The Maximum Chromatic Number of the Disjointness Graph of Segments on nn-point Sets in the Plane with n≤16n\leq 16

Let $P$ be a finite set of points in general position in the plane. The disjointness graph of segments $D(P)$ of $P$ is the graph whose vertices are all the closed straight line segments with endpoints in $P$, two of which are adjacent in $D(P)$ if and only if they are disjoint. As usual, we use $\chi(D(P))$ to denote the chromatic number of $D(P)$, and use $d(n)$ to denote the maximum $\chi(D(P))$ taken over all sets $P$ of $n$ points in general position in the plane. In this paper we show that $d(n)=n-2$ if and only if $n\in \{3,4,\ldots ,16\}$.Comment: 25 pages, 3 figure

A convex decomposition

Dada una colección P de puntos en el plano, una descomposición convexa de P es un conjunto de polígonos convexos con vértices en P que satisfacen lo siguiente: La unión de todos los elementos de es el cierre convexo de P, cada elemento de es vacío (no contiene a ningún otro elemento de P en su interior) y para cualesquiera 2 elementos diferentes en sus interiores son disjuntos (se intersecarán en a lo más una arista). Únicamente se sabe que existen descomposiciones convexas con a lo más 7n/5 elementos para toda colección de n puntos. En este trabajo diremos cómo obtener una descomposición convexa específica de P con a lo más 3n/2 elementos. Para citar este artículo: M. Lomelí-Haro, V. Borja, J.A. Hernández, Una descomposición convexa, Rev. Integr. Temas Mat. 32 (2014), no. 2, 169-180.Given a point set P on the plane, a convex decomposition of P is a set of convex polygons with vertices in P satisfying the following conditions: The union of all elements in is the convex hull of P, every element in is empty (that is, they no contain any element of P in its interior), and any given 2 elements in its interiors are disjoint intersecting them in at most one edge. It is known that if P has n elements, then there exists a convex decomposition of P with at most 7n/5 elements. In this work we give a procedure to find a specific convex decomposition of P with at most 3n/2 elements. To cite this article: M. Lomelí-Haro, V. Borja, J.A. Hernández, Una descomposición convexa, Rev. Integr. Temas Mat. 32 (2014), no. 2, 169-180. &nbsp

Una descomposición convexa

Dada una colección P de puntos en el plano, una descomposición convexa de P es un conjunto Γ de polígonos convexos convértices en P que satisfacen lo siguiente: La unión de todos los elementos de Γ es el cierre convexo de P, cada elemento de Γ es vacío (no contiene a ningún otro elemento de P en su interior) y para cualesquiera 2 elementos diferentes en Γ sus interiores son disjuntos (se intersecarán en a lo más una arista). Únicamente se sabe que existen descomposiciones convexas con a lo más 7n/5 elementos para toda colección de n puntos. En este trabajo diremos cómo obtener una descomposición convexa específica de P con a lo más 3n/ 2 elementos

The Chromatic Number of the Disjointness Graph of the Double Chain

Let $P$ be a set of $n\geq 4$ points in general position in the plane. Consider all the closed straight line segments with both endpoints in $P$. Suppose that these segments are colored with the rule that disjoint segments receive different colors. In this paper we show that if $P$ is the point configuration known as the double chain, with $k$ points in the upper convex chain and $l \ge k$ points in the lower convex chain, then $k+l- \left\lfloor \sqrt{2l+\frac{1}{4}} - \frac{1}{2}\right\rfloor$ colors are needed and that this number is sufficient

The Chromatic Number of the Disjointness Graph of the Double Chain

Let $P$ be a set of $n\geq 4$ points in general position in the plane.Consider all the closed straight line segments with both endpoints in $P$.Suppose that these segments are colored with the rule that disjoint segmentsreceive different colors. In this paper we show that if $P$ is the pointconfiguration known as the double chain, with $k$ points in the upper convexchain and $l \ge k$ points in the lower convex chain, then $k+l- \left\lfloor\sqrt{2l+\frac{1}{4}} - \frac{1}{2}\right\rfloor$ colors are needed and thatthis number is sufficient