Tangential Touch between the Free and the Fixed Boundary in a Semilinear Free Boundary Problem in Two Dimensions

The main result of this paper concerns the behavior of a free boundary arising from a minimization problem, close to the fixed boundary in two dimensions

Free Boundary Problems of Obstacle Type, a Numerical and Theoretical Study

This thesis consists of five papers and it mainly addresses the theory and schemes to approximate the quadrature domains, QDs. The first deals with the uniqueness and some qualitative properties of the two QDs. The concept of two phase QDs, is more complicated than its one counterpart and consequently introduces significant and interesting open. We present two numerical schemes to approach the one phase QDs in the paper. The first method is based on the properties of the free boundary the level set techniques. We use shape optimization analysis to construct second method. We illustrate the efficiency of the schemes on a variety of experiments. In the third paper we design two finite difference methods for the approximation of the multi phase QDs. We prove that the second method enjoys monotonicity, consistency and stability and consequently it is a convergent scheme by Barles-Souganidis theorem. We also present various numerical simulations in the case of Dirac measures. We introduce the QDs in a sub domain of and Rn study the existence and uniqueness along with a numerical scheme based on the level set method in the fourth paper. In the last paper we study the tangential touch for a semi-linear problem. We prove that there is just one phase free boundary points on the flat part of the fixed boundary and it is also shown that the free boundary is a uniform C1-graph up to that part.Denna avhandling består av fem artiklar och behandlar främst teori och numeriska metoder för att approximera "quadrature domians", QDs. Den första artikeln behandlar entydighet och allmänna egenskaper hos tvåfas QDs. Begreppet tvåfas QDs, är mer komplicerat än enafasmotsvarigheten och introducerar därmed intressanta öppna problem. Vi presenterar två numeriska metoder för att approximera enfas QDs i andra artikeln. Den första metoden är baserad på egenskaperna hos den fria randen och nivå mängdmetoden. Vi använder forsoptimeringmanalys för att konstruera den andra metoden. Båda metoderna är testade i olika numeriska simuleringar. I det tredje artikeln vi approximera flerafas QDs med konstruktionen tvåmetoder finita differens. Vi visar att den andra metoden har monotonicitat, konsistens och stabilitet och följaktligen är metoden konvergent tack vare Barles-Souganidis sats. Vi presenterar också olika numeriska simuleringar i fallet med Diracmåt. Vi introducerar QDs i en delmängd av Rn och studerar existens och entydighet jämte en numerisk metod baserad på nivå mängdmetoden i fjärde pappret. I det sista pappret studerar vi den tangentiella touchen för ett semilinjärt problem. Vi visar att det enbart är enafasrandpunkter på den platta delen av den fixerade randen. Vi visar också att den fria randen är en likformig C1-graf upp till den delen av den fixerade randen

Free Boundary Problems of Obstacle Type, a Numerical and Theoretical Study

This thesis consists of five papers and it mainly addresses the theory and schemes to approximate the quadrature domains, QDs. The first deals with the uniqueness and some qualitative properties of the two QDs. The concept of two phase QDs, is more complicated than its one counterpart and consequently introduces significant and interesting open. We present two numerical schemes to approach the one phase QDs in the paper. The first method is based on the properties of the free boundary the level set techniques. We use shape optimization analysis to construct second method. We illustrate the efficiency of the schemes on a variety of experiments. In the third paper we design two finite difference methods for the approximation of the multi phase QDs. We prove that the second method enjoys monotonicity, consistency and stability and consequently it is a convergent scheme by Barles-Souganidis theorem. We also present various numerical simulations in the case of Dirac measures. We introduce the QDs in a sub domain of and Rn study the existence and uniqueness along with a numerical scheme based on the level set method in the fourth paper. In the last paper we study the tangential touch for a semi-linear problem. We prove that there is just one phase free boundary points on the flat part of the fixed boundary and it is also shown that the free boundary is a uniform C1-graph up to that part.Denna avhandling består av fem artiklar och behandlar främst teori och numeriska metoder för att approximera "quadrature domians", QDs. Den första artikeln behandlar entydighet och allmänna egenskaper hos tvåfas QDs. Begreppet tvåfas QDs, är mer komplicerat än enafasmotsvarigheten och introducerar därmed intressanta öppna problem. Vi presenterar två numeriska metoder för att approximera enfas QDs i andra artikeln. Den första metoden är baserad på egenskaperna hos den fria randen och nivå mängdmetoden. Vi använder forsoptimeringmanalys för att konstruera den andra metoden. Båda metoderna är testade i olika numeriska simuleringar. I det tredje artikeln vi approximera flerafas QDs med konstruktionen tvåmetoder finita differens. Vi visar att den andra metoden har monotonicitat, konsistens och stabilitet och följaktligen är metoden konvergent tack vare Barles-Souganidis sats. Vi presenterar också olika numeriska simuleringar i fallet med Diracmåt. Vi introducerar QDs i en delmängd av Rn och studerar existens och entydighet jämte en numerisk metod baserad på nivå mängdmetoden i fjärde pappret. I det sista pappret studerar vi den tangentiella touchen för ett semilinjärt problem. Vi visar att det enbart är enafasrandpunkter på den platta delen av den fixerade randen. Vi visar också att den fria randen är en likformig C1-graf upp till den delen av den fixerade randen

Free Boundary Problems of Obstacle Type, a Numerical and Theoretical Study

This thesis consists of five papers and it mainly addresses the theory and schemes to approximate the quadrature domains, QDs. The first deals with the uniqueness and some qualitative properties of the two QDs. The concept of two phase QDs, is more complicated than its one counterpart and consequently introduces significant and interesting open. We present two numerical schemes to approach the one phase QDs in the paper. The first method is based on the properties of the free boundary the level set techniques. We use shape optimization analysis to construct second method. We illustrate the efficiency of the schemes on a variety of experiments. In the third paper we design two finite difference methods for the approximation of the multi phase QDs. We prove that the second method enjoys monotonicity, consistency and stability and consequently it is a convergent scheme by Barles-Souganidis theorem. We also present various numerical simulations in the case of Dirac measures. We introduce the QDs in a sub domain of and Rn study the existence and uniqueness along with a numerical scheme based on the level set method in the fourth paper. In the last paper we study the tangential touch for a semi-linear problem. We prove that there is just one phase free boundary points on the flat part of the fixed boundary and it is also shown that the free boundary is a uniform C1-graph up to that part.Denna avhandling består av fem artiklar och behandlar främst teori och numeriska metoder för att approximera "quadrature domians", QDs. Den första artikeln behandlar entydighet och allmänna egenskaper hos tvåfas QDs. Begreppet tvåfas QDs, är mer komplicerat än enafasmotsvarigheten och introducerar därmed intressanta öppna problem. Vi presenterar två numeriska metoder för att approximera enfas QDs i andra artikeln. Den första metoden är baserad på egenskaperna hos den fria randen och nivå mängdmetoden. Vi använder forsoptimeringmanalys för att konstruera den andra metoden. Båda metoderna är testade i olika numeriska simuleringar. I det tredje artikeln vi approximera flerafas QDs med konstruktionen tvåmetoder finita differens. Vi visar att den andra metoden har monotonicitat, konsistens och stabilitet och följaktligen är metoden konvergent tack vare Barles-Souganidis sats. Vi presenterar också olika numeriska simuleringar i fallet med Diracmåt. Vi introducerar QDs i en delmängd av Rn och studerar existens och entydighet jämte en numerisk metod baserad på nivå mängdmetoden i fjärde pappret. I det sista pappret studerar vi den tangentiella touchen för ett semilinjärt problem. Vi visar att det enbart är enafasrandpunkter på den platta delen av den fixerade randen. Vi visar också att den fria randen är en likformig C1-graf upp till den delen av den fixerade randen

Numerical Approximation of One Phase Quadrature Domains

In this work, we present two numerical schemes for a free boundary problem called one phase quadrature domain. In the first method by applying the proprieties of given free boundary problem, we derive a method that leads to a fast iterative solver. The iteration procedure is adapted in order to work in the case when topology changes. The second method is based on shape reconstruction to establish an efficient Shape-Quasi-Newton-Method. Various numerical experiments confirm the efficiency of the derived numerical methods

Numerical Schemes for Multi Phase Quadrature Domains

In this work, numerical schemes to approximate the solution of one and multi phase quadrature domains are presented. We shall construct a monotone, stable and consistent finite difference method for both one and two phase cases, which converges to the viscosity solution of the partial differential equation arising from the corresponding quadrature domain theory. Moreover, we will discuss the numerical implementation of the resulting approach and present computational tests