A Borda Measure for Social Choice Functions

The question addressed in this paper is the order of magnitude of the difference between the Borda rule and any given social choice function. A social choice function is a mapping that associates a subset of alternatives to any profile of individual preferences. The Borda rule consists in asking voters to order all alternatives, knowing that the last one in their ranking will receive a score of zero, the second lowest a score of 1, the third a score of 2 and so on. These scores are then weighted by the number of voters that support them to give the Borda score of each alternative. The rule then selects the alternatives with the highest Borda score. In this paper, a simple measure of the difference between the Borda rule and any given social choice function is proposed. It is given by the ratio of the best Borda score achieved by the social choice function under scrutiny over the Borda score of a Borda winner. More precisely, it is the minimum of this ratio over all possible profiles of preferences that is used. This "Borda measure" or at least bounds for this measure is also computed for well known social choice functions. Cet article se penche sur la distance entre la règle de Borda et n'importe quelle autre fonction de choix social. Ces dernières associent un sous-ensemble d'options possibles à tout profil ou configuration de préférences individuelles. La règle de Borda consiste à demander aux votants d'ordonner les options possibles, en leur disant que la dernière dans leur ordre recevra un score nul, l'avant-dernière un score égal à 1, celle qui vient au troisième pire rang un score égal à 2 et ainsi de suite. Ces scores sont ensuite pondérés par le nombre de votants qui les supportent pour donner le score de Borda de chaque option. La règle choisit les options qui ont reçu le score le plus élevé. Dans cet article, une mesure simple de la différence entre la règle de Borda et n'importe quelle autre fonction de choix social est proposée. Elle est donnée par le rapport du meilleur score de Borda obtenu par les options que sélectionne la fonction de choix social considérée sur le score de Borda d'un gagnant de Borda. De façon plus précise, c'est le minimum de ces rapports, sur l'ensemble des profils de préférences, qui est utilisé. Cette mesure de Borda ou, à tout le moins, un intervalle pour cette mesure est calculé pour un certain nombre de fonctions de choix social bien connues.

Choosing from a Weighted Tournament

A voting situation, in which voters are asked to rank all candidates pair by pair, induces a tournament and a weighted tournament, in which the strenght of the majority matters. Each of these two tournaments induces in turn a two-player zero-sum game for which different solution concepts can be found in the literature. Four social choice correspondences for voting situations based exclusively on the simple majority relation, and called C1, correspond to four different solution concepts for the game induced by the corresponding tournament. They are top cycle, the uncovered set, the minimal covering set, and the bipartisan set. Taking the same solution concepts for the game induced by the corresponding wheighted tournament instead of the tournament and working backward from these solution concepts to the solutions for the corresponding weighted tournament and then to the voting situation, we obtain the C2 counterparts of these correspondences, i.e. correspondences that require the size of the majorities to operate. We also perform a set-theorical comparison between the four C1 correspondences, their four C2 couterparts and three other C2 correspondences, namely the Kemeny, the Kramer-Simpson, and the Borda rules. Given two subsets selected by two correspondences, we say whether it always belongs to, always intersects or may not intersect the other one. Un vote à la majorité où les candidats sont comparés deux à deux induit un tournoi basé sur la relation majoritaire et un tournoi pondéré, où la taille de la majorité compte. Chacun de ces tournois induit à son tour un jeu à somme nulle pour lesquels on dispose de différents concepts de solution. Quatre correspondances de choix social applicables à la relation majoritaire, dites de type C1, correspondent à quatre concepts de solution différents pour le jeu induit par le tournoi correspondant. Ce sont le top cycle, le uncovered set, le minimal covering set et le bipartisan set. En utilisant les mêmes concepts de solution pour les jeux induits par les tournois pondérés équivalents, plutôt que par les tournois, et en allant des solutions pour les jeux aux tournois pondérés et ensuite aux relations majoritaires (votes), nous obtenons l'équivalent de type C2 des quatre correspondances de type C1, i.e. des correspondances qui exigent la dimension de la majorité pour opérer. Nous effectuons également une comparaison entre les quatre correspondances de type C1, leurs quatre équivalents de type C2 et trois autres correspondances de type C2, soit les règles de Kemeny, de Simpson-Kramer et de Borda. De façon plus précise, étant donné les ensembles de décision produits par deux correspondances de choix social, nous répondons aux questions: Est-ce qu'un de ces ensembles est toujours inclus dans l'autre? Si non, y a-t-il toujours intersection entre les deux ou, au contraire, peut-il arriver que leur intersection soit vide?

On Mean Field Convergence and Stationary Regime

Assume that a family of stochastic processes on some Polish space $E$ converges to a deterministic process; the convergence is in distribution (hence in probability) at every fixed point in time. This assumption holds for a large family of processes, among which many mean field interaction models and is weaker than previously assumed. We show that any limit point of an invariant probability of the stochastic process is an invariant probability of the deterministic process. The results are valid in discrete and in continuous time

Legislative lobbying under political uncertainty

In this paper we develop a duopolistic model of legislative lobbying. Two lobbies compete to influence the votes of a group of legislators who have a concern for both social welfare and campaign contributions. The type of a legislator is the relative weight he/she places on social welfare as compared to money. We study the equilibria of this lobbying game under political certainty and uncertainty and examine the circumstances under which the policy is socially efficient, and the amount of money that has been invested in the political process. Special attention is paid to three primitives of the environment: the intensity of the competition between the lobbies, the internal organisation of the legislature and the proportion of bad and good legislators in the political area