Density results for automorphic forms on Hilbert modular groups

We give density results for automorphic representations of Hilbert modular groups. In particular, we show that there are infinitely many automorphic representations that have a prescribed discrete series factor at some (but not all) real places.Comment: 35 pages, LaTe

Density results for automorphic forms on Hilbert modular groups II

We obtain an asymptotic formula for a weighted sum over cuspidal eigenvalues in a specific region, for \SL_2 over a totally real number field $F$, with discrete subgroup of Hecke type $\Gamma_0(I)$ for a non-zero ideal $I$ in the ring of integers of $F$. The weights are products of Fourier coefficients. This implies in particular the existence of infinitely many cuspidal automorphic representations with multi-eigenvalues in various regions growing to infinity. For instance, in the quadratic case, the regions include floating boxes, floating balls, sectors, slanted strips and products of prescribed small intervals for all but one of the infinite places of $F$. The main tool in the derivation is a sum formula of Kuznetsov type.Comment: Accepted for publication by the Transactions of the American Mathematical Societ

Geometría hiperbólica I. Movimientos rígidos y rectas hiperbólicas

El objeto de estas notas es presentar y estudiar un modelo de geometría hiperbólica: el llamado plano hiperbólico o semiplano superior de Poincaré (ver Georretrías no Euclidianas, Revista de Educación Matemática, vol. 1, N° 3). Debemos destacar que la presentación no es la de la geometría "sintética" sino la de la geometría "métrica", es decir se define en el semiplano superior una forma de medir longitudes de curvas y ángulos, lo que lleva implícito una forma de medir áreas de regiones. Así las "rectas" en esta geometría son las curvas de longitud mínima entre dos cualesquiera de sus puntos; como se probará, éstas son las semirrectas y semicircunferencias perpendiculares a una recta fija (ver la nota antes mencionada, R.E.M. vol 1, N° 3)

Geometría hiperbólica II. Áreas, fórmulas trigonométricas y congruencia de triángulos

En esta nota continuamos el estudio de la geometría hiperbólica iniciado en la nota anterior Geometría Hiperbólica I (GHI), ya publicada en ésta Revista. En ese trabajo se demostraron diversas propiedades de las transformaciones de Möbius y se determinaron las rectas hiperbólicas. En la presente, estudiamos en primer lugar el área hiperbólica de algunas regiones. Como caso particular (ver lema 1.3) establecemos que el área de un triángulo, y por ende la de un polígono, está determinada por sus ángulos; resultado curioso en extremo si el lector está predispuesto a dejarse guiar por la intuición formada sobre la geometría euclidiana. En la segunda sección (ver 2.1, 2.2, 2.3) se encuentran fórmulas trigonométricas análogas a las de la geometría euclidiana, en estas intervienen las funciones hiperbólicas cosh, senh. además de las trigonométricas. Finalmente el teorema de congruencia de triángulos marca nuevamente la notable diferencia con la geometría euclídea, al concluir que dos triángulos que tienen sus ángulos respectivamente iguales son congruentes

Forma canónica de Jordan

Para resolver problemas relacionados con una matriz u operador lineal A. es importante poder reducir A a una forma sencilla. mediante un conveniente cambio de base. Uno desearía, en lo posible, llevar A a forma diagonal, pero no toda matriz es diagonalizable. Sin embargo el matemático francés e o Jordan demostró que siempre es posible, mediante un cambio de base. representar A por medio de una matriz triangular superior con bloques de una forma particular sencilla. Esta matriz especial, unívocamente asociada a cada matriz compleja A es la llamada forma de Jordan de A. Además de la gran importancia teórica de la forma de Jordan, el conocerla explícitamente es útil en muchos problemas matemáticos. por ejemplo. para resolver sistemas lineales de ecuaciones diferenciales del tipo X' = A X. El objeto de este trabajo es dar un método efectivo para hallar la forma de Jordan de A, suponiendo conocidos sus autovalores. y presentar una variedad de ejemplos ilustrativos

El sistema binario. El juego del Nim y otras aplicaciones

El objeto de la presente nota es exponer aplicaciones del sistema binario a diversos juegos entre otros los siguientes: estrategia para el juego del im. diversas adivinanzas numéricas, ciertas curvas especiales, y la llamada la torre de Brahma. Esta nota puede considerarse corno una continuación de [MV] que trata de cuestiones de divisibilidad de números combinatorios