Boolean algebras and Lubell functions

Let $2^{[n]}$ denote the power set of $[n]:=\{1,2,..., n\}$. A collection \B\subset 2^{[n]} forms a $d$-dimensional {\em Boolean algebra} if there exist pairwise disjoint sets $X_0, X_1,..., X_d \subseteq [n]$, all non-empty with perhaps the exception of $X_0$, so that \B={X_0\cup \bigcup_{i\in I} X_i\colon I\subseteq [d]}. Let $b(n,d)$ be the maximum cardinality of a family \F\subset 2^X that does not contain a $d$-dimensional Boolean algebra. Gunderson, R\"odl, and Sidorenko proved that $b(n,d) \leq c_d n^{-1/2^d} \cdot 2^n$ where $c_d= 10^d 2^{-2^{1-d}}d^{d-2^{-d}}$. In this paper, we use the Lubell function as a new measurement for large families instead of cardinality. The Lubell value of a family of sets \F with \F\subseteq \tsupn is defined by h_n(\F):=\sum_{F\in \F}1/{{n\choose |F|}}. We prove the following Tur\'an type theorem. If \F\subseteq 2^{[n]} contains no $d$-dimensional Boolean algebra, then h_n(\F)\leq 2(n+1)^{1-2^{1-d}} for sufficiently large $n$. This results implies $b(n,d) \leq C n^{-1/2^d} \cdot 2^n$, where $C$ is an absolute constant independent of $n$ and $d$. As a consequence, we improve several Ramsey-type bounds on Boolean algebras. We also prove a canonical Ramsey theorem for Boolean algebras.Comment: 10 page

Panel : la etnografía sociolingüística : enfoques y resultados. Panel 1 : La etnografia sociolingüística : enfoque y métodos. La construcción de corpus sociolingüísticos en la investigación etnográfica escolar : dilemas asociados

Este texto se presentó como comunicación al II Congreso Internacional de Etnografía y Educación: Migraciones y Ciudadanías. Universidad Autónoma de Barcelona, Barcelona, 5-8 Septiembre 2008.Esta presentación muestra algunos de los retos más importantes que se afrontan en la construcción de un corpus digital de datos recogidos a partir de una etnografía sociolingüística de la escuela. Desde la recogida de los datos hasta su tratamiento y gestión, la perspectiva crítica, interaccional y etnográfica con la que miramos al espacio social de la escuela tiene implicaciones directas en la definición de los fenómenos relevantes para nuestra investigación y en la selección de los recursos tecnológicos más idóneos para su estudio. La exploración de las posibilidades que actualmente ofrece el mercado para el diseño de corpus digitales en investigación social nos ha puesto de manifiesto muchas de sus ventajas, aunque también algunas dificultades y dilemas sobre las que es preciso reflexionar. La consideración de unas y otras, y su influencia a lo largo de todo el desarrollo de la investigación, nos servirá como excusa para analizar las principales decisiones que hay que abordar en el proceso y las consecuencias éticas, teórico-analíticas y administrativas de las mismas

Changing urban designs, tapping new markets: The discursive production of professionalism in the new global cities

Sociolinguistic research has paid close attention to processes whereby language and communication get turned into commodities vis-à-vis the expansion of the service industries (Heller, 2010; Heller, Pujolar & Duchêne, 2014) under the conditions of so-called “late capitalism” (Duchêne & Heller, 2012). Continuing with this legacy, this paper focuses on the emergence of “speculative architecture” as a distinctive strand within the professional field of architecture, one that claims to “create narratives about how new technologies and networks influence space, culture, and community [with the aim of] imagining where new forms of agency exist within the cities changed by these new processes” (Liam Young, 2017). In so doing, “speculative architecture” is conceived of here as a discursive space (Heller, 2007) for social performance (Briggs & Bauman, 1992; Hanks, 1987) and capital accumulation (Bourdieu, 1986) in the “new” (globalized) labour market. In an attempt to go beyond just “language” as a product, I examine how a set of discursive features that characterize “doing speculative architecture” get “enregistered” (Agha, 2007) as a “bundle of skills” (Urciouli, 2008), or “commodity register” (Agha, 2011), which then regulates access to material and symbolic resources. This approach is said to illuminate how new professional fields tied to untapped niche markets get discursively constituted through the production of neoliberal technologies of professional subjectivity and subjection (Foucault, 2008), while at the same time shedding light onto the embedded forms of inequality that they contribute to (re)create. Implications of this analysis on the “mobility turn” in the language disciplines are also discussed

Language education policy in late modernity: (Socio) linguistic ethnographies in the European Union

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