Fuchsian groups of are
always Lipschitz submanifolds. The aim of this article is to show that they are
never , except for the case of Fuchsian groups. As a byproduct
we show that -quasi-Fuchsian groups that are not Fuchsian are
Zariski dense in
Hausdorff dimension of limit sets for projective Anosov representations
We study the relation between critical exponents and Hausdorff dimensions of
limit sets for projective Anosov representations. We prove that the Hausdorff
dimension of the symmetric limit set in is bounded between two critical exponents
associated respectively to a highest weight and a simple root
Gromov-Thurston manifolds and anti-de Sitter geometry
We consider hyperbolic and anti-de Sitter (AdS) structures on , where is a -dimensional Gromov-Thurston manifold. If has
cone angles greater than , we show that there exists a "quasifuchsian"
(globally hyperbolic maximal) AdS manifold such that the future boundary of the
convex core is isometric to . When has cone angles less than ,
there exists a hyperbolic end with boundary a concave pleated surface isometric
to .
Moreover, in both cases, if is a Gromov-Thurston manifold with
pieces (as defined below), the moduli space of quasifuchsian AdS structures
(resp. hyperbolic ends) satisfying this condition contains a submanifold of
dimension .
When , the moduli space of quasifuchsian AdS (resp. hyperbolic)
manifolds diffeomorphic to contains a submanifold of dimension
, and extends up to a "Fuchsian" manifold, that is, an AdS (resp.
hyperbolic) warped product of a closed hyperbolic manifold by~.
We use this construction of quasifuchsian AdS manifolds to obtain new compact
quotients of \O(2d,2)/\U(d,1). The construction uses an explicit
correspondence between quasifuchsian -dimensional AdS manifolds and
compact quotients of \O(2d,2)/\U(d,1) which we interpret as the space of
timelike geodesic Killing fields of \AdS^{2d+1}.Comment: 48 page
Dynamique lorentzienne et groupes de difféomorphismes du cercle
This thesis is divided into two parts, dealing with two different aspects of Lorentzian geometry.The first part deals with isometry groups of globally hyperbolic spatially compact Lorentz surfaces, especially when it has a non trivial dynamical behavior (non proper action). The isometry group acts on circle by diffeomorphisms, and the main results of this part concern the classification of these actions. Under a hypothesis on the conformal boundary, we show that they are topologically conjugate to the projective action of a subgroup of PSL(2,R), or one of its finite covers. The differentiability of the conjugacy is studied, with some results giving a differentiable conjugacy under additional hypotheses. We also give counter examples to such a differentiable conjugacy, even for groups with rich dynamics. These constructions use hyperbolic flows on three manifolds.Without the hypothesis on the conformal boundary, we obtain a semi conjugacy and a group isomorphism. We also give examples where a topological conjugacy cannot exist.In the second part of this thesis, we see a spacetime as a multi valued dynamical system: we map a point to its causal future. This point of view was already adopted by Fathi and Siconolfi, and it gives a concrete meaning to the link between Lyapunov functions in dynamical systems and time functions. The main result is a Lorentzian version of Conley's Theorem: we define the chain recurrent set of a spacetime, and construct a continuous function that increases along future directed causal curves outside the chain recurrent set, and that is non decreasing along other future curves. These techniques also apply to the stably causal setting, and we obtain a new proof of a part of Hawking's Theorem.Cette thèse comporte deux parties, axées sur des aspects différents de la géométrie lorentzienne.La première partie porte sur les groupes d’isométries de surfaces lorentziennes globalement hyperboliques spatialement compactes, particulièrement lorsque le groupe exhibe une dynamique non triviale (action non propre). Le groupe d'isométries agit naturellement sur le cercle par difféomorphismes, et les résultats principaux portent sur la classification de ces représentations. Sous une hypothèse sur le bord conforme, on obtient une conjugaison par homéomorphisme avec l'action projective d'un sous-groupe de PSL(2,R) ou de l'un de ses revêtements finis. La différentiabilité de la conjuguante est étudiée, avec des résultats qui garantissent une conjugaison dans le groupe de difféomorphismes du cercle dans certains cas. On donne également des contre-exemples à l'existence d'une conjugaison différentiable, y compris pour des groupes ayant une dynamique riche. Ces constructions s'appuient sur l'étude de flots hyperboliques en dimension trois.Sans l'hypothèse sur le bord conforme, on obtient une semi conjugaison et un isomorphisme de groupes. On construit également des exemples pour lesquels il n'existe pas de conjugaison topologique.La seconde partie de cette thèse étudie un espace-temps vu comme un système dynamique multi-valuée : à un point on associe sont futur causal. Cette approche, déjà présente dans les travaux de Fathi et Siconolfi, permet de concrétiser le lien entre fonctions de Lyapunov en systèmes dynamiques et fonctions temps. Le résultat principal est une version lorentzienne du Théorème de Conley : on peut définir l'ensemble récurrent par chaînes d'un espace-temps, et il existe une fonction continue croissante le long de toute courbe causale orientée vers le futur, strictement croissante si le point de départ de la courbe n'est pas dans l'ensemble récurrent par chaînes. Ces techniques s'adaptent aussi dans un espace-temps stablement causal, ce qui permet de donner une nouvelle preuve d'une partie du Théorème d'Hawking
Isometries of Lorentz surfaces and convergence groups
We study the isometry group of a globally hyperbolic spatially compact Lorentz surface. Such a group acts on the circle, and we show that when the isometry group acts non properly, the subgroups of Diff(S^1) obtained are semi conjugate to subgroups of finite covers of PSL(2,R) by using convergence groups. Under an assumption on the conformal boundary, we show that we have a conjugacy in Homeo(S^1
Lorentzian dynamics and groups of circle diffeomorphisms
Cette thèse comporte deux parties, axées sur des aspects différents de la géométrie lorentzienne. La première partie porte sur les groupes d’isométries de surfaces lorentziennes globalement hyperboliques spatialement compactes, particulièrement lorsque le groupe exhibe une dynamique non triviale (action non propre). Le groupe d'isométries agit naturellement sur le cercle par difféomorphismes, et les résultats principaux portent sur la classification de ces représentations. Sous une hypothèse sur le bord conforme, on obtient une conjugaison par homéomorphisme avec l'action projective d'un sous-groupe de PSL(2,R) ou de l'un de ses revêtements finis. La différentiabilité de la conjuguante est étudiée, avec des résultats qui garantissent une conjugaison dans le groupe de difféomorphismes du cercle dans certains cas. On donne également des contre-exemples à l'existence d'une conjugaison différentiable, y compris pour des groupes ayant une dynamique riche. Ces constructions s'appuient sur l'étude de flots hyperboliques en dimension trois. Sans l'hypothèse sur le bord conforme, on obtient une semi conjugaison et un isomorphisme de groupes. On construit également des exemples pour lesquels il n'existe pas de conjugaison topologique. La seconde partie de cette thèse étudie un espace-temps vu comme un système dynamique multi-valuée : à un point on associe sont futur causal. Cette approche, déjà présente dans les travaux de Fathi et Siconolfi, permet de concrétiser le lien entre fonctions de Lyapunov en systèmes dynamiques et fonctions temps. Le résultat principal est une version lorentzienne du Théorème de Conley : on peut définir l'ensemble récurrent par chaînes d'un espace-temps, et il existe une fonction continue croissante le long de toute courbe causale orientée vers le futur, strictement croissante si le point de départ de la courbe n'est pas dans l'ensemble récurrent par chaînes. Ces techniques s'adaptent aussi dans un espace-temps stablement causal, ce qui permet de donner une nouvelle preuve d'une partie du Théorème d'Hawking.This thesis is divided into two parts, dealing with two different aspects of Lorentzian geometry. The first part deals with isometry groups of globally hyperbolic spatially compact Lorentz surfaces, especially when it has a non trivial dynamical behavior (non proper action). The isometry group acts on circle by diffeomorphisms, and the main results of this part concern the classification of these actions. Under a hypothesis on the conformal boundary, we show that they are topologically conjugate to the projective action of a subgroup of PSL(2,R), or one of its finite covers. The differentiability of the conjugacy is studied, with some results giving a differentiable conjugacy under additional hypotheses. We also give counter examples to such a differentiable conjugacy, even for groups with rich dynamics. These constructions use hyperbolic flows on three manifolds. Without the hypothesis on the conformal boundary, we obtain a semi conjugacy and a group isomorphism. We also give examples where a topological conjugacy cannot exist. In the second part of this thesis, we see a spacetime as a multi valued dynamical system: we map a point to its causal future. This point of view was already adopted by Fathi and Siconolfi, and it gives a concrete meaning to the link between Lyapunov functions in dynamical systems and time functions. The main result is a Lorentzian version of Conley's Theorem: we define the chain recurrent set of a spacetime, and construct a continuous function that increases along future directed causal curves outside the chain recurrent set, and that is non decreasing along other future curves. These techniques also apply to the stably causal setting, and we obtain a new proof of a part of Hawking's Theorem