Inégalités de Rellich et de Carleman (Applications à la stabilisation et au contrôle d'équations aux dérivées partielles)

Abstract

Dans cette thèse, nous présentons quelques méthodes dans le but d étudier la stabilisation et le contrôle d équations aux dérivées partielles. Nous nous concentrons tout d abord sur les inégalités de Rellich propres à l étude de l équation des ondes avec singularités. Nous obtenons ainsi des résultats de décroissance exponentielle ou polynomiale dans le cas où le bord présente une interface entre la partie Dirichlet et la partie Neumann avec éventuellement présence de terme mémoire sur la partie Neumann. Nous nous intéressons ensuite aux inégalités de Carleman afin d étudier la contrôlabilité d un problème parabolique dégénérescent d une part et dans le but d obtenir des estimations spectrales sur le système des ondes avec interface Dirichlet Neumann d autre part. Ceci nous permet d obtenir un résultat intuitif sur le comportement du contrôle du problème parabolique et d espérer pouvoir obtenir une condition suffisante faible de décroissance logarithmique des solutions régulières à l équation des ondes avec interface.In this thesis, we present some methods in order to study the stabilization and control of partial differential equations. We focus first on the Rellich inequality to study the wave equation with singularities. We obtain some results of polynomial or exponential decay in the case where the boundary presents an interface between an homogeneous Dirichlet part and a Neumann part where the feedback is concentrated. We also deal with the presence of an extra term of memory type on the Neumann part. We then focus on Carleman inequalities to study the controllability of a parabolic problem with vanising viscosity on the one hand and in order to obtain some spectral estimates for wave equation with Dirichlet Neumann interface on the other hand. This allows us to obtain an intuitive result on the behavior of our parabolic control problem and to conjecture a weak sufficient condition of logarithmic decay for regular solutions to the wave equation with interface.LYON-Ecole Centrale (690812301) / SudocSudocFranceF