A survey on performance analysis of warehouse carousel systems

This paper gives an overview of recent research on the performance evaluation and design of carousel systems. We discuss picking strategies for problems involving one carousel, consider the throughput of the system for problems involving two carousels, give an overview of related problems in this area, and present an extensive literature review. Emphasis has been given on future research directions in this area

Speed of convergence to the quasi-stationary distribution for L\'evy input fluid queues

In this note we prove that the speed of convergence of the workload of a L\'evy-driven queue to the quasi-stationary distribution is of order $1/t$. We identify also the Laplace transform of the measure giving this speed and provide some examples

Lindley-type recursions

In dit proefschrift staat de volgende Lindley-achtige recursie centraal: Wn+1 = max{0,Bn+1 - An -Wn}. (1) Deze "niet-stijgende" recursie is belangrijk in de analyse van systemen waarbij een bediende alterneert tussen twee bedieningsstations. Een station biedt ruimte voor ´e´en klant. De bediende alterneert tussen beide stations en bediend ´e´en klant per keer. Aangenomen wordt dat voortdurend bij beide stations klanten staan te wachten. Zodra een wachtende klant een station betreed, begint de eerste fase van zijn bediening, die bestaat uit een voorbereidende fase. De bediende is hier niet bij betrokken: pas nadat de voorbereidende fase is afgerond kan een klant aan de tweede fase van zijn bediening beginnen, welke wordt uitgevoerd door de bediende. Dus de eigenlijke bediening bestaat alleen uit de tweede fase. Het kan voorkomen dat de bediende moet wachten totdat de voorbereiding van de volgende klant is afgelopen. We zijn dan ook ge¨interesseerd in de wachttijd van de bediende. Als Bn de voorbereidingstijd is voor de n-de klant en An de bedieningstijd is van de n-de klant, dan kan de wachttijd van de bediende voor de (n + 1)-ste klant beschreven worden door middel van Recursie (1). Een belangrijke observatie is dat deze recursie vrijwel identiek is aan Lindley’s recursie. Het enige verschil is het min-teken voor Wn. Dit model is gemotiveerd door diverse toepassingen waarvan er twee worden besproken in Hoofdstuk 1. De eerste toepassing betreft oog-operaties. De tweede toepassing is gerelateerd aan carousel systemen. Dit soort systemen zijn uitgebreid bestudeerd; Sectie 1.3 geeft een literatuuroverzicht. Verderop in dit hoofdstuk geven we een gedetailleerde modelbeschrijving en noemen we enkele verschillen tussen de analyse van dit model en het standaard wachtrijmodel. Hoofdstuk 2 bestudeert enkele algemene eigenschappen van Recursie (1), zoals de stabiliteit van het systeem, existentie van een evenwichtsverdeling, convergentie naar deze verdeling als n naar oneindig gaat en het staartgedrag en de covariantie functie van de verdeling van de wachttijd van de bediende. Een rode draad in dit proefschrift is de afleiding van de evenwichtsverdeling van de wachttijd van de bediende. In de volgende drie hoofdstukken leiden we deze verdeling af onder diverse aannames over de verdeling van de voorbereidingstijd en bedieningstijd van een generieke klant. We bestuderen gevallen die analoog zijn aan de klassieke M/G/1, G/PH/1 en PH/P/1 wachtrijmodellen, waarbij "P" staat voor polynomiale verdelingen. Ge¨inspireerd door de toepassingen van ons model, bekijken we enkele prestatiematen voor dit systeem, zoals de doorzet. Dit maakt een vergelijk met de prestatie van niet-alternerende systemen mogelijk. In Hoofdstuk 6 onderzoeken we methoden om de wachttijdverdeling te benaderen door de verdeling van de voorbereidingstijd of bedieningstijd te benaderen met een verdeling die exacte berekeningen mogelijk maakt. We beschrijven hoe zo’n verdel- ing kan worden gevonden en we geven een bovengrens voor de fout tussen de werkelijke wachttijdverdeling en zijn benadering. In alle voorgaande hoofdstukken hebben we aangenomen dat alle voorbereidingstijden en bedieningstijden onafhankelijk van elkaar zijn. In Hoofdstuk 7 laten we deze aanname vallen. We onderzoeken twee specifieke vormen van afhankelijkheid tussen deze variabelen. Voor beide vormen leiden we opnieuw de limietverdeling af van de wachttijd van de bediende. Hoofdstuk 8 analyseert een recursie welke een uitbreiding is van zowel Lindley’s recursie als (1). We bekijken, namelijk, de recursie Wn+1 = max{0,Bn+1 - An + YnWn}, met Yn een stochastische variabele die zowel de waarde 1 als -1 kan aannemen. Voor deze recursie onderzoeken we stabiliteit, en we berekenen de limietverdeling in twee specifieke gevallen, waarmee we de bestaande theorie voor Lindley’s recursie en Recursie (1) generaliseren. De analyse maakt duidelijk dat de technieken voor het analyseren van (1) en voor het analyseren Lindley’s recursie moeten worden gecombineerd. Diverse methoden om Lindley’s recursie te analyseren zijn ook nuttig voor de analyse van (1). Wanneer we aannemen dat de voorbereidingstijd een fase-type verdeling heeft, dan reduceert de analyse van (1) tot de analyse van een Markovketen met eindige toestandsruimte. Ook kunnen Laplace-transformaties of Wiener- Hopf technieken in diverse gevallen worden toegepast (cf. Sectie 1.6). In andere gevallen moet een niet-standaard differentiaalvergelijking worden opgelost, of moet uitgeweken worden naar een iteratieve benadering van de wachttijdverdeling. In Hoofdstuk 5 dient ook een speciale klasse van verdelingen ge¨introduceerd te worden die het mogelijk maakt om een Fredholm vergelijking op te lossen. In de meeste gevallen zijn de resultaten expliciet of kunnen worden weergegeven in termen van de oplossing van een lineair stelsel vergelijkingen, zie bijvoorbeeld Stelling 4.8. Het proefschrift wordt afgesloten met enkele afsluitende opmerkingen en diverse suggesties voor verder onderzoek

An alternating service problem

We consider a system consisting of a server alternating between two service points. At both service points, there is an infinite queue of customers that have to undergo a preparation phase before being served. We are interested in the waiting time of the server. The waiting time of the server satisfies an equation very similar to Lindley's equation for the waiting time in the GI/G/1 queue. We will analyze this Lindley-type equation under the assumptions that the preparation phase follows a phase-type distribution, whereas the service times have a general distribution. If we relax the condition that the server alternates between the service points, then the model turns out to be the machine repair problem. Although the latter is a well-known problem, the distribution of the waiting time of the server has not been studied yet. We derive this distribution under the same setting and we compare the two models numerically. As expected, the waiting time of the server is, on average, smaller in the machine repair problem than in the alternating service system, but they are not stochastically ordered

Marginal queue length approximations for a two-layered network with correlated queues

We consider an extension of the classical machine-repair model. As opposed to the classical model, we assume that the machines, apart from receiving service from the repairman, also supply service themselves to queues of products. The extended model can be viewed as a layered queueing network (LQN), where the first layer consists of two separate queues of products. Each of these queues is served by its own machine. The second layer consists of a waiting buffer and a repairman, able to restore the machines into an operational state. When a machine breaks down, it waits in the repair buffer for the repairman to become available. Since the repair time of one machine may affect the period of time the other machine is not able to process products, the downtimes of the machines are correlated. We explicitly model the correlation between the downtimes, which leads to correlation between the queues of products in the first layer. Taking these correlations into account, we obtain approximations for the marginal distributions of the queue lengths in the first layer, by the study of a single server vacation queue. Extensive numerical results show that these approximations are highly accurate

Heavy-traffic asymptotics for networks of parallel queues with Markov-modulated service speeds

We study a network of parallel single-server queues, where the speeds of the servers are varying over time and governed by a single continuous-time Markov chain. We obtain heavy-traf¿c limits for the distributions of the joint workload, waiting time and queue length processes. We do so by using a functional central limit theorem approach, which requires the interchange of steady-state and heavy-traf¿c limits. The marginals of these limiting distributions are shown to be exponential with rates that can be computed by matrix-analytic methods. Moreover, we show how to numerically compute the joint distributions, by viewing the limit processes as multi-dimensional semi-martingale re¿ected Brownian motions in the non-negative orthant