Boundary stabilization and control of wave equations by means of a general multiplier method

We describe a general multiplier method to obtain boundary stabilization of the wave equation by means of a (linear or quasi-linear) Neumann feedback. This also enables us to get Dirichlet boundary control of the wave equation. This method leads to new geometrical cases concerning the "active" part of the boundary where the feedback (or control) is applied. Due to mixed boundary conditions, the Neumann feedback case generate singularities. Under a simple geometrical condition concerning the orientation of the boundary, we obtain a stabilization result in linear or quasi-linear cases

Problèmes elliptiques à données peu régulières, applications

This document contains works about two main axes of research.The first one concerns boundary stabilization of some distributed systems in presence of singularities. We are mainly interested in waves equation and elastodynamic system. These problems have been addressed by many authors who have obtained stabilization results by means of multiplier method under restrictive geometric assumptions. In order to extend these results, we have to prove some ``hidden regularity'' properties concerning strong solutions.To this end, singularities of some mixed elliptic problems must be analyzed. The knowledge of these singularities allows to generalize a Rellich identity which is crucial to get energy estimates involving stabilization results.The second axis is devoted to the study of Hele-Shaw flows with a punctual source. Stokes-Leibenson formulation gives an elliptic equation where right hand side is the Dirac distribution. Furthermore this problem is non linear since the domain itself has an unknown behavior. The problem is reformulated by using Helmholtz-Kirchhoff method and this gives a local result of existence and uniqueness of a classical solution. Then a numerical model, so called ``quasi-contour model'', is built in order to get some qualitative properties of these flows.Ce document regroupe des travaux organisés autour de deux thèmesde recherche.Le premier concerne la stabilisation-frontière de quelques systèmesdistribués, en présence de singularités. On s'intéresse principalement à l'équation des ondes et au système élastodynamique pour lesquels de nombreux auteurs ont obtenu des résultats de stabilisation en utilisant la méthode des multiplicateurs sous des conditions géométriques restrictives. Pour étendre ces résultats, on est amené à démontrer certaines propriétés de ``régularité cachée'' des solutions fortes, ce qui nécessite l'analyse des singularités d'un problème elliptique avec conditions aux limites mêlées. La connaissance de ces singularités permet de généraliser une relation de Rellich, cruciale dans l'obtentionédes estimations d'énergie conduisant aux résultats de stabilisation.Le second thème a pour objet l'étude des écoulements de Hele-Shaw àsource ponctuelle. Le modèle de Stokes-Leibenson fait apparaîtreune équation elliptique dont le second membre est la distribution de Dirac au point-source. Ce problème est de plus intrinsèquement non linéaire du fait que le domaine lui-même évolue d'une manière inconnue. On utilise la méthode de Helmholtz-Kirchhoff pour reformuler le problème. Ceci permet de démontrer un résultat d'existence et d'unicité locales d'une solution classique. On construit ensuite un modèle numérique, dit ``modèle quasi-contour'', destiné à étudier certaines propriétés qualitatives de ces écoulements

Inégalités de Rellich et de Carleman (Applications à la stabilisation et au contrôle d'équations aux dérivées partielles)

Dans cette thèse, nous présentons quelques méthodes dans le but d étudier la stabilisation et le contrôle d équations aux dérivées partielles. Nous nous concentrons tout d abord sur les inégalités de Rellich propres à l étude de l équation des ondes avec singularités. Nous obtenons ainsi des résultats de décroissance exponentielle ou polynomiale dans le cas où le bord présente une interface entre la partie Dirichlet et la partie Neumann avec éventuellement présence de terme mémoire sur la partie Neumann. Nous nous intéressons ensuite aux inégalités de Carleman afin d étudier la contrôlabilité d un problème parabolique dégénérescent d une part et dans le but d obtenir des estimations spectrales sur le système des ondes avec interface Dirichlet Neumann d autre part. Ceci nous permet d obtenir un résultat intuitif sur le comportement du contrôle du problème parabolique et d espérer pouvoir obtenir une condition suffisante faible de décroissance logarithmique des solutions régulières à l équation des ondes avec interface.In this thesis, we present some methods in order to study the stabilization and control of partial differential equations. We focus first on the Rellich inequality to study the wave equation with singularities. We obtain some results of polynomial or exponential decay in the case where the boundary presents an interface between an homogeneous Dirichlet part and a Neumann part where the feedback is concentrated. We also deal with the presence of an extra term of memory type on the Neumann part. We then focus on Carleman inequalities to study the controllability of a parabolic problem with vanising viscosity on the one hand and in order to obtain some spectral estimates for wave equation with Dirichlet Neumann interface on the other hand. This allows us to obtain an intuitive result on the behavior of our parabolic control problem and to conjecture a weak sufficient condition of logarithmic decay for regular solutions to the wave equation with interface.LYON-Ecole Centrale (690812301) / SudocSudocFranceF